中考专题复习第二讲实数的运算(含详细参考答案)

1、2019年中考专题复习 第二讲实数的运算【基础知识回顾】一、实数的运算。1、基本运算：初中阶段我们学习的基本运算有 、 和 共六种，运算顺序是先算 ,再算,最后算,有括号时要先算，同一级运算，按照 的顺序依次进行。2、运算法则：加法：同号两数相加，取 的符号，并把 相加，异号两数相加，取 的符号，并用较大的 减去较小的,任何数同零相加仍得。减法，减去一个数等于 。乘法：两数相乘，同号得 ,异号得,并把 相乘。除法：除以一个数等于乘以这个数的 。乘方：（-a） 2n +1=（-a）2n =3、运算定律：加法交换律： a+b=力口法结合律：（a+b）+c=乘法交换律：ab=乘法结合律：（ab） c

2、=分配律：（a+b） c=二、零指数、负整数指数幕。a0= （a-a-p= （a -【名师提醒：1、实数的混合运算在中考考查时经常与 0指数、负指数、绝对值、 锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。 2、注意底数为 分数的负指数运算的结果，如：（1）-1=13三、实数的大小比较：1、比较两个有理数的大小，除可以用数轴按照 的原则进行比较以外，还有 比较法、比较法等，两个负数 大的反而小。2、如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为 。【名师提醒：比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形可以式灵活选用。如：比较 回 2和府 2的大小，可以先确定"0和V

3、65的取值范围，然后得结论：V10 +2 J65-2。【重点考点例析】考点一：实数的大小比较。例1（2018?昌建）在实数|-3|, -2, 0,冗中，最小的数是（）A. |-3| B. -2 C. 0 D.冗【思路分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案.解：在实数-3|, -2, 0,九中，卜3|=3,则-2<0<|-3|< 九，故最小的数是：-2.故选：B.【点评】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键.考点二：估算无理数的大小例2 （2018函京）下列无理数中，与4最接近的是（）a. 布b. 而c. 717d. 71

4、9【思路分析】直接利用估算无理数的大小方法得出最接近 4的无理数.解：: 716=4,与4最接近的是：曲.故选：C.【点评】此题主要考查了估算无理数的大小， 正确得出接近4的无理数是解题关键.考点三：实数与数轴例3 （2018Z匕京）实数a, b, c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结 论是（）A. |a|>4B. c-b>0C. ac>0D. a+c>0a£C-4 *-3 -2 -1*01 7*345【思路分析】本题由图可知,a、b、c绝对值之间的大小关系，从而判断四个选项的对错.解：. -4<a< -3. .|a|< 4,又丁 a

5、< 0,c> 0,ac< 0,. C不正确;又 < a< -3c<3；a+c< 0, ；D 不正确;又丁 c> 0,b< 0,.c-b>0, ；B 正确;故选：B.【点评】本题主要考查了实数的绝对值及加减计算之间的关系，关键是判断正负.考点四：实数的混合运算1 ,例 4 (2018?怀化)计算：2sin30 (V2)0 布 1| (-) 12【思路分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幕的性质和负指数幕的性 质分别化简得出答案.【解答】解：原式=2 - 1 73 1 2 2【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.考

6、点五：实数中的规律探索。例5 (2018校徽)观察以下等式:第1个等式:第2个等式:第3个等式:第4个等式:第5个等式:1112121415021324354611121214150213243546按照以上规律，解决下列问题:(1)写出第6个等式:（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明.【思路分析】以序号n为前提，依此观察每个分数，可以用发现，每个分母在 n 的基础上依次加1,每个分子分别是1和n-1。解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7,分子分别为1和5故应填：6 5 6 5=1,（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1,分子分别为1和n-1,故应填：1立

7、二口二1n n 1 n n 12证明:1 n 1 1 n 1 _ n 1 n（n 1） （n 1）_ n nn n 1 n n 1n n 1n n 1二等式成立。【点评】本题是规律探究题，同时考查分式计算.解答过程中，要注意各式中相 同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来.【聚焦山东中考】1. （2018?临沂）在实数-3, -1, 0, 1中，最小的数是（）A. -3B. -1C. 0D. 12. （2018栋营）下列四个数中，最大的数是（）A. 3B. 33C. 0D.冗3. （2018笳博）与历最接近的整数是（）A. 5B. 6C. 7D. 84. （2018徐芜）无理数2布-3在

