2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(山东卷)理 (2)

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)第卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014山东,理1)已知a,br,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=().a.5-4ib.5+4ic.3-4id.3+4i答案:d解析:由a-i与2+bi互为共轭复数,可得a=2,b=1.所以(a+bi)2=(2+i)2=4+4i-1=3+4i.2.(2014山东,理2)设集合a=x|x-1|<2,b=y|y=2x,x0,2,则ab=().a.0,2b.(1,3)c.1,3)

2、d.(1,4)答案:c解析:由题意,得a=x|x-1|<2=x|-1<x<3,b=y|y=2x,x0,2=y|1y4,所以ab=1,3).3.(2014山东,理3)函数f(x)=1(log2x)2-1的定义域为().a.0,12b.(2,+)c.0,12(2,+)d.0,122,+)答案:c解析:要使函数有意义,应有(log2x)2>1,且x>0,即log2x>1或log2x<-1,解得x>2或0<x<12.所以函数f(x)的定义域为0,12(2,+).4.(2014山东,理4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=

3、0至少有一个实根”时,要做的假设是().a.方程x3+ax+b=0没有实根b.方程x3+ax+b=0至多有一个实根c.方程x3+ax+b=0至多有两个实根d.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案:a解析:因为至少有一个的反面为一个也没有,所以要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.5.(2014山东,理5)已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是().a.1x2+1>1y2+1b.ln(x2+1)>ln(y2+1)c.sin x>sin yd.x3>y3答案:d解析:由ax<ay(0<a<1),可得x

4、>y.又因为函数f(x)=x3在r上递增,所以f(x)>f(y),即x3>y3.6.(2014山东,理6)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为().a.22b.42c.2d.4答案:d解析:由y=4x,y=x3,解得x=-2或x=0或x=2,所以直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形面积应为s=02 (4x-x3)dx=2x2-14x402=2×22-14×24-0=4.7.(2014山东,理7)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kpa)的分组区间为12,13),13,1

5、4),14,15),15,16),16,17,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,第五组.下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为().a.6b.8c.12d.18答案:c解析:设样本容量为n,由题意,得(0.24+0.16)×1×n=20,解得n=50.所以第三组频数为0.36×1×50=18.因为第三组中没有疗效的有6人,所以第三组中有疗效的人数为18-6=12.8.(2014山东,理8)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)

6、有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是().a.0,12b.12,1c.(1,2)d.(2,+)答案:b解析:画出f(x)=|x-2|+1的图象如图所示.由数形结合知识,可知若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数g(x)与f(x)的图象应有两个不同的交点.所以函数g(x)=kx的图象应介于直线y=12x和y=x之间,所以k的取值范围是12,1.9.(2014山东,理9)已知x,y满足约束条件x-y-10,2x-y-30,当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值25时,a2+b2的最小值为().a.5b.4c.5d.2答案:b解析:约束条件x-

7、y-10,2x-y-30满足的可行域如图中的阴影部分所示.由图可知,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取最小值时,最优解为(2,1).所以2a+b=25,则b=25-2a,所以a2+b2=a2+(25-2a)2=5a2-85a+20=5a-4552+4,即当a=455,b=255时,a2+b2有最小值4.10.(2014山东,理10)已知a>b>0,椭圆c1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线c2的方程为x2a2-y2b2=1,c1与c2的离心率之积为32,则c2的渐近线方程为().a.x±2y=0b.2x±y=0c.x±2y=0d

8、.2x±y=0答案:a解析:由题意,知椭圆c1的离心率e1=a2-b2a,双曲线c2的离心率为e2=a2+b2a.因为e1·e2=32,所以(a2-b2)(a2+b2)a2=32,即(a2-b2)(a2+b2)a4=34,整理可得a=2b.又双曲线c2的渐近线方程为bx±ay=0,所以bx±2by=0,即x±2y=0.第卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2014山东,理11)执行下面的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为. 答案:3解析:输入x=1,12-4+30,则x=2,n=1;返

