2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(广东卷)理 (2)

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2b铅笔将试卷类型(a)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2b铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案.然后再写上新的答案;不准

2、使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2b铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014广东,理1)已知集合m=-1,0,1,n=0,1,2,则mn=().a.0,1b.-1,0,2c.-1,0,1,2d.-1,0,1答案:c解析:由题意知mn=-1,0,1,2,故选c.2.(2014广东,理2)已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=().a.-3+4

3、ib.-3-4ic.3+4id.3-4i答案:d解析:由已知得z=253+4i=25(3-4i)(3+4i)(3-4i)=25(3-4i)25=3-4i,故选d.3.(2014广东,理3)若变量x,y满足约束条件yx,x+y1,y-1且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=().a.5b.6c.7d.8答案:b解析:画出约束条件所确定的可行域(如图阴影部分的区域).作直线l0:y=-2x,平移直线l0,由图形可知,当l0经过可行域内的点a(2,-1)时,z取最大值,即m=2×2+(-1)=3;当l0经过可行域内的点b(-1,-1)时,z取最小值,即n=2×(-

4、1)+(-1)=-3,故m-n=3-(-3)=6.故选b.4.(2014广东,理4)若实数k满足0<k<9,则曲线x225-y29-k=1与曲线x225-k-y29=1的().a.焦距相等b.实半轴长相等c.虚半轴长相等d.离心率相等答案:a解析:因为0<k<9,所以方程x225-y29-k=1与x225-k-y29=1均表示焦点在x轴上的双曲线.双曲线x225-y29-k=1中,其实轴长为10,虚轴长为29-k,焦距为225+9-k=234-k;双曲线x225-k-y29=1中,其实轴长为225-k,虚轴长为6,焦距为225-k+9=234-k.因此两曲线的焦距相等,

5、故选a.5.(2014广东,理5)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是().a.(-1,1,0)b.(1,-1,0)c.(0,-1,1)d.(-1,0,1)答案:b解析:对于a中的向量a1=(-1,1,0),cos<a,a1>=a·a1|a|a1|=-12·2=-12,a1与a的夹角为120°,不合题意;对于b中的向量a2=(1,-1,0),cos<a,a2>=a·a2|a|a2|=12·2=12,a2与a的夹角为60°,符合题意;对于c中的向量a3=(0,-1,1),cos

6、<a,a3>=a·a3|a|a3|=-12·2=-12,a3与a的夹角为120°,不合题意;对于d中的向量a4=(-1,0,1),cos<a,a4>=a·a4|a|a4|=-22·2=-1,a4与a的夹角为180°,不合题意,故选b.6.(2014广东,理6)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为().图1图2a.200,20b.100,20c.200,10d.100,10答案:a解

7、析:由题图1知该地区中小学生的总人数为2 000+4 500+3 500=10 000,因此样本容量为10 000×2%=200.又高中生人数为2 000,所以应抽取的高中生人数为2 000×2%=40.由题图2知高中生的近视率为50%,所以抽取的高中生近视人数为40×50%=20.故选a.7.(2014广东,理7)在空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是().a.l1l4b.l1l4c.l1与l4既不垂直也不平行d.l1与l4的位置关系不确定答案:d解析:如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中

8、,取l1为bc,l2为cc1,l3为c1d1.满足l1l2,l2l3.若取l4为a1d1,则有l1l4;若取l4为dd1,则有l1l4.因此l1与l4的位置关系不确定,故选d.8.(2014广东,理8)设集合a=(x1,x2,x3,x4,x5)|xi-1,0,1,i=1,2,3,4,5,那么集合a中满足条件“1|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3”的元素个数为().a.60b.90c.120d.130答案:d解析:由已知得|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|的取值可能为1,2,3.若|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1.则x1,x2,x3,x4,x5中

