2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(课标全国Ⅱ) (2)

1、1 / 8 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 课标全国文科数学 注意事项: 1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(201

2、5 课标全国,文 1)已知集合 a=x|-1x2,b=x|0 x3,则 ab=( ) a.(-1,3) b.(-1,0) c.(0,2) d.(2,3) 答案:a 解析:由题意,得 ab=x|-1x3,即 ab=(-1,3). 2.(2015 课标全国,文 2)若 a为实数,且2+i1+i=3+i,则 a= ( ) a.-4 b.-3 c.3 d.4 答案:d 解析:由题意,得 2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,则 a=4. 3.(2015 课标全国,文 3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( ) a.逐年比较,

3、2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 b.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 c.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 d.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 答案:d 解析:由柱形图知,2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,故其排放量与年份负相关. 4.(2015 课标全国,文 4)向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b) a=( ) a.-1 b.0 c.1 d.2 答案:c 解析:2a+b=(1,0),又 a=(1,-1),(2a+b) a=1+0=1. 5.(2015 课标全国,文 5)设 sn是等差数列an的前 n 项和,

4、若 a1+a3+a5=3,则 s5=( ) a.5 b.7 c.9 d.11 答案:a 解析:由 a1+a3+a5=3,得 3a3=3,解得 a3=1.故 s5=5(1+5)2=5a3=5. 6.(2015 课标全国,文 6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) 2 / 8 a.18 b.17 c.16 d.15 答案:d 解析:由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长为 a,则 v正方体=a3,v截去部分=16a3,故截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a356a3=15. 7.(2015 课标全国,文 7)已

5、知三点 a(1,0),b(0,3),c(2,3),则abc 外接圆的圆心到原点的距离为( ) a.53 b.213 c.253 d.43 答案:b 解析:由题意知,abc 外接圆的圆心是直线 x=1 与线段 ab 垂直平分线的交点为 p,而线段 ab垂直平分线的方程为 y-32=33(-12),它与 x=1 联立得圆心 p坐标为(1,233),则|op|=12+ (233)2=213. 8.(2015 课标全国,文 8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=( ) a.0 b.2 c.4 d.1

6、4 答案:b 解析:由程序框图,得(14,18)(14,4)(10,4)(6,4)(2,4)(2,2),则输出的 a=2. 9.(2015 课标全国,文 9)已知等比数列an满足 a1=14,a3a5=4(a4-1),则 a2=( ) a.2 b.1 c.12 d.18 答案:c 解析:a3a5=4(a4-1),42=4(a4-1),解得 a4=2. 又 a4=a1q3,且 a1=14,q=2,a2=a1q=12. 10.(2015 课标全国,文 10)已知 a,b是球 o 的球面上两点,aob=90 ,c 为该球面上的动点.若三棱锥 o-abc体积的最大值为 36,则球 o 的表面积为( )

7、 a.36 b.64 c.144 d.256 答案:c 解析:由aob 面积确定,若三棱锥 o-abc 的底面 oab上的高最大,则其体积才最大.因为高最大为半径 r,所以vo-abc=1312r2r=36,解得 r=6,故 s球=4r2=144. 11.(2015 课标全国,文 11)如图,长方形 abcd 的边 ab=2,bc=1,o 是 ab的中点.点 p沿着边 bc,cd 与 da运动,记bop=x.将动点 p到 a,b两点距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x)的图像大致为( ) 3 / 8 答案:b 解析:(方法一)当点 p在线段 bc 上时,如图,x0,4. pb=

8、obtan x=tan x,pa=2+ 2= tan2 + 4, 所以 f(x)=pb+pa=tan x+tan2 + 4. 显然函数 f(x)在0,4内单调递增, 故 f(0)f(x)f(4),即 2f(x)1+5. 取线段 cd 的中点 e,当点 p在线段 ce上时,x(4,2). 如图,过点 p作 phab,垂足为 h. 则 oh=1tan,bh=1-1tan. 所以 pb=2+ 2=12+ (1-1tan)2, pa=2+ 2=12+ (1 +1tan)2. 所以 f(x)=pb+pa=1 + (1-1tan)2+1 + (1 +1tan)2.所以 f(x)在(4,2)上单调递减. 当

9、点 p在点 e处,f(x)=pb+pa=221+5. 当点 p在线段 de 上时,x(2,34). 由图形的对称性可知,此时函数图像与当点 p在线段 ce 上时的图像关于 x=2对称. 当点 p在线段 da 上时,x34,. 由图形的对称性可知,此时的函数图像与当点 p在线段 bc 上时的图像关于 x=2对称. 综上选 b. (方法二)由题意可知 f(2)=22,f(4) = 5+1,则 f(2)f(2x-1)成立的 x 的取值范围是 ( ) a.(13,1) b.(-,13)(1,+) 4 / 8 c.(-13,13) d.(-,-13) (13, + ) 答案:a 解析:函数 f(x)的定

10、义域为 r,又由题意可知 f(-x)=f(x),故 f(x)为偶函数. 当 x0 时,f(x)=ln(1+x)-11+2,因为 y1=ln(1+x)单调递增,y2=-11+2亦为单调递增,所以 f(x)在(0,+)为增函数. 由 f(x)f(2x-1)f(|x|)f(|2x-1|),得|x|2x-1|,解得 x(13,1). 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.(2015 课标全国,文 13)已知函数 f(x)=ax3-2x 的

11、图像过点(-1,4),则 a= . 答案:-2 解析:由题意知 f(-1)=4,得-a+2=4,a=-2. 14.(2015 课标全国,文 14)若 x,y 满足约束条件 + -5 0,2-1 0,-2 + 1 0,则 z=2x+y 的最大值为 . 答案:8 解析:如图所示,可行域为阴影部分. 由可行域可知,目标函数 8=2x+y 过点 b取得最大值. 联立 + -5 = 0,-2 + 1 = 0,解得 = 3, = 2,则 b(3,2),故 zmax=6+2=8. 15.(2015 课标全国,文 15)已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为 y=12x,则该双曲线的标准方程为 . 答案:2

