2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(北京卷)

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试北京理科数学1.(2016北京,理1)已知集合a=x|x|<2,b=-1,0,1,2,3,则ab=()a.0,1b.0,1,2c.-1,0,1d.-1,0,1,2答案c由|x|<2,可知-2<x<2,即a=x|-2<x<2,故ab=-1,0,1,选c.2.(2016北京,理2)若x,y满足2x-y0,x+y3,x0,则2x+y的最大值为()a.0b.3c.4d.5答案c由不等式组可作出如图的可行域(阴影部分),将z=2x+y变形为y=-2x+z,这是斜率为-2,随z变化的一族平行直线,如图,可知当y=-2x+z经过点p时

2、,z取最大值.由2x-y=0,x+y=3,可得p点坐标为(1,2),故zmax=2×1+2=4.3.(2016北京,理3)执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为()a.1b.2c.3d.4答案b由程序框图可知,输入a=1,则k=0,b=1;进入循环体,a=-12,a=b不成立,k=1,a=-2,a=b不成立,k=2,a=1,此时a=b=1,输出k,则k=2,故选b.4.(2016北京,理4)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件答案d由|a|=|b|无法得

3、到|a+b|=|a-b|,充分性不成立;由|a+b|=|a-b|,得a·b=0,也无法得到|a|=|b|,必要性不成立.故选d.5.(2016北京,理5)已知x,yr,且x>y>0,则()a.1x-1y>0b.sin x-sin y>0c.12x-12y<0d.ln x+ln y>0答案c由x>y>0,得1x<1y,即1x-1y<0,故选项a不正确;由x>y>0及正弦函数的单调性,可知sin x-sin y>0不一定成立,故选项b不正确;由0<12<1,x>y>0,可知12x<

4、12y,即12x-12y<0,故选项c正确;由x>y>0,得xy>0,xy不一定大于1,故ln x+ln y=ln xy>0不一定成立,故选项d不正确.故选c.6.(2016北京,理6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()a.16b.13c.12d.1答案a由三视图可得,三棱锥的直观图如图,则该三棱锥的体积v=13·12·1·1·1=16,故选a.7.(2016北京,理7)将函数y=sin2x-3图象上的点p4,t向左平移s(s>0)个单位长度得到点p'.若p'位于函数y=sin 2x的图象

5、上,则()a.t=12,s的最小值为6b.t=32,s的最小值为6c.t=12,s的最小值为3d.t=32,s的最小值为3答案a设p'(x,y).由题意得,t=sin2×4-3=12,且p'的纵坐标与p的纵坐标相同,即y=12.又p'在函数y=sin 2x的图象上,则sin 2x=12,故点p'的横坐标x=12+k或512+k(kz),由题意可得s的最小值为4-12=6.8.(2016北京,理8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就

6、放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()a.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球b.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多c.乙盒中红球不多于丙盒中红球d.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案b若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,选b.9.(201

7、6北京,理9)设ar,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=. 答案-1解析(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)ir,a+1=0,即a=-1.10.(2016北京,理10)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为.(用数字作答) 答案60解析二项展开式的通项tr+1=c6r16-r·(-2x)r=(-2)rc6rxr,x2的系数为(-2)2c62=60.11.(2016北京,理11)在极坐标系中,直线cos -3sin -1=0与圆=2cos 交于a,b两点,则|ab|=.答案2 解析直线cos -3sin -1=0化为直角坐

8、标方程为x-3y-1=0,圆=2cos 化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,可知圆心(1,0)在直线x-3y-1=0上,故|ab|=2.12.(2016北京,理12)已知an为等差数列,sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则s6=. 答案6解析an是等差数列,a3+a5=2a4=0.a4=0.a4-a1=3d=-6.d=-2.s6=6a1+15d=6×6+15×(-2)=6.13.(2016北京,理13)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形oabc的边oa,oc所在的直线,点b为该双曲线的焦点.若正方形oabc

9、的边长为2,则a=. 答案2解析四边形oabc是正方形,aob=45°,不妨设直线oa的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x.ba=1,即a=b.又|ob|=22,c=22.a2+b2=c2,即a2+a2=(22)2,可得a=2.14.(2016北京,理14)设函数f(x)=x3-3x,xa,-2x,x>a.(1)若a=0,则f(x)的最大值为; (2)若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是. 答案(1)2(2)(-,-1)解析令g(x)=x3-3x,(x)=-2x.由g'(x)=3x2-3=0,得x=±1.可判断当x=1时,

10、函数g(x)的极小值为-2;当x=-1时,函数g(x)的极大值为2,且g(x)与x轴的交点为(-3,0),(0,0),(3,0).又g(x)与(x)图象的交点为a(-1,2),o(0,0),b(1,-2),故可作出函数g(x)与(x)的大致图象如图所示.(1)当a=0时,f(x)=x3-3x,x0,-2x,x>0,可知f(x)的最大值是f(-1)=2;(2)由图象知,当a-1时,f(x)有最大值f(-1)=2;当a<-1时,有a3-3a<-2a,此时f(x)无最大值,a的取值范围是(-,-1).15.(2016北京,理15)在abc中,a2+c2=b2+2ac.(1)求b的大