9、必有一个数为1或-1,其余四个数为0,因此共有c51·c21=10种取值可能.若|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=2,则x1,x2,x3,x4,x5中必有三个数为0,其余两个数为1或-1.若两数均为1,则有c52种;若两数均为-1,则有c52种;若两数中一个为1,另一个为-1,则有c52·a21种,因此共有c52+c52+c52·a21=40种取值可能.若|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=3,则x1,x2,x3,x4,x5中必有两个数为0,其余三个数为1或-1.若三个数均为1,则有c53种;若三个数均为-1,则有c53种,若三个数中

10、有一个1、两个-1,则有c53·c31种;若三个数中有两个1、一个-1,则有c53·c32种.因此共有c53+c53+c53·c31+c53·c32=80种取值可能.综上,满足条件的元素个数为10+40+80=130.故选d.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(913题)9.(2014广东,理9)不等式|x-1|+|x+2|5的解集为. 答案:x|x2或x-3解析:原不等式可化为以下三个不等式组:(1)x1,x-1+x+25;(2)x-2,1-x-(x+2)5;(3)-2<x<1,1-x

11、+x+25.解(1)得x2;解(2)得x-3,(3)无解,因此原不等式的解集为x|x2或x-3.10.(2014广东,理10)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为. 答案:5x+y-3=0解析:因为y=e-5x+2,所以y'=-5e-5x,因此曲线在点(0,3)处的切线的斜率为k=-5e-5×0=-5,故所求切线方程为y-3=-5(x-0),即5x+y-3=0.11.(2014广东,理11)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为. 答案:16解析:从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取

12、七个不同的数,共有c107种不同的取法.当这七个数的中位数是6时,应该有3个比6小的数,还有3个比6大的数,因此一共有c63·c33种不同的取法,故所求概率p=c63·c33c107=20120=16.12.(2014广东,理12)在abc中,角a,b,c所对应的边分别为a,b,c,已知bcos c+ccos b=2b,则ab=. 答案:2解析:因为bcos c+ccos b=2b,所以由正弦定理可得sin bcos c+sin ccos b=2sin b,即sin(b+c)=2sin b,所以sin(-a)=2sin b,即sin a=2sin b.于是a=2b

13、,即ab=2.13.(2014广东,理13)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+ln a20=. 答案:50解析:因为an为等比数列,所以由已知可得a10a11=a9a12=a1a20=e5,于是ln a1+ln a2+ln a20=ln(a1a2a3a20),而a1a2a3a20=(a1a20)10=(e5)10=e50,因此ln a1+ln a2+ln a20=ln e50=50.(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(2014广东,理14)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线c1和c2的方程分别为

14、sin2=cos 和sin =1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线c1和c2交点的直角坐标为. 答案:(1,1)解析:由sin2=cos 可得2sin2=cos ,因此y2=x,即曲线c1的直角坐标方程为y2=x;由sin =1可得曲线c2的直角坐标方程为y=1.解方程组y2=x,y=1,可得x=1,y=1,所以两曲线交点的直角坐标为(1,1).15.(2014广东,理15)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形abcd中,点e在ab上且eb=2ae,ac与de交于点f,则cdf的面积aef的面积=. 答案:9解析:因为abcd

15、是平行四边形,所以abdc,且ab=dc,于是cdfaef,且cdae=abae=3,因此cdf的面积aef的面积=cdae2=9.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2014广东,理16)已知函数f(x)=asinx+4,xr,且f512=32.(1)求a的值;(2)若f()+f(-)=32,0,2,求f34-.解:(1)f(x)=asinx+4,且f512=32,f512=asin512+4=asin 23=a·32=32.a=3.(2)f(x)=3sinx+4,且f()+f(-)=32,f()+f(-)=3

16、sin+4+3sin-+4=3sincos 4+cossin 4+sin 4cos-cos 4sin=3×2cos sin 4=6cos =32,cos =64,且0,2.sin =1-cos2=104.f34-=3sin34-+4=3sin(-)=3sin =304.17.(本小题满分13分)(2014广东,理17)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:分

