高中数学必修二高中数学必修二人A新教材课时素养评价三十一

1、- 1 - / 11 温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 wordword 版，请按住版，请按住 ctrl,ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭看比例，答案解析附后。关闭 wordword 文档返回原板块。文档返回原板块。 课时素养评价课时素养评价 三十一三十一 直线与平面垂直直线与平面垂直( (二二) ) (15 分钟 30 分) 1.设 a,b,c 是三条不同的直线, 是两个不同的平面,则能使 ab 成立的是( ) a.ac,bc b.,a,b c.a,b d.a,b 【解析】选 c.由 a,b,c 是三条不同的直线, 是两个不同的平

2、面,得在 a 中,因为 ac,bc,所以 a,b 相交、平行或异面,故 a 错误; 在 b 中,因为 ,a,b,所以 a,b 相交、平行或异面,故 b 错误; 在 c 中,因为 a,b,所以由线面垂直的性质定理得 ab,故 c 正确; 在 d 中,因为 a,b,所以由线面垂直的性质定理得 ab,故 d 错误. 2.在正方体 abcd -a1b1c1d1中,e 为棱 cc1的中点,则 ( ) a.aecc1 b.aeb1d1 c.aebc d.aecd 【解析】选 b.如图所示. - 2 - / 11 连接 ac,bd,因为 abcd -a1b1c1d1是正方体, 所以四边形 abcd 是正方形

3、,acbd,ce平面 abcd,所以 bdce,而 acce=c, 故 bd平面 ace,因为 bdb1d1,故 b1d1平面 ace,故 b1d1ae. 3.在正方体 abcd -a1b1c1d1中,点 p 是线段 bc1上任意一点,则下列结论中正确的是 ( ) a.ad1dp b.apb1c c.ac1dp d.d1pb1c1 【解析】选 b.在正方体 abcd -a1b1c1d1中, 因为 b1cbc1,b1cab,bc1ab=b, 所以 b1c平面 abc1d1,因为点 p 是线段 bc1上任意一点,所以 apb1c. 【光速解题】在正方体中,面上的对角线与 b1c平面 abc1d1是

4、常用的垂直,可直接应用进行判断. 4.如图,在四棱锥 p-abcd 中,底面 abcd 是矩形,pa平面 abcd,则四个侧面pab,pbc,pcd,pad 中,有 个直角三角形. 【解析】因为 pa平面 abcd, 所以 paab,paad, - 3 - / 11 所以pab,pad 为直角三角形, 因为 bcpa,bcab,所以 bc平面 pab, 所以 bcpb,所以pbc 为直角三角形, 同理,pdc 为直角三角形, 所以四个侧面三角形均为直角三角形. 答案:4 5.abc 的三个顶点 a,b,c 到平面 的距离分别为 2 cm,3 cm,4 cm,且它们在 的同侧,则abc 的重心到

5、平面 的距离为 cm. 【解析】如图,设 a,b,c 在平面 上的射影分别为 a,b,c, abc 的重心为 g,连接 cg 并延长交 ab 于点 e,又设 e,g 在平面 上的射影分别为 e,g, 则 eab,gce,ee= (aa+bb)= ,cc=4,cgge=21, 在直角梯形 eecc 中可求得 gg=3. 答案:3 6.如图,在直三棱柱 abc -a1b1c1中,ab=ac,d 是 bc 的中点,点 e 在棱 bb1上运动.证明:adc1e. - 4 - / 11 【证明】因为 ab=ac,d 是 bc 的中点, 所以 adbc. 又在直三棱柱 abc -a1b1c1中,bb1平面

6、 abc, 而 ad平面 abc,所以 adbb1. 由得 ad平面 bb1c1c.由点 e 在棱 bb1上运动,得 c1e平面 bb1c1c,所以adc1e. (30 分钟 60 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 20 分) 1.如图,在正方体 abcd -a1b1c1d1中,若 e 是 a1c1与 b1d1的交点,则直线 ce 垂直于 ( ) a.ac b.bd c.a1d d.a1d1 【解析】选 b.在正方体 abcd -a1b1c1d1中,e 是 a1c1与 b1d1的交点,设 o 是 ac,bd的交点,连接 eo,则 eo平面 abcd,所以 eobd,又 cobd,coeo=

7、o,所以bd平面 coe,因为 ce平面 coe,所以 bdce. 2.在abc 中,ab=ac=5,bc=6,pa平面 abc,pa=8,则点 p 到 bc 的距离是 ( ) - 5 - / 11 a. b.2 c.3 d.4 【解析】选 d.过 a 作 adbc 于 d,连接 pd, 因为 ab=ac=5,bc=6,所以 bd=dc=3, 又因为 pa平面 abc,paad=a, 所以 bcpd,所以点 p 到 bc 的距离是 pd, 在adc 中,ac=5,dc=3, 所以 ad=4, 在 rtpad 中, pd=4. 3.如图,已知abc 为直角三角形,其中acb=90,m 为 ab

8、的中点,pm 垂直于abc 所在平面,那么 ( ) a.pa=pbpc b.pa=pbpc c.pa=pb=pc d.papbpc 【解析】选 c.因为 pm平面 abc,mc平面 abc,所以 pmmc,pmab. 又因为 m 为 ab 中点,acb=90, 所以 ma=mb=mc.所以 pa=pb=pc. - 6 - / 11 4.(2020信阳高一检测)如图,在直三棱柱 abc -a1b1c1中,ab=ac=aa1=,若a1cbc1,则 bc1= ( ) a.2 b.2 c.3 d.3 【解析】选 c.如图,连接 ac1,因为 ac=aa1, 所以直三棱柱 abc -a1b1c1的侧面

