2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(山东卷)

1、1 / 16 2016 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(山东山东卷卷) 理科数学 1.(2016 山东,理 1)若复数 z满足 2z+=3-2i,其中 i为虚数单位,则 z=( ) a.1+2i b.1-2i c.-1+2i d.-1-2i 答案 b 设 z=a+bi(a,br),则 2z+=3a+bi=3-2i,故 a=1,b=-2,则 z=1-2i,选 b. 注意共轭复数的概念. 2.(2016 山东,理 2)设集合 a=y|y=2x,xr,b=x|x2-10,b=x|-1x-1,选 c. 本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算. 3.(2016 山东,理

2、 3) 某高校调查了 200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5,30,样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30.根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是( ) a.56 b.60 c.120 d.140 2 / 16 答案 d 自习时间不少于 22.5小时为后三组,其频率和 为(0.16+0.08+0.04)2.5=0.7,故人数为2000.7=140,选 d. 4.(2016 山东,理 4)若变量 x,y 满足 + 2,2-3 9, 0,则

3、 x2+y2的最大值是( ) a.4 b.9 c.10 d.12 答案 c 如图,不等式组表示的可行域是以 a(0,-3),b(0,2),c(3,-1)为顶点的三角形区域,x2+y2表示点(x,y)到原点距离的平方 ,最大值必在顶点处取到,经验证最大值|oc|2=10,故选 c. 5.(2016 山东,理 5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为( ) a.13+23 b.13+23 c.13+26 d.1+26 答案 c 由三视图可知,上面是半径为22的半球 ,体积为 v1=1243 (22)3=26,下面是底面积为1,高为 1的四棱锥 ,体积 v2=131

4、1=13,故选 c. 6.(2016 山东,理 6)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 ,内.则“直线 a和直线 b相交”是“平面 和平面 相交”的 ( ) 3 / 16 a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 答案 a 若直线 a 与直线 b 相交,则 ,一定相交,若 ,相交,则 a,b 可能相交,也可能平行或异面 ,故选 a. 7.(2016 山东,理 7)函数 f(x)=(3sin x+cos x)(3cos x-sin x)的最小正周期是( ) a.2 b. c.32 d.2 答案 b f(x)=2sin( +6) 2cos( +6)=2si

5、n(2 +3),故最小正周期 t=22=,故选 b. 8.(2016 山东,理 8)已知非零向量 m,n 满足 4|m|=3|n|,cos=13.若 n(tm+n),则实数 t的值为( ) a.4 b.-4 c.94 d.-94 答案 b 由 4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k0), 又 n(tm+n),所以 n (tm+n)=n tm+n n=t|m| |n|cos+|n|2=t3k4k13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以 t=-4,故选 b. 9.(2016 山东,理 9)已知函数 f(x)的定义域为 r.当 x12时,f( +12)=f(-12),则 f(6

6、)=( ) a.-2 b.-1 c.0 d.2 答案 d 当 x12时,f( +12)=f(-12),所以当 x12时,函数 f(x)是周期为 1 的周期函数 ,所以 f(6)=f(1),又因为当-1x1 时,f(-x)=-f(x),所以 f(1)=-f(-1)=-(-1)3-1=2,故选 d. 本题考查了函数的周期性、奇偶性,利用函数性质灵活变换是解 题的关键. 10.(2016 山东,理 10)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 t性质.下列函数中具有 t 性质的是( ) 4 / 16 a.y=sin x b.y=ln x

7、c.y=ex d.y=x3 答案 a 当 y=sin x 时,y=cos x,因为 cos 0 cos =-1,所以在函数 y=sin x 图象存在两点 x=0,x=使条件成立,故 a正确;函数 y=ln x,y=ex,y=x3的导数值均非负 ,不符合题意,故选 a. 本题实质上是检验函数图象上存在两点的导数值乘积等于-1. 11.(2016 山东,理 11)执行下边的程序框图,若输入的 a,b 的值分别为 0和 9,则输出的 i的值为 . 答案 3 解析第一次循环:a=1,b=8;第二次循环:a=3,b=6;第三次循环:a=6,b=3;满足条件,结束循环,此时,i=3. 循环结构抓住结束点是

8、关键. 12.(2016 山东,理 12)若(2+1)5的展开式中 x5的系数是-80,则实数 a= . 答案-2 解析因为 tr+1=c5(ax2)5-r(1)= c5a5-r10-52,所以由 10-52=5,解得 r=2.因此c52a5-2=-80,解得 a=-2. 13.已知双曲线 e:2222=1(a0,b0),若矩形 abcd 的四个顶点在 e 上,ab,cd的中点为 e 的两个焦点,且 2|ab|=3|bc|,则 e的离心率是 . 答案 2 5 / 16 解析由双曲线和矩形的对称性可知 abx轴,不妨设 a 点的横坐标为 c,则由2222=1,解得 y=2.设 a(,2),b(,

