2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(山东卷)文 (2)

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(文科)本试卷分第卷和第卷两部分.满分150分.考试用时120分钟.参考公式:如果事件a,b互斥,那么p(a+b)=p(a)+p(b).第卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014山东,文1)已知a,br,i是虚数单位,若a+i=2-bi,则(a+bi)2=().a.3-4ib.3+4ic.4-3id.4+3i答案:a解析:a+i=2-bi,a+bi=2-i.即(a+bi)2=(2-i)2=4-4i-1=3-4i.2.(2014山东,文2)设集合a=x|

2、x2-2x<0,b=x|1x4,则ab=().a.(0,2b.(1,2)c.1,2)d.(1,4)答案:c解析:由已知可得a=x|0<x<2.又b=x|1x4,ab=x|1x<2.3.(2014山东,文3)函数f(x)=1log2x-1的定义域为().a.(0,2)b.(0,2c.(2,+)d.2,+)答案:c解析:f(x)有意义,log2x-1>0,x>0.x>2,f(x)的定义域为(2,+).4.(2014山东,文4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是().a.方程x3+ax+b=0没有实根b

3、.方程x3+ax+b=0至多有一个实根c.方程x3+ax+b=0至多有两个实根d.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案:a解析:“至少有一个”的否定为“没有”.5.(2014山东,文5)已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是().a.x3>y3b.sin x>sin yc.ln(x2+1)>ln(y2+1)d.1x2+1>1y2+1答案:a解析:0<a<1,ax<ay,x>y.x3>y3.6.(2014山东,文6)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a0)的图象如

4、图,则下列结论成立的是().a.a>1,c>1b.a>1,0<c<1c.0<a<1,c>1d.0<a<1,0<c<1答案:d解析:由图象可知y=loga(x+c)的图象是由y=logax的图象向左平移c个单位得到的,其中0<c<1.再根据单调性易知0<a<1.7.(2014山东,文7)已知向量a=(1,3),b=(3,m),若向量a,b的夹角为6,则实数m=().a.23b.3c.0d.-3答案:b解析:cos<a,b>=a·b|a|·|b|,cos6=3+3m2&#

5、215;32+m2,解得m=3.8.(2014山东,文8)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kpa)的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为().a.6b.8c.12d.18答案:c解析:设样本容量为n,由题意得n·(0.24+0.16)=20,n=50.第三组的频数为50×0.36=18人.则第三组中有疗效的人数为

6、18-6=12.9.(2014山东,文9)对于函数f(x),若存在常数a0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是().a.f(x)=xb.f(x)=x2c.f(x)=tan xd.f(x)=cos(x+1)答案:d解析:由f(x)为准偶函数的定义可知,若f(x)的图象关于x=a(a0)对称,则f(x)为准偶函数,在d中f(x)=cos(x+1)的图象关于x=k-1(kz)对称,故选d.10.(2014山东,文10)已知x,y满足约束条件x-y-10,2x-y-30,当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约

7、束条件下取到最小值25时,a2+b2的最小值为().a.5b.4c.5d.2答案:b解析:约束条件x-y-10,2x-y-30满足可行域如图所示.由图可知目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取最小值时,最优解为(2,1),即2a+b=25,b=25-2a.a2+b2=a2+(25-2a)2=5a2-85a+20=(5a-4)2+4.当a=455时,a2+b2取最小值为4.第卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2014山东,文11)执行下面的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为. 答案:3解析:输入x=1,12-4+30,

8、执行是,x=2,n=1;返回22-8+30,执行是,x=3,n=2;返回32-12+30,执行是,x=4,n=3;返回42-16+3>0,执行否,输出n=3.12.(2014山东,文12)函数y=32sin 2x+cos2x的最小正周期为. 答案:解析:原式=32sin 2x+1+cos2x2=sin2x+6+12.周期t=22=.13.(2014山东,文13)一个六棱锥的体积为23,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为. 答案:12解析:根据题意得底面正六边形面积为63,设六棱锥的高为h,则v=13sh,13×63h=23,解得h