9、回22-8+30,则x=3,n=2;返回32-12+30,则x=4,n=3;返回42-16+3>0,则输出n=3,结束.12.(2014山东,理12)在abc中,已知ab·ac=tan a,当a=6时,abc的面积为. 答案:16解析:由ab·ac=tan a,可得|ab|ac|cos a=tan a.因为a=6,所以|ab|ac|·32=33,即|ab|ac|=23.所以sabc=12|ab|ac|·sin a=12×23×12=16.13.(2014山东,理13)三棱锥p-abc中,d,e分别为pb,pc的中点,记

10、三棱锥d-abe的体积为v1,p-abc的体积为v2,则v1v2=. 答案:14解析:由题意,知vd-abe=va-bde=v1,vp-abc=va-pbc=v2.因为d,e分别为pb,pc中点,所以sbdespbc=14.设点a到平面pbc的距离为d,则v1v2=13sbde·d13spbc·d=sbdespbc=14.14.(2014山东,理14)若ax2+bx6的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为. 答案:2解析:ax2+bx6的展开式的通项为tr+1=c6r(ax2)6-r·bxr=c6ra6-rbrx12-3r,令12

11、-3r=3,得r=3.由c6ra6-rbr=c63a3b3=20,得ab=1.所以a2+b22ab=2×1=2.15.(2014山东,理15)已知函数y=f(x)(xr).对函数y=g(x)(xi),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(xi).y=h(x)满足:对任意xi,两个点(x,h(x),(x,g(x)关于点(x,f(x)对称.若h(x)是g(x)=4-x2关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是. 答案:(210,+)解析:由已知得h(x)+4-x22=3x+b,所以,h(x)=6x+2b-4

12、-x2.h(x)>g(x)恒成立,即6x+2b-4-x2>4-x2恒成立,整理得3x+b>4-x2恒成立.在同一坐标系内,画出直线y=3x+b及半圆y=4-x2(如图所示),当直线与半圆相切时,|3×0-0+b|1+32=2,所以|b|=210.故b的取值范围是(210,+).三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.(本小题满分12分)(2014山东,理16)已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点12,3和点23,-2.(1)求m,n的值;(2)将y=f(x)的图象向左平移(0<

13、<)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.分析:在第(1)问中,可先根据向量数量积坐标运算整理出f(x)的解析式,再由图象过两点,代入整理可得关于m,n的方程组,利用此方程组即得m,n的值.在第(2)问中,通过图象平移知识,可得含参数的g(x)的解析式,从中设出最高点,然后根据两点距离为1,可确定最高点的坐标,代入可求出g(x)确定的解析式,从而求出单调区间.解:(1)由题意知f(x)=a·b=msin 2x+ncos 2x.因为y=f(x)的图象过点12,3和23,-2,所以3=msin

14、6+ncos6,-2=msin43+ncos43,即3=12m+32n,-2=-32m-12n,解得m=3,n=1.(2)由(1)知f(x)=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+6.由题意知g(x)=f(x+)=2sin2x+2+6.设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),由题意知x02+1=1,所以x0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入y=g(x)得sin2+6=1,因为0<<,所以=6.因此g(x)=2sin2x+2=2cos 2x,由2k-2x2k,kz,得k-2xk,kz,所以函数y=g(x)的单调递增区间为k-2,k,kz

15、.17.(本小题满分12分)(2014山东,理17)如图,在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,底面abcd是等腰梯形,dab=60°,ab=2cd=2,m是线段ab的中点.(1)求证:c1m平面a1add1;(2)若cd1垂直于平面abcd且cd1=3,求平面c1d1m和平面abcd所成的角(锐角)的余弦值.分析:在第(1)问中,可考虑线面平行的判定定理,即从平面a1add1中找一条线与c1m平行,显然可找线ad1,再通过证明四边形amc1d1为平行四边形来达到求证目的.在第(2)问中,方法一:可以点c为原点建立空间直角坐标系,求出平面c1d1m和平面abcd的法向量,则两法向量夹