9、-2),则|ab|=22,|bc|=2c,由 2|ab|=3|bc|,c2=a2+b2得离心率 e=2或 e=-12(舍去),所以离心率为 2. 把涉及的两个线段的长度表示出来是做题的关键. 14.(2016 山东,理 14)在-1,1上随机地取一个数 k,则事件“直线 y=kx 与圆(x-5)2+y2=9 相交”发生的概率为 . 答案34 解析直线 y=kx 与圆(x-5)2+y2=9 相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径, 即 d=|5|1+23,解得-34k ,其中 m0.若存在实数 b,使得关于 x的方程f(x)=b 有三个不同的根,则 m的取值范围是 . 答案(3,+) 解析 x2

10、-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.由题意画出函数图象为右图时才符合,要满足存在实数 b,使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,应 4m-m23,即 m 的取值范围为(3,+). 能够准确画出函数的图象是解决本题的关键. 16.(2016 山东,理 16)在abc中,角 a,b,c 的对边分别为 a,b,c,已知 2(tan a+tan b)=tancos+tancos. (1)证明:a+b=2c; 6 / 16 (2)求 cos c的最小值. 解(1)由题意知 2(sincos+sincos) =sincoscos+sincoscos, 化简得 2(sin acos b+

11、sin bcos a)=sin a+sin b, 即 2sin(a+b)=sin a+sin b, 因为 a+b+c=, 所以 sin(a+b)=sin(-c)=sin c. 从而 sin a+sin b=2sin c. 由正弦定理 得 a+b=2c. (2)由(1)知 c=+2, 所以 cos c=2+2-22=2+2-(+2)22 =38(+) 1412, 当且仅当 a=b 时,等号成立. 故 cos c的最小值为12. 17.(2016 山东,理 17) 在如图所示的圆台中,ac是下底面圆 o 的直径,ef是上底面圆 o的直径,fb是圆台的一条母线. (1)已知 g,h分别为 ec,fb

12、的中点.求证:gh平面 abc; (2)已知 ef=fb=12ac=23,ab=bc,求二面角 f-bc-a 的余弦值. 7 / 16 (1)证明 设 fc中点为 i,连接 gi,hi. 在cef 中,因为点 g 是 ce 的中点, 所以 gief. 又 efob, 所以 giob. 在cfb 中,因为 h是 fb的中点, 所以 hibc. 又 higi=i ,所以平面 ghi平面 abc. 因为 gh平面 ghi, 所以 gh平面 abc. (2)解法一连接 oo,则 oo平面 abc. 又 ab=bc,且 ac是圆 o的直径,所以 boac.以 o为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系

13、o-xyz. 由题意得 b(0,23,0),c(-23,0,0). 过点 f作 fm 垂直 ob 于点 m, 8 / 16 所以 fm=2-2=3, 可得 f(0,3,3). 故 =(-23,-23,0), =(0,-3,3). 设 m=(x,y,z)是平面 bcf 的一个法向量. 由 = 0, = 0, 可得-23-23 = 0,-3 + 3 = 0. 可得平面 bcf的一个法向量 m=(-1,1,33). 因为平面 abc的一个法向量 n=(0,0,1), 所以 cos=|=77. 所以二面角 f-bc-a 的余弦值为77. 解法二连接 oo.过点 f 作 fm垂直 ob 于点 m, 则有

14、 fmoo. 又 oo平面 abc, 所以 fm平面 abc. 可得 fm=2-2=3. 过点 m 作 mn垂直 bc于点 n, 连接 fn. 可得 fnbc, 从而fnm为二面角 f-bc-a的平面角. 9 / 16 又 ab=bc,ac 是圆 o 的直径, 所以 mn=bmsin 45=62. 从而 fn=422,可得 cosfnm=77. 所以二面角 f-bc-a 的余弦值为77. 18.(2016 山东,理 18)已知数列an的前 n项和 sn=3n2+8n,bn是等差数列,且 an=bn+bn+1. (1)求数列bn的通项公式; (2)令 cn=(+1)+1(+2),求数列cn的前