8、（）A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间5. （2018?威海）计算（应）2 （衣 ）° （ 1）2的结果是（）2A. 1B. 2C. 11D. 346. （2018?8台）（7-3.14） 0+tan60 =7. （2018?青岛）计算：2 1 兄 2cos30 .8. （2018徐芜）计算：（7-3.14） 0+2cos60=9. （2018?临沂）一列自然数0, 1, 2, 3,，100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是（）A.原数与对应新数的差不可能等于零B.原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C

9、.当原数与对应新数的差等于 21时，原数等于30D.当原数取50时，原数与对应新数的差最大10. （2018笳博）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第 3行、第4 列的数是12,则位于第45行、第8列的数是11. （2018次庄）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：第1行1第2行234第3行98765第4行10111213141516第5行252423222120191817则2018在第行.【备考真题过关】一、选择题1. （2018窥州）在-1、1、石、2这四个数中，最小的数是（）A. -1 B. 1 C, V2D. 22. （2018城都）实数a, b, c, d在数轴上对应的点

10、的位置如图所示，这四个数中最大的是（）心、,b e dI *«>-3-2-10123A. aB. bC. cD. d3. （2018毯州）已知a为整数，且石<a<V5,则a等于（）A. 1B. 2C. 3D. 44. （2018乖庆）估计（2730 V24）g1的值应在（）6A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间5. （2018以门）点A, B在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是a, b, 下列结论错误的是（）A. |b|<2<|a|B. 1-2a> 1-2bC. -a<b<2 D. a<-2<

11、; -bAB .62 *6.（2018斤豆）计算：| 1| ,口的结果是（）2 V4A. 1B. -C. 0D. -127. （2017?可北）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（）A. 4+4-44 =6B. 4+40+40=6C. 4+4 4=6D. 4-174+4=68. （2018碰州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作 三角形 数”（如1, 3, 6, 10）和 正方形数”（如1, 4, 9, 16），在小于200的数 中，设最大的 主角形数”为m,最大的 正方形数”为n,则m+n的值为（） , * * 三角形数正方形数A. 33B.

12、 301C. 386D. 571二、填空题9. （2018张春）比较大小：V10 3.（填4”、"二或之”）10. （2017展东）已知实数a, b在数轴上的对应点的位置如图所示， 则 a+b0.（填 4"，之”或“=】-la 01 b 211. （2018城宁）写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示） .12. （2018希华）对于两个非零实数x, y,定义一种新的运算：x*y -2.若 x y1* （-1） =2,则（-2） *2 的值是1c13. （2018旗冈）化简（夜 1）0 （-） 2 >/9 V27=.214. （2018蕉底）设a1, a2,

13、 a3 是一列正整数，其中 a1表示第一个数，a2 表示第二个数，依此类推，an表示第n个数（n是正整数）.已知a1=1,4an= （an+1-1） 2- （an-1） 2,则 a2018=.15. （2018琳德）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是.*/ 1 fIi.!52 ! 43 /16. （2018?圭林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第 m行, 第n列的自然数10记为（3, 2）,自然数15记为（4,

14、2）按此规律，自然数 2018记为。列行第1列第2列第3列第4列第1行1234第2行8765第3行9101112第4行16151413第n行三、解答题117. （2018秋靖）计算（2） （3.14）0 沟（）1。318. （2018?!辽）计算：-14-712 |-（田3.14） 0+ （1-cos30） 乂 ） -2.19. （2018窥州）计算：（1）2018 | V3| （V2 ）° 2sin60 .20. （2018初山州）计算：（1） 1 | 2 /an45 | （夜 2018）0 5 73）（72 V3） .32019年中考专题复习第二讲实数的运算参考答案【聚焦山东中考