16、角的余弦的绝对值即为两面夹角(锐角)的余弦值.方法二:平面c1d1m即为平面abc1d1,则平面c1d1m与平面abcd所成角的棱为ab,又已知cd1平面abcd,故可过c向棱ab作垂线,垂足为n,连接d1n,则可证d1nc为二面角的平面角,进而在rtd1cn中求d1nc的余弦值即可.(1)证明:因为四边形abcd是等腰梯形,且ab=2cd,所以abdc.又由m是ab的中点,因此cdma且cd=ma.连接ad1,在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,因为cdc1d1,cd=c1d1,可得c1d1ma,c1d1=ma,所以四边形amc1d1为平行四边形.因此c1md1a,又c1m平面a1add1

17、,d1a平面a1add1,所以c1m平面a1add1.(2)解法一:连接ac,mc,由(1)知,cdam且cd=am,所以四边形amcd为平行四边形.可得bc=ad=mc,由题意abc=dab=60°,所以mbc为正三角形,因此ab=2bc=2,ca=3,因此cacb.以c为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系c-xyz.所以a(3,0,0),b(0,1,0),d1(0,0,3).因此m32,12,0,所以md1=-32,-12,3,d1c1=mb=-32,12,0.设平面c1d1m的一个法向量n=(x,y,z),由n·d1c1=0,n·md1=0,得3x-y=0

18、,3x+y-23z=0,可得平面c1d1m的一个法向量n=(1,3,1).又cd1=(0,0,3)为平面abcd的一个法向量.因此cos<cd1,n>=cd1·n|cd1|n|=55.所以平面c1d1m和平面abcd所成的角(锐角)的余弦值为55.解法二:由(1)知平面d1c1m平面abcd=ab,过c向ab引垂线交ab于n,连接d1n.由cd1平面abcd,可得d1nab,因此d1nc为二面角c1-ab-c的平面角.在rtbnc中,bc=1,nbc=60°,可得cn=32.所以nd1=cd12+cn2=152.在rtd1cn中,cosd1nc=cnd1n=32

19、152=55.所以平面c1d1m和平面abcd所成的角(锐角)的余弦值为55.18.(本小题满分12分)(2014山东,理18)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域a,b,乙被划分为两个不相交的区域c,d.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在c上记3分,在d上记1分,其他情况记0分.对落点在a上的来球,队员小明回球的落点在c上的概率为12,在d上的概率为13;对落点在b上的来球,小明回球的落点在c上的概率为15,在d上的概率为35.假设共有两次来球且落在a,b上各一次,小明的两次回球互不影响.求:(1)小明两次回球的落点中恰有一次的

20、落点在乙上的概率;(2)两次回球结束后,小明得分之和的分布列与数学期望.分析:第(1)问中,恰有一次落在乙上可分为两种情况,第种,从a击球落在乙上,从b击球没落在乙上;第种,从b击球落在乙上,从a击球没落在乙上,将两种情况的概率相加即为恰有一次落在乙上的概率.第(2)问中,根据事件的独立性与互斥性,可得出,得0分情形为a,b处都不得分;得1分情形为a处得1分b处不得分或a处不得分b处得1分;得2分情形为a,b两处各得1分;得3分情形为a处得3分b处得0分或a处得0分b处得3分;得4分情形为a处得3分b处得1分或a处得1分b处得3分;得6分情形为a,b两处都得3分,共6种情形.列出小明得分之和的

21、分布列便可求出期望.解:(1)记ai为事件“小明对落点在a上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则p(a3)=12,p(a1)=13,p(a0)=1-12-13=16;记bi为事件“小明对落点在b上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则p(b3)=15,p(b1)=35,p(b0)=1-15-35=15.记d为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.由题意,d=a3b0+a1b0+a0b1+a0b3,由事件的独立性和互斥性,p(d)=p(a3b0+a1b0+a0b1+a0b3)=p(a3b0)+p(a1b0)+p(a0b1)+p(a0b3)=p(a3)p(b0)+p(

22、a1)p(b0)+p(a0)p(b1)+p(a0)p(b3)=12×15+13×15+16×35+16×15=310,所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意,随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6,由事件的独立性和互斥性,得p(=0)=p(a0b0)=16×15=130,p(=1)=p(a1b0+a0b1)=p(a1b0)+p(a0b1)=13×15+16×35=16,p(=2)=p(a1b1)=13×35=15,p(=3)=p(a3b0+a0b3)=p(a3b0)+p(a0b