9、=1.设侧面高为h',则h2+(3)2=h'2,h'=2.正六棱锥的侧面积为6×12×2×2=12.14.(2014山东,文14)圆心在直线x-2y=0上的圆c与y轴的正半轴相切,圆c截x轴所得弦的长为23,则圆c的标准方程为. 答案:(x-2)2+(y-1)2=4解析:圆心在直线x-2y=0上,可设圆心为(2a,a).圆c与y轴正半轴相切,a>0,半径r=2a.又圆c截x轴的弦长为23,a2+(3)2=(2a)2,解得a=1(a=-1舍去).圆c的圆心为(2,1),半径r=2.圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.15

10、.(2014山东,文15)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为a,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为f,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|fa|=c,则双曲线的渐近线方程为. 答案:y=±x解析:由已知得|oa|=a,|af|=c,|of|=|af|2-|oa|2=c2-a2=b2=b,b=p2.抛物线的准线y=-p2=-b.把y=-b代入双曲线x2a2-y2b2=1得x2=2a2,直线y=-p2被双曲线截得的线段长为22a,从而22a=2c.c=2a,a2+b2=2a2,a=b,渐近线方程为y=±

11、x.三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.(本小题满分12分)(2014山东,文16)海关对同时从a,b,c三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区abc数量50150100(1)求这6件样品中来自a,b,c各地区商品的数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.分析:(1)利用分层抽样在各层中的抽样比等于在总体中的抽样比求解.(2)先利用列举法求出在这6件样品中随机抽取2件的总的基本事件个数及所抽取的2件商品来自相同地区

12、的基本事件个数,进而利用古典概型的概率公式即可求解.解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650+150+100=150,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:50×150=1,150×150=3,100×150=2.所以a,b,c三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自a,b,c三个地区的样品分别为:a;b1,b2,b3;c1,c2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为:a,b1,a,b2,a,b3,a,c1,a,c2,b1,b2,b1,b3,b1,c1,b1,c2,b2,b3,b2,c1,b2,c2,b3,c1,b3,c2,c1,

13、c2,共15个.每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件d:“抽取的这2件商品来自相同地区”,则事件d包含的基本事件有b1,b2,b1,b3,b2,b3,c1,c2,共4个.所以p(d)=415,即这2件商品来自相同地区的概率为415.17.(本小题满分12分)(2014山东,文17)abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos a=63,b=a+2.(1)求b的值;(2)求abc的面积.分析:(1)在abc中,已知cos a=63,b=a+2,相当于已知角a,b,又已知边a,故可利用asina=bsinb求b.(2)由已知及(1)可知a,b,故

14、根据sabc=12absin c,只需求sin c,在abc中,由c=-(a+b),可求sin c.解:(1)在abc中,由题意知sin a=1-cos2a=33,又因为b=a+2,所以sin b=sina+2=cos a=63.由正弦定理可得b=asinbsina=3×6333=32.(2)由b=a+2得cos b=cosa+2=-sin a=-33.由a+b+c=,得c=-(a+b),所以sin c=sin-(a+b)=sin(a+b)=sin acos b+cos asin b=33×-33+63×63=13.因此abc的面积s=12absin c=12&#

15、215;3×32×13=322.18.(本小题满分12分)(2014山东,文18)如图,四棱锥p-abcd中,ap平面pcd,adbc,ab=bc=12ad,e,f分别为线段ad,pc的中点.(1)求证:ap平面bef;(2)求证:be平面pac.分析:(1)要证ap平面bef,由线面平行的判定定理知,只需在平面bef内找到一条直线与ap平行即可,而已知f为pc的中点.“由中点找中点”,故考虑利用三角形的中位线定理求解,即找ac的中点,由已知可通过证明四边形abce为菱形而达到目的.(2)要证be平面pac,由线面垂直的判定定理知:只需证be垂直于平面pac内的两条相交直线

16、即可.由(1)可知beac.又已知ap平面pcd,则ap垂直于平面pcd内的所有直线,即apcd,故考虑通过证明becd来证明bepa,则由beac且bepa,可证be平面pac.证明:(1)设acbe=o,连接of,ec.由于e为ad的中点,ab=bc=12ad,adbc,所以aebc,ae=ab=bc,因此四边形abce为菱形,所以o为ac的中点.又f为pc的中点,因此在pac中,可得apof.又of平面bef,ap平面bef,所以ap平面bef.(2)由题意知edbc,ed=bc.所以四边形bcde为平行四边形,因此becd.又ap平面pcd,所以apcd,因此apbe.因为四边形abc