15、】1.【思路分析】根据正数大于0, 0大于负数，正数大于负数直接进行比较大小， 再找出最小的数.解：:-3-K01,最小的是-3.故选：A.【点评】此题主要考查了有理数的比较大小， 根据正数都大于0,负数都小于0, 正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原则解答.2 .【思路分析】根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大可得答案.解：0百3兀，故选：D.【点评】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握利用数轴也可以比较任意 两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左 侧，绝对值大的反而小.3 .【思路分析】由题意可知36与37最接近，即 底与廊最接近，从而得

16、出 答案.解：V 36<37< 49,.麻历(闻 ，即 6V 377 <7,.37与36最接近,与质最接近的是6.故选：B.【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是整数与 庖最接近，所以 366 =6最接近.4 .【思路分析】首先得出2布 的取值范围进而得出答案.【解答】解：一旧二旧,.6< 744 <7,.无理数2 J11-3在3和4之间.故选：B.【点评】此题主要考查了估算无理数的大小， 正确得出无理数的取值范围是解题 关键.5 .【思路分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少 即可.解：(V2)2 (4)0 ( 1)2=-2+1+4

17、二3。故选：D.【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方,再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右 的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.6 .【思路分析】直接利用零指数幕的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答 案.解：原式=1 + 73 .故答案为：1 +郭.【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.7 .【思路分析】根据特殊角的三角函数值和实数的乘法和加法法则可以解答本题.解：2 1 阮 2cos30=2 2宕2等=2 . 3 ,

18、故答案为：2M.8 .【思路分析】原式利用零指数幕法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值.【解答】解：原式=1+2X12=1+1=2,故答案为：2【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.9 .【思路分析】设出原数,解：设原数为a,则新数为表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解.1 a2,设新数与原数的差为y100贝 U y=a- - a2= -a2+a, 100100易得，当a=0时，y=0,则A 错误,-<0,1002a-1-=50时，y有最大值.2 ()100B错误，D正确.当 y=21 时，-，a2+a=21, 100解得ai=30, a2=70,贝U C错

19、误.故选：D.【点评】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号.10.【思路分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2,可得第45行第一个数是2025,推出第45行、第8列的数是2025-7=2018;解：观察图表可知：第n行第一个数是n2,第45行第一个数是2025,第45行、第8列的数是2025-7=2018,故答案为2018.【点评】本题考查规律型-数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题.11.【思路分析】通过观察可得第n行最大一个数为n2,由此估算2018所在的行数，进一步推算得出答案即可.【解答】解：. 442

20、=1936, 452=2025, .2018在第45行.故答案为：45.【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.【备考真题过关】一、选择题1.【思路分析】 根据实数大小比较的法则比较即可.解：在实数-1, 1, 艮 2中，最小的数是-1.故选：A.【点评】本题考查了有理数的大小比较法则的应用，注意：正数都大于0,负数都小于0,正数都大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小.JJi-3-2-10123A. aB. bC. cD. d2 .【思路分析】根据实数的大小比较解答即可.解：由数轴可得：a< b<c

21、<d,故选：D.【点评】此题考查实数大小比较，关键是根据实数的大小比较解答.3 . （2018毯州）已知a为整数,且J3<a< J5,则a等于（）A. 1B. 2C. 3D. 43.【思路分析】 直接利用V5接近的整数是2,进而得出答案.【解答】解：:a为整数，且 #<a事, a=2.故选：B.【点评】此题主要考查了估算无理数大小， 正确得出无理数接近的有理数是解题 关键.4 .【思路分析】首先利用二次根式的乘法化简，进而得出答案.解：（2商）g1= 2,5 2=而2 ,V4< 72c <5,. 2< V20-2<3,故选：B.【点评】此题主要考

22、查了二次根式的乘法以及估算无理数的大小，正确进行二次根式乘法运算是解题关键.5 .【思路分析】根据图示可以得到a、b的取值范围，结合绝对值的含义推知|b|、 |a的数量关系.解：A、如图所示，|b|<2<|a|,故本选项不符合题意；B、如图所示，a<b,则2a<2b,由不等式的性质知1-2a>1-2b,故本选项不符 合题意；C、如图所示，a<-2<b<2,则-a>2>b,故本选项符合题意；D、如图所示，a<-2<b<2且间>2, |b|<2.则a<-2<-b,故本选项不符合题息；故选：C.【点