23、3)=12×15+15×16=215,p(=4)=p(a3b1+a1b3)=p(a3b1)+p(a1b3)=12×35+13×15=1130,p(=6)=p(a3b3)=12×15=110.可得随机变量的分布列为:012346p13016152151130110所以数学期望e()=0×130+1×16+2×15+3×215+4×1130+6×110=9130.19.(本小题满分12分)(2014山东,理19)已知等差数列an的公差为2,前n项和为sn,且s1,s2,s4成等比数列.(1

24、)求数列an的通项公式;(2)令bn=(-1)n-14nanan+1,求数列bn的前n项和tn.分析:第(1)问中可利用等差数列知识,用首项与公差表示出前n项和,再根据s1,s2,s4成等比数列求出首项,从而求得an.求第(2)问时,可结合第(1)问中an的结果得出bn的通项公式,最后对项数n按奇数和偶数两种情况讨论并求出bn的前n项和tn.解:(1)因为s1=a1,s2=2a1+2×12×2=2a1+2,s4=4a1+4×32×2=4a1+12,由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.(2)bn=(-1)n-1

25、4nanan+1=(-1)n-14n(2n-1)(2n+1)=(-1)n-112n-1+12n+1.当n为偶数时,tn=1+13-13+15+12n-3+12n-1-12n-1+12n+1=1-12n+1=2n2n+1.当n为奇数时,tn=1+13-13+15+-12n-3+12n-1+12n-1+12n+1=1+12n+1=2n+22n+1.所以tn=2n+22n+1,n为奇数,2n2n+1,n为偶数.或tn=2n+1+(-1)n-12n+1.20.(本小题满分13分)(2014山东,理20)设函数f(x)=exx2-k2x+lnx(k为常数,e=2.718 28是自然对数的底数).(1)当

26、k0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.分析:第(1)问中可先求出f(x)的导函数f'(x),再解不等式f'(x)>0和f'(x)<0,即可确定f(x)的单调区间.第(2)问中,根据第(1)问结论可知k0时不适合第(2)问,故k>0,再具体讨论k值,要使f(x)在(0,2)内有两个极值点,则f(x)在(0,2)内必须出现增减增或减增减,即导函数f'(x)出现正负正或者负正负.据此可列出不等式,最后求得k的取值范围.解:(1)函数y=f(x)的定义域为(0,+).f'(x)=x2

27、ex-2xexx4-k-2x2+1x=xex-2exx3-k(x-2)x2=(x-2)(ex-kx)x3.由k0可得ex-kx>0,所以当x(0,2)时,f'(x)<0,函数y=f(x)单调递减,x(2,+)时,f'(x)>0,函数y=f(x)单调递增.所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+).(2)由(1)知,当k0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减,故f(x)在(0,2)内不存在极值点;当k>0时,设函数g(x)=ex-kx,x0,+).因为g'(x)=ex-k=ex-eln k,当0<k1时,当x(0,2)

28、时,g'(x)=ex-k>0,y=g(x)单调递增,故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点;当k>1时,得x(0,ln k)时,g'(x)<0,函数y=g(x)单调递减,x(ln k,+)时,g'(x)>0,函数y=g(x)单调递增.所以函数y=g(x)的最小值为g(ln k)=k(1-ln k).函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,当且仅当g(0)>0,g(lnk)<0,g(2)>0,0<lnk<2,解得e<k<e22.综上所述,函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k的取值范围为e,e2

29、2.21.(本小题满分14分)(2014山东,理21)已知抛物线c:y2=2px(p>0)的焦点为f,a为c上异于原点的任意一点,过点a的直线l交c于另一点b,交x轴的正半轴于点d,且有|fa|=|fd|.当点a的横坐标为3时,adf为正三角形.(1)求c的方程;(2)若直线l1l,且l1和c有且只有一个公共点e,证明直线ae过定点,并求出定点坐标;abe的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.分析:在第(1)问中,可设d(t,0),然后根据抛物线定义以及|fa|=|fd|建立t与p的关系,再由adf为正三角形求出p的值,即得c的方程.在第(2)问中,利用抛物线方程可确定抛物线焦点坐标,再设出a点,利用与f点关系求出点d,从而确定l的斜率.根据l1