11、小;(2)求2cos a+cos c的最大值.解(1)由余弦定理及题设得cos b=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.又因为0<b<,所以b=4.(2)由(1)知a+c=34.2cos a+cos c=2cos a+cos34-a=2cos a-22cos a+22sin a=22cos a+22sin a=cosa-4.因为0<a<34,所以当a=4时,2cos a+cos c取得最大值1.16.(2016北京,理16)a,b,c三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):a班66.5

12、77.58b班6789101112c班34.567.5910.51213.5(1)试估计c班的学生人数;(2)从a班和c班抽出的学生中,各随机选取一人,a班选出的人记为甲,c班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;(3)再从a,b,c三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1,表格中数据的平均数记为0,试判断0和1的大小.(结论不要求证明)解(1)由题意知,抽出的20名学生中,来自c班的学生有8名.根据分层抽样方法,c班的学生人数估计为100

13、5;820=40.(2)设事件ai为“甲是现有样本中a班的第i个人”,i=1,2,5,事件cj为“乙是现有样本中c班的第j个人”,j=1,2,8.由题意可知,p(ai)=15,i=1,2,5;p(cj)=18,j=1,2,8.p(aicj)=p(ai)p(cj)=15×18=140,i=1,2,5,j=1,2,8.设事件e为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,e=a1c1a1c2a2c1a2c2a2c3a3c1a3c2a3c3a4c1a4c2a4c3a5c1a5c2a5c3a5c4.因此p(e)=p(a1c1)+p(a1c2)+p(a2c1)+p(a2c2)+p(a2c3

14、)+p(a3c1)+p(a3c2)+p(a3c3)+p(a4c1)+p(a4c2)+p(a4c3)+p(a5c1)+p(a5c2)+p(a5c3)+p(a5c4)=15×140=38.(3)1<0.17.(2016北京,理17)如图,在四棱锥p-abcd中,平面pad平面abcd,papd,pa=pd,abad,ab=1,ad=2,ac=cd=5.(1)求证:pd平面pab;(2)求直线pb与平面pcd所成角的正弦值;(3)在棱pa上是否存在点m,使得bm平面pcd?若存在,求amap的值;若不存在,说明理由.解(1)因为平面pad平面abcd,abad,所以ab平面pad.所

15、以abpd.又因为papd,所以pd平面pab.(2)取ad的中点o,连接po,co.因为pa=pd,所以poad.又因为po平面pad,平面pad平面abcd,所以po平面abcd.因为co平面abcd,所以poco.因为ac=cd,所以coad.如图建立空间直角坐标系o-xyz.由题意得,a(0,1,0),b(1,1,0),c(2,0,0),d(0,-1,0),p(0,0,1).设平面pcd的法向量为n=(x,y,z),则n·pd=0,n·pc=0,即-y-z=0,2x-z=0.令z=2,则x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2).又pb=(1,1,-1),所以cos

16、<n,pb>=n·pb|n|pb|=-33.所以直线pb与平面pcd所成角的正弦值为33.(3)设m是棱pa上一点,则存在0,1使得am=ap.因此点m(0,1-,),bm=(-1,-,).因为bm平面pcd,所以bm平面pcd当且仅当bm·n=0,即(-1,-,)·(1,-2,2)=0.解得=14.所以在棱pa上存在点m使得bm平面pcd,此时amap=14.18.(2016北京,理18)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解(1)因为

17、f(x)=xea-x+bx,所以f'(x)=(1-x)ea-x+b.依题设,f(2)=2e+2,f'(2)=e-1,即2ea-2+2b=2e+2,-ea-2+b=e-1,解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f'(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f'(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g'(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-,1)上单调递减;当x(1,+)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+)上单

18、调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而g(x)>0,x(-,+).综上可知,f'(x)>0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).19.(2016北京,理19)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,a(a,0),b(0,b),o(0,0),oab的面积为1.(1)求椭圆c的方程;(2)设p是椭圆c上一点,直线pa与y轴交于点m,直线pb与x轴交于点n,求证:|an|·|bm|为定值.解(1)由题意得ca=32,12ab=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.所以椭圆c的方程为x24+

19、y2=1.(2)由(1)知,a(2,0),b(0,1).设p(x0,y0),则x02+4y02=4.当x00时,直线pa的方程为y=y0x0-2(x-2).令x=0,得ym=-2y0x0-2,从而|bm|=|1-ym|=1+2y0x0-2.直线pb的方程为y=y0-1x0x+1.令y=0,得xn=-x0y0-1,从而|an|=|2-xn|=2+x0y0-1.所以|an|·|bm|=2+x0y0-1·1+2y0x0-2=x02+4y02+4x0y0-4x0-8y0+4x0y0-x0-2y0+2=4x0y0-4x0-8y0+8x0y0-x0-2y0+2=4.当x0=0时,y0=-1,|bm|=2,|an|=2,所以|an|·|bm|=4.综上,|an|·|bm|为定值.20.(2016北京,理20)设数列a:a1,a2,an(n2).如果对小于n(2nn)的每个正整数k都有ak<