15、n 项和 tn. 解(1)由题意知当 n2时,an=sn-sn-1=6n+5, 当 n=1 时,a1=s1 =11, 所以 an=6n+5. 设数列bn的公差为 d. 由1= 1+ 2,2= 2+ 3,即11 = 21+ ,17 = 21+ 3, 可解得 b1=4,d=3.所以 bn=3n+1. (2)由(1)知 cn=(6+6)+1(3+3)=3(n+1) 2n+1. 又 tn=c1+c2+cn, 得 tn=3222+323+(n+1)2n+1, 2tn=3223+324+(n+1)2n+2, 两式作差,得-tn=3222+23+24+2n+1-(n+1)2n+2 =3 4 +4(1-2)1

16、-2-( + 1) 2+2 10 / 16 =-3n 2n+2,所以 tn=3n 2n+2. 19.(2016 山东,理 19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得 3分;如果只有一人猜对,则“星队”得 1分;如果两人都没猜对,则“星队”得 0分.已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对 3个成语的概率; (2)“星队”两轮得分之和 x的分布列和数学期望 ex. 解(1)记事件 a:“甲第一轮猜对”,记

17、事件 b:“乙第一轮猜对”,记事件 c:“甲第二轮猜对”,记事件 d:“乙第二轮猜对”,记事件 e:“星队至少猜对 3 个成语”. 由题意, e=abcd+bcd+acd+abd+abc. 由事件的独立性与互斥性, p(e)=p(abcd)+p(bcd)+p(acd)+p(abd)+p(abc) =p(a)p(b)p(c)p(d)+p()p(b)p(c)p(d)+p(a)p()p(c)p(d)+p(a)p(b)p()p(d)+p(a) p(b)p(c)p() =34233423+2 (14233423+34133423) =23. 所以“星队”至少猜对 3个成语的概率为23. (2)由题意,随

18、机变量 x 可能的取值为 0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性,得 p(x=0)=14131413=1144, p(x=1)=2 (34131413+14231413) =10144=572, 11 / 16 p(x=2)=34133413+34131423+14233413+14231423=25144, p(x=3)=34231413+14133423=12144=112, p(x=4)=2 (34233413+34231423) =60144=512, p(x=6)=34233423=36144=14. 可得随机变量 x的分布列为 x 0 1 2 3 4 6 p 1144 5

19、72 25144 112 512 14 所以数学期望 ex=01144+1572+225144+3112+4512+614=236. 20.(2016 山东,理 20)已知 f(x)=a(x-ln x)+2-12,ar. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 a=1时,证明 f(x)f(x)+32对于任意的 x1,2成立. 解(1)f(x)的定义域为(0,+). f(x)=a-22+23=(2-2)(-1)3. 当 a0时,x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增,x(1,+)时,f(x)0 时,f(x)=(-1)3(-2)( + 2). 0a1, 12 / 16 当 x(0,1)或

20、x (2, + )时,f(x)0,f(x)单调递增, 当 x (1,2)时,f(x)2时 ,020,f(x)单调递增, 当 x (2,1)时,f(x)0,f(x)单调递减. 综上所述,当 a0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减; 当 0a2 时,f(x)在(0,2)内单调递增,在(2,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增. (2)由(1)知,a=1 时, f(x)-f(x)=x-ln x+2-12 (1-1-22+23) =x-ln x+3+1223-1,x1,2. 设 g(x)=x-ln x ,h(x)=3+1223-1,x1,2. 则 f(x)-f(x)=g(x)

21、+h(x). 由 g(x)=-10, 可得 g(x)g(1)=1, 13 / 16 当且仅当 x=1 时取得等号. 又 h(x)=-32-2+64, 设 (x)=-3x2-2x+6,则 (x)在 x1,2单调递减, 因为 (1)=1,(2)=-10, 所以x0(1,2),使得 x(1,x0)时,(x)0,x(x0,2)时,(x)g(1)+h(2)=32, 即 f(x)f(x)+32对于任意的 x1,2成立. 21.(2016 山东,理 21) 平面直角坐标系 xoy中,椭圆 c:22+22=1(ab0)的离心率是32,抛物线 e:x2=2y的焦点 f是 c 的一个顶点. (1)求椭圆 c 的方程; (2)设 p 是 e上的动点,且位于第一象限,e 在点 p 处的切线 l与 c 交于不同的两点 a,b,线段 ab 的中点为 d.直线 od与过 p且垂直于 x轴的直线交于点 m. 求证:点 m在定直线上; 14 / 16 直线 l与 y 轴交于点 g,记pfg的面积为 s1,pdm 的面积为 s2,求12的最大值及取得最大值时点p 的坐标. 解(1)由题意知2-2=3