23、评】此题考查了绝对值意义，比较两个负数大小的方法，有理数的运算，解 本题的关键是掌握有理数的运算.6 .【思路分析】原式利用绝对值的代数意义，算术平方根定义计算即可求出值.解：原式=0,2 2故选：C.【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.7.【思路分析】根据实数的运算方法，求出每个选项中左边算式的结果是多少, 判断出哪个算式错误即可.【解答】解：V 4+4-74=6,选项A不符合题意；4+40+40=6,选项B不符合题意； 4+3/4 4=6,选项C不符合题意；4-1 -4 +4=41 , 8选项D符合题意.故选：D.【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答

24、此题的关键是要明确： 在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方， 再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右 的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.8 .【思路分析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+n=UA ,第n个正2方形数为n2,据此得出最大的三角形数和正方形数即可得.【解答】解：由图形知第n个三角形数为1+2+3+ n= n n 1 ,第n个正方形2数为n2,当 n=19 时，n n 1 =190<200,2当 n=20 时，n ； 1 =210>200,所以最大的三角形数m=190;当 n=14 时

25、，n2=196< 200,当 n=15 时，n2=225>200,所以最大的正方形数n=196,则 m+n=386,故选：C.【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由图形得出第n个三角形数为1+2+3+n= n n 1 ,第n个正方形数为n2.2二、填空题9 .【思路分析】 先求出3=79,再比较即可.解：32=9<10, 710 >3,故答案为：>.【点评】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法.10.【思路分析】首先根据数轴判断出a、b的符号和二者绝对值的大小，根据 异 号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大

26、的绝对值减去较小的绝对值 ”来解 答即可.解：:a在原点左边，b在原点右边，a< 0<b,.a离开原点的距离比b离开原点的距离小，.|agb|,a+b> 0.故答案为：>.【点评】本题考查了实数与数轴，有理数的加法法则，根据数轴得出a、b的符号和二者绝对值的大小关系是解题的关键.11.【思路分析】先利用4<5<9,再根据算术平方根的定义有2<J5<3,这 样就可得到满足条件的无理数.解：V 4<5<9, - 2< 55 < 3,即非为比2大比3小的无理数.故答案为甚.【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术

27、平方根对无理数 的大小进行估算.12.【思路分析】根据新定义的运算法则即可求出答案.解：1* (-1) =2,. a b 0一 一2 ,11即 a-b=2,原式二旦电(a b)1 °2 22故答案为：-1【点评】本题考查代数式运算，解题的关键是熟练运用整体的思想， 本题属于基 础题型.13 .【思路分析】直接利用负指数幕的性质以及零指数幕的性质、算术平方根的 性质分别化简得出答案.解：原式=1+4-3-3故答案为：-1.【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.14 .【思路分析】 由 4an= (an+i-1) 2- (a-1) 2,可得(&+1-1) 2=

28、(a-1) 2+4an= (ai+1) 2,根据ai, a2, a3是一列正整数，得出an+i=an+2,根据ai=1 ,分别求出a2=3, a3=5, a4=7, a5=9,进而发现规律 an=2n-1,即可求出 a2018=4035.解：. 4al= (an+1-1)2一(an-1).二(an+1-1) 2= (an-1) 2+4an= (an+1) 2,vai, &, a3是一列正整数，, , 日+1 -1=01+1 , cn+1 =0n+2 ,ai =1, &=3, a3=5, a4=7, a5=9,，二 ai=2n-1, 82018=4035.故答案为4035.【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的 规律，并应用发现的规律解决问题.解决本题的难点在于得出式子an+1 =an+2.15 .【思路分析】 设报4的人心想的数是x,则可以分别表示报1, 3, 5, 2的 人心想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可.解：设报4的人心想的数是x,报1的人心想的数是10-x,报3的人心想的数是 x-6,报5的人心想的数是14-x,报2的人心想的数是x-12,所以有 x-12+x=2M,解