2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(安徽卷)

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试安徽文科数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷第1至第2页,第卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.考生注意事项:1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第卷时,每小题选出答案后,用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅

2、笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.第卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015安徽,文1)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=()a.3+3ib.-1+3ic.3+id.-1+i答案:c解析:由复数的乘法运算法则,得(1-i)(1+2i)=1-i+2i-2i2=1+i+2=3+i,因此选c.2.(2015安徽,文2)设全集

3、u=1,2,3,4,5,6,a=1,2,b=2,3,4,则a(ub)=()a.1,2,5,6b.1c.2d.1,2,3,4答案:b解析:由题意得ub=1,5,6,则a(ub)=1,因此选b.3.(2015安徽,文3)设p:x<3,q:-1<x<3,则p是q成立的()a.充分必要条件b.充分不必要条件c.必要不充分条件d.既不充分也不必要条件答案:c解析:由q:-1<x<3可以得到p:x<3,即qp,而由p成立不一定得到q成立,即pq,因此p是q成立的必要不充分条件.4.(2015安徽,文4)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()a.y=ln xb.y=x2

4、+1c.y=sin xd.y=cos x答案:d解析:y=ln x既不是奇函数也不是偶函数;y=x2+1是偶函数,但不存在零点,不满足要求;y=sin x是奇函数不满足要求;y=cos x是偶函数,由其图象可知有无数个零点.故选d.5.(2015安徽,文5)已知x,y满足约束条件x-y0,x+y-40,y1,则z=-2x+y的最大值是()a.-1b.-2c.-5d.1答案:a解析:作出约束条件的可行域如图阴影部分所示,平移直线l0:y=2x,可得在点a(1,1)处z取得最大值,最大值为-1.6.(2015安徽,文6)下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是()a.x2-y24=1b.

5、x24-y2=1c.x2-y22=1d.x22-y2=1答案:a解析:双曲线x2-y24=1的渐近线方程为y=±2x,双曲线x24-y2=1的渐近线方程为y=±12x,双曲线x2-y22=1的渐近线方程为y=±2x,双曲线x22-y2=1的渐近线方程为y=±22x,因此a正确.7.(2015安徽,文7)执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的n为()a.3b.4c.5d.6答案:b解析:当a=1,n=1时,进入循环,a=1+11+1=32,n=2;此时|a-1.414|>0.005,继续循环,a=1+11+32=1+25=75,n=3;此时|a

6、-1.414|>0.005,继续循环,a=1+11+75=1+512=1712,n=4;此时|a-1.414|0.003<0.005,退出循环,因此n的值为4.8.(2015安徽,文8)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()a.-2或12b.2或-12c.-2或-12d.2或12答案:d解析:由题意,知圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,其圆心为(1,1),半径为1,则圆心到直线3x+4y=b的距离d=|7-b|5=1,所以b=2或b=12.9.(2015安徽,文9)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()a.1+3b.1+2

7、2c.2+3d.22答案:c解析:由三视图可得该四面体的直观图如图所示,平面abd平面bcd,abd与bcd为全等的等腰直角三角形,ab=ad=bc=cd=2.取bd的中点o,连接ao,co,则aoco,ao=co=1.由勾股定理得ac=2,因此abc与acd为全等的正三角形,由三角形面积公式得sabc=sacd=32,sabd=sbcd=1,所以四面体的表面积为2+3.10.(2015安徽,文10)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是()a.a>0,b<0,c>0,d>0b.a>0,b<0,c<0,d>0c.

8、a<0,b<0,c>0,d>0d.a>0,b>0,c>0,d<0答案:a解析:由图象可知f(0)=d>0,f'(x)=3ax2+2bx+c,x1,x2为方程3ax2+2bx+c=0的两根,因此x1+x2=-2b3a,x1·x2=c3a.由图象可知x(-,x1)时,f'(x)>0,所以a>0.而由图象知x1,x2均为正数,所以-2b3a>0,c3a>0,由此可得b<0,c>0,故选a.第卷(非选择题 共100分)考生注意事项:请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上

9、答题无效.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.(2015安徽,文11)lg52+2lg 2-12-1=. 答案:-1解析:根据对数的运算法则知,lg52+2lg 2-12-1=lg 5-lg 2+2lg 2-2=lg 5+lg 2-2=lg 10-2=-1.12.(2015安徽,文12)在abc中,ab=6,a=75°,b=45°,则ac=. 答案:2解析:由三角形内角和定理,得c=60°,根据正弦定理,得absinc=acsinb,所以ac=22×632=2.13.(2015安徽,文1