9、acc1a1为正方形,所以 a1cac1, 因为 a1cbc1,ac1bc1=c1, 所以 a1c平面 abc1,所以 a1cab, 因为 abaa1,a1caa1=a1,所以 ab侧面 acc1a1,所以 abac1,因为ab=ac=aa1=,所以 ac1=2,所以 bc1=3. 二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分) 5.在下列四个正方体中,能得出 abcd 的是 ( ) 【解析】选 ad.在 a 中,因为 becd,aecd,beae=e,所以 cd平面 abe,因为 ab平面 abe,所以 abcd,故 a 正确;在

10、b 中,因为 cdae,abe 是等边三- 7 - / 11 角形,所以 ab 与 cd 异面,且所成角为 60,故 b 错误;在 c中,cdbe,abe=45,所以 ab 与 cd 异面,且所成角为 45,故 c 错误;在 d中,cd平面 abc,所以 cdab,故 d 正确. 6.如图,直线 pa 垂直于圆 o 所在的平面,abc 内接于圆 o,且 ab 为圆 o 的直径,点 m 为线段 pb 的中点.以下结论成立的是 ( ) a.bcpc b.om平面 abc c.点 b 到平面 pac 的距离等于线段 bc 的长 d.三棱锥 m-pac 的体积等于三棱锥 p-abc 体积的一半 【解析

11、】选 abcd.因为 pa圆 o 所在的平面,bc圆 o 所在的平面,所以 pabc,而 bcac,paac=a,所以 bc平面 pac,而 pc平面 pac,所以 bcpc,故 a 正确; 因为点 m 为线段 pb 的中点,点 o 为线段 ab 的中点,所以 ompa,所以 om平面abc,故 b 正确; 因为 bc平面 pac,所以点 b 到平面 pac 的距离等于线段 bc 的长,故 c 正确; 三棱锥 m-pac 和三棱锥 p -abc 均可以平面 pac 为底面,此时 m 到底面的距离是b 到底面距离的一半,故三棱锥 m-pac 的体积等于三棱锥 p-abc 体积的一半,故d 正确.

12、 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) - 8 - / 11 7.如图,已知平行四边形 abcd 中,|ad|=4,|cd|=3,d=60,pa平面 abcd,且|pa|=6,则|pc|= . 【解析】由余弦定理,得 ac2=ad2+cd2-2adcdcos d=16+9-243 =13,所以 ac=,因为 pa平面 abcd,ac 在平面 abcd 内,所以 paac,所以pc=7. 答案:7 8.如图所示,在直四棱柱 abcd -a1b1c1d1中,当底面四边形 abcd 满足条件 时,有 a1cb1d1. 【解析】若 a1cb1d1,由四棱柱 abcd -a1b1c1d1为直四棱柱

13、,aa1b1d1,易得 b1d1平面 aa1c1c,则 a1c1b1d1,即 acbd. 答案:acbd(答案不唯一) 四、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.如图,pa正方形 abcd 所在平面,经过 a 且垂直于 pc 的平面分别交 pb,pc,pd于 e,f,g,求证:aepb. - 9 - / 11 【证明】因为 pa平面 abcd,所以 pabc. 又 abcd 是正方形,所以 abbc. 因为 abpa=a,所以 bc平面 pab. 因为 ae平面 pab,所以 bcae. 由 pc平面 aefg,得 pcae, 因为 pcbc=c,所以 ae平面 pbc. 因为 pb平

14、面 pbc,所以 aepb. 10.如图,已知 ab 为圆柱 oo1底面圆 o 的直径,c 为的中点,点 p 为圆柱上底面圆 o1上一点,pa平面 abc,pa=ab,过 a 作 aepc,交 pc 于点 e. (1)求证:aepb; (2)若点 c 到平面 pab 的距离为 1,求圆柱 oo1的表面积. 【解析】(1)因为 ab 为圆柱 oo1底面圆 o 的直径,c 为的中点,所以 bcac,因为 pa平面 abc,bc平面 abc,所以 pabc,又因为 paac=a,所以 bc平面pac,因为 ae平面 pac,所以 bcae, 又因为 aepc,且 pcbc=c,所以 ae平面 pbc

15、,因为 pb平面 pbc,所以aepb. - 10 - / 11 (2)因为点 c 到平面 pab 的距离为 1 且 c 为的中点,所以 pa=ab=2,所以圆柱oo1的表面积 s=212+212=6. 1.(2020昆明高一检测)九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑,如图,在鳖臑 pabc 中,pa平面 abc,abbc,且 ap=ac=1,过 a 点分别作 aepb 于 e、afpc 于 f,连接 ef.当aef 的面积最大时,tan bpc 的值是 ( ) a. b. c. d. 【解析】选 b.显然 bc平面 pab,则 bcae, 又 pbae,bcpb=b,则 ae平面 pbc,于是 aeef,且 aepc,结合条件afpc,得 pc平面 aef, 所以aef、pef 均为直角三角形,由已知得 af=,而saef= aeef (ae2+ef2)= (af)2= ,当且仅当 ae=ef 时,取“=”, 所以,当 ae=ef= 时,aef 的面积最大, - 11 - / 11 此时 tan bpc=. 2.在正方体 abcd -a1b1c1d1中,e 为线段 b1d1上的一个动点,则下列结论中正确的是 ( ) a.acbe b.b1e平面 abcd c.三棱锥 e-abc 的体积为定值 d.b1e