17、e为菱形,所以beac.又apac=a,ap,ac平面pac,所以be平面pac.19.(本小题满分12分)(2014山东,文19)在等差数列an中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=an(n+1)2,记tn=-b1+b2-b3+b4-+(-1)nbn,求tn.分析:(1)已知等差数列an的公差d,要求其通项公式,只需求首项a1即可,由已知a22=a1·a4可求a1.(2)由(1)中所求an,可求bn,由tn的特点,故考虑研究bn+1-bn的通项.又(-1)n表示各项的符号,故需对n的奇偶性进行讨论.解:(1)由题意知(a1+d)2

18、=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列an的通项公式为an=2n.(2)由题意知bn=an(n+1)2=n(n+1),所以tn=-1×2+2×3-3×4+(-1)nn·(n+1).因为bn+1-bn=2(n+1),可得当n为偶数时,tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+(-bn-1+bn)=4+8+12+2n=n2(4+2n)2=n(n+2)2,当n为奇数时,tn=tn-1+(-bn)=(n-1)(n+1)2-n(n+1)=-(n+1)22.所以tn=-(n+1)22,n为奇数,n(n+2)2,n为偶数.20

19、.(本小题满分13分)(2014山东,文20)设函数f(x)=aln x+x-1x+1,其中a为常数.(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.分析:(1)由已知可求切点坐标,故只需利用导数的几何意义求出斜率;则可求切线方程.(2)先求出函数f(x)的导函数f'(x).通过判断f'(x)的符号来求f(x)的单调区间.由于导数中含有参数a,所以要判断其符号,需要对参数a进行分类讨论.同时,应注意函数的单调区间应是定义域的子区间,故需在定义域内研究其单调性.解:(1)由题意知当a=0时,f(x)=x-1x+1,x(0,+).此

20、时f'(x)=2(x+1)2.可得f'(1)=12,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为x-2y-1=0.(2)函数f(x)的定义域为(0,+).f'(x)=ax+2(x+1)2=ax2+(2a+2)x+ax(x+1)2.当a0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+)上单调递增.当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,由于=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),当a=-12时,=0,f'(x)=-12(x-1)2x(x+1)20,函数f(x)在(0,+)上单调递减.当a<-12时,<

21、0,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)在(0,+)上单调递减.当-12<a<0时,>0.设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点,则x1=-(a+1)+2a+1a,x2=-(a+1)-2a+1a.由x1=a+1-2a+1-a=a2+2a+1-2a+1-a>0,所以x(0,x1)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,x(x1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,x(x2,+)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递

22、减.综上可得:当a0时,函数f(x)在(0,+)上单调递增;当a-12时,函数f(x)在(0,+)上单调递减;当-12<a<0时,f(x)在0,-(a+1)+2a+1a,-(a+1)-2a+1a,+上单调递减,在-(a+1)+2a+1a,-(a+1)-2a+1a上单调递增.21.(本小题满分14分)(2014山东,文21)在平面直角坐标系xoy中,椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,直线y=x被椭圆c截得的线段长为4105.(1)求椭圆c的方程;(2)过原点的直线与椭圆c交于a,b两点(a,b不是椭圆c的顶点).点d在椭圆c上,且adab,直线bd与x轴、y轴分别交于m,n两点.设直线bd,am的斜率分别为k1,k2,证明存在常数使得k1=k2,并求出的值;求omn面积的最大值.分析:(1)要求椭圆方程,只需求a,b,由e=32可得a2-b2a=32.又直线y=x被椭圆c截得的线段长为4105,故联立y=x与x2a2+y2b2=1求线段长,由线段长等于4105,可得a,b的另一关系式,故可求a,b,则椭圆方程可求.(2)要求的值,需求k1,k2,而直线bd的斜率k1由b,d两点的坐标确定,直线am的斜率k2由a,m两点的坐标确定,且a,b关于原