10、3)已知数列an中,a1=1,an=an-1+12(n2),则数列an的前9项和等于. 答案:27解析:由已知条件得an-an-1=12(n2),所以数列an是以1为首项,12为公差的等差数列,由等差数列前n项和公式得s9=9×1+9×82×12=27.14.(2015安徽,文14)在平面直角坐标系xoy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为. 答案:-12解析:在同一坐标系画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=-12.15.(2015安徽,文15

11、)abc是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足ab=2a,ac=2a+b,则下列结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号) a为单位向量;b为单位向量;ab;bbc;(4a+b)bc答案:解析:在正三角形abc中,ab=2a,|ab|=2,所以|a|=1,正确;由ab+bc=ac=2a+b,得bc=b,因此正确,不正确;由ab与bc的夹角为120°,知a与b的夹角为120°,所以不正确;因为bc=b,所以(4a+b)·bc=4a·b+b2=4×1×2×-12+22=0,所以(4a+b)bc.故正确.三、解答题:

12、本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.(本小题满分12分)(2015安徽,文16)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.解:(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin2x+4+1,所以函数f(x)的最小正周期为t=22=.(2)由(1)的计算结果知,f(x)=2sin2x+4+1.当x0,2时,2x+44,54,由正弦函数y=sin x在4,54上的图

13、象知,当2x+4=2,即x=8时,f(x)取最大值2+1;当2x+4=54,即x=2时,f(x)取最小值0.综上,f(x)在0,2上的最大值为2+1,最小值为0.17.(本小题满分12分)(2015安徽,文17)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:40,50),50,60),80,90),90,100.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;(3)从评分在40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在40,50)的概率.解

14、:(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在50,60)的有:50×0.006×10=3(人),记为a1,a2,a3;受访职工中评分在40,50)的有:50×0.004×10=2(人),记为b1,b2.从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是a1,a2,a1

15、,a3,a1,b1,a1,b2,a2,a3,a2,b1,a2,b2,a3,b1,a3,b2,b1,b2,又因为所抽取2人的评分都在40,50)的结果有1种,即b1,b2,故所求的概率为p=110.18.(本小题满分12分)(2015安徽,文18)已知数列an是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列an的通项公式;(2)设sn为数列an的前n项和,bn=an+1snsn+1,求数列bn的前n项和tn.解:(1)由题设知a1·a4=a2·a3=8,又a1+a4=9,可解得a1=1,a4=8或a1=8,a4=1(舍去).由a4=a1q3得公比q=2,故an=

16、a1qn-1=2n-1.(2)sn=a1(1-qn)1-q=2n-1,又bn=an+1snsn+1=sn+1-snsnsn+1=1sn-1sn+1,所以tn=b1+b2+bn=1s1-1s2+1s2-1s3+1sn-1sn+1=1s1-1sn+1=1-12n+1-1.19.(本小题满分13分)(2015安徽,文19)如图,三棱锥p-abc中,pa平面abc,pa=1,ab=1,ac=2,bac=60°.(1)求三棱锥p-abc的体积;(2)证明:在线段pc上,存在点m,使得acbm,并求pmmc的值.(1)解:由题设ab=1,ac=2,bac=60°,可得sabc=12&#

17、183;ab·ac·sin 60°=32.由pa平面abc,可知pa是三棱锥p-abc的高,又pa=1,所以三棱锥p-abc的体积v=13·sabc·pa=36.(2)证明:在平面abc内,过点b作bnac,垂足为n.在平面pac内,过点n作mnpa交pc于点m,连接bm.由pa平面abc知paac,所以mnac.由于bnmn=n,故ac平面mbn.又bm平面mbn,所以acbm.在直角ban中,an=ab·cosbac=12,从而nc=ac-an=32.由mnpa,得pmmc=annc=13.20.(本小题满分13分)(2015安徽

18、,文20)设椭圆e的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),点o为坐标原点,点a的坐标为(a,0),点b的坐标为(0,b),点m在线段ab上,满足|bm|=2|ma|,直线om的斜率为510.(1)求e的离心率e;(2)设点c的坐标为(0,-b),n为线段ac的中点,证明:mnab.(1)解:由题设条件知,点m的坐标为23a,13b,又kom=510,从而b2a=510.进而a=5b,c=a2-b2=2b,故e=ca=255.(2)证明:由n是ac的中点知,点n的坐标为a2,-b2,可得nm=a6,5b6.又ab=(-a,b),从而有ab·nm=-16a2+56b2=16(5b2-a2).由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以ab·nm=0,故mnab.21.(本小题满分13分)(2015安徽,文21)已知函数f(x)=ax(x+r)2(a>0,r>0).(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若ar=400,求f(x)在(0,+)内的极值.解:(1)由题意知x-r,所求的定义域为(-,-r)(-r,+).f(x)=ax(x+r)2=axx2+2rx+