12、4-y2=1 解析:由渐近线方程 y=12x,可设双曲线的标准方程为24-y2=(0),将点(4,3)代入得 =1,故双曲线的标准方程为24-y2=1. 16.(2015 课标全国,文 16)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则a= . 答案:8 解析:y=1+1,k=y|x=1=2, 切线方程为 y=2x-1. 由 y=2x-1 与 y=ax2+(a+2)x+1 联立,得 ax2+ax+2=0,再由相切知 =a2-8a=0,解得 a=0 或 a=8. 当 a=0 时,y=ax2+(a+2)x+1 并非曲线而是直线,a=0 舍去,故

13、a=8. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)(2015 课标全国,文 17)abc 中,d 是 bc 上的点,ad 平分bac,bd=2dc. (1)求sinsin; (2)若bac=60 ,求b. 解:(1)由正弦定理得 sin=sin,sin=sin. 因为 ad 平分bac,bd=2dc, 所以sinsin=12. (2)因为c=180 -(bac+b),bac=60 , 所以 sinc=sin(bac+b) =32cosb+12sinb. 由(1)知 2sinb=sinc, 5 / 8 所以 tanb=33,即b=30 . 18.(本小

14、题满分 12 分)(2015 课标全国,文 18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 a,b 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到 a 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 b 地区用户满意度评分的频数分布表. a 地区用户满意度评分的频率分布直方图 b 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度 评分分组 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 频数 2 8 14 10 6 (1)在答题卡上作出 b 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可); b 地区

15、用户满意度评分的频率分布直方图 (2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级: 满意度评分 低于 70分 70 分到 89分 不低于 90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由. 解:(1) 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,b 地区用户满意度评分的平均值高于 a 地区用户满意度评分的平均值;b 地区用户满意度评分比较集中,而 a 地区用户满意度评分比较分散. (2)a 地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记 ca表示事件:“a 地区用户的满意度等级为不满意”;cb表示事件:“b 地区用户的满意度等级为不满意”

16、. 由直方图得 p(ca)的估计值为(0.01+0.02+0.03)10=0.6,p(cb)的估计值为(0.005+0.02)10=0.25. 所以 a 地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 6 / 8 19.(本小题满分 12 分)(2015 课标全国,文 19)如图,长方体 abcd-a1b1c1d1中,ab=16,bc=10,aa1=8,点 e,f分别在 a1b1,d1c1上,a1e=d1f=4,过点 e,f的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值. 解:(1)交线围成的正方形

17、ehgf 如图: (2)作 emab,垂足为 m, 则 am=a1e=4,eb1=12,em=aa1=8. 因为 ehgf为正方形,所以 eh=ef=bc=10. 于是 mh=2-2=6,ah=10,hb=6. 因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱,所以其体积的比值为97(79也正确). 20.(本小题满分 12 分)(2015 课标全国,文 20)已知椭圆 c:22+22=1(ab0)的离心率为22,点(2,2)在 c 上. (1)求 c 的方程; (2)直线 l 不过原点 o 且不平行于坐标轴,l 与 c 有两个交点 a,b,线段 ab的中点为 m.证明:直线 om 的斜率与直线

18、 l 的斜率的乘积为定值. 解:(1)由题意有2-2=22,42+22=1, 解得 a2=8,b2=4. 所以 c 的方程为28+24=1. (2)设直线 l:y=kx+b(k0,b0),a(x1,y1),b(x2,y2),m(xm,ym). 将 y=kx+b 代入28+24=1, 得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. 故 xm=1+22=-222+1,ym=k xm+b=22+1. 于是直线 om 的斜率 kom=-12,即 kom k=-12. 所以直线 om 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 21.(本小题满分 12 分)(2015 课标全国,文 21)已知函数 f(x

19、)=ln x+a(1-x). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围. 解:(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1-a. 若 a0,则 f(x)0,所以 f(x)在(0,+)单调递增. 若 a0,则当 x(0,1)时,f(x)0; 当 x(1, + )时,f(x)0 时,f(x)在 x=1取得最大值,最大值为 f(1)=ln(1)+a(1-1)=-ln a+a-1. 因此 f(1)2a-2 等价于 ln a+a-10. 令 g(a)=ln a+a-1,则 g(a)在(0,+)单调递增,g(1)=0. 于是,当 0a1

20、 时,g(a)1 时,g(a)0. 因此,a 的取值范围是(0,1). 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请写清题号. 7 / 8 22.(本小题满分 10 分)(2015 课标全国,文 22)选修 41:几何证明选讲 如图,o 为等腰三角形 abc 内一点,o 与abc 的底边 bc 交于 m,n 两点,与底边上的高 ad 交于点 g,且与ab,ac 分别相切于 e,f两点. (1)证明:efbc; (2)若 ag 等于o 的半径,且 ae=mn=23,求四边形 ebcf 的面积. 解:(1)由于abc 是等腰三角形,adbc, 所以 ad 是cab 的平分线. 又因为o 分别与 ab,ac 相切于点 e,f, 所以 ae=af,故 adef. 从而 efbc. (2)由(1)知,ae=af,adef, 故 ad 是 ef的垂直平分线. 又 ef为o 的弦,所以 o 在 ad 上. 连结 oe,om,则 oeae. 由 ag 等于o 的半径得 ao=2oe, 所以oae=30 . 因此abc 和aef都是等边三角形. 因为 ae=23,所以 ao=4,oe=2. 因为