17、组频数频率25,3030.12(30,3550.20(35,4080.32(40,45n1f1(45,50n2f2(1)确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值;(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35的概率.解:(1)n1=7,n2=2,f1=0.28,f2=0.08;(2)样本频率分布直方图为:(3)根据样本频率分布直方图,每人的日加工零件数落在区间(30,35的概率为0.2.设所取的4人中,日加工零件数落在区间(30,35的人数为,则b(4,0.2),所以,p(1)=1-p(=0)

18、=1-(1-0.2)4=1-0.409 6=0.590 4.故在该厂任取的4人中,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,50的概率为0.590 4.18.(本小题满分13分)(2014广东,理18)如图,四边形abcd为正方形,pd平面abcd,dpc=30°,afpc于点f,fecd,交pd于点e.(1)证明:cf平面adf;(2)求二面角d-af-e的余弦值.(1)证明:pd平面abcd,pdad.又cdad,pdcd=d,ad平面pcd,adpc.又afpc,adaf=a,pc平面adf,即cf平面adf.(2)解:设ab=1,则在rtpdc中,cd=1,dpc=30

19、6;,pc=2,pd=3.由(1)知cfdf,df=32,cf=12.af=ad2+df2=72,又fecd,depd=cfpc=14,de=34.同理ef=34cd=34.如图所示,以d为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则a(0,0,1),e34,0,0,f34,34,0,p(3,0,0),c(0,1,0),设m=(x,y,z)是平面aef的法向量,则mae,mef,又ae=34,0,-1,ef=0,34,0,m·ae=34x-z=0,m·ef=34y=0,解得34x=z,y=0.令x=4,得z=3,m=(4,0,3).由(1)知平面adf的一个法向量为pc=(-

20、3,1,0),设二面角d-af-e的平面角为,可知为锐角,cos =|cos<m,pc>|=|m·pc|m|pc|=4319×2=25719,故二面角d-af-e的余弦值为25719.19.(本小题满分14分)(2014广东,理19)设数列an的前n项和为sn,满足sn=2nan+1-3n2-4n,nn*,且s3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列an的通项公式.解:(1)由sn=2nan+1-3n2-4n得,s2=4a3-20,s3=s2+a3=5a3-20.又s3=15,a3=7,s2=4a3-20=8.又s2=s1+a2=(2a2-7)+a2

21、=3a2-7,a2=5,a1=s1=2a2-7=3.综上知a1=3,a2=5,a3=7.(2)由(1)猜想an=2n+1(nn*),以下用数学归纳法证明:当n=1时,结论显然成立;假设当n=k(kn*,且k2)时,有ak=2k+1成立,则sk=3+5+7+(2k+1)=3+(2k+1)2×k=k(k+2).又sk=2kak+1-3k2-4k,k(k+2)=2kak+1-3k2-4k,解得ak+1=2k+3=2(k+1)+1,即当n=k+1时,结论成立.由知,数列an的通项公式为an=2n+1(nn*).20.(本小题满分14分)(2014广东,理20)已知椭圆c:x2a2+y2b2=

22、1(a>b>0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.(1)求椭圆c的标准方程;(2)若动点p(x0,y0)为椭圆c外一点,且点p到椭圆c的两条切线相互垂直,求点p的轨迹方程.解:(1)由题意可知c=5,又ca=53,a=3,b2=a2-c2=4.椭圆c的标准方程为x29+y24=1.(2)设两切线为l1,l2,当l1x轴或l1x轴时,对应l2x轴或l2x轴,可知p(±3,±2).当l1与x轴不垂直且不平行时,x0±3,设l1的斜率为k(k0),则l2的斜率为-1k,所以l1的方程为y-y0=k(x-x0),联立x29+y24=1,整理,得(9k2+4

23、)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0.直线与椭圆相切,=0,得9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,-36k2+4(y0-kx0)2-4=0,(x02-9)k2-2x0y0k+y02-4=0.k是方程(x02-9)x2-2x0y0x+y02-4=0的一个根,同理-1k是方程(x02-9)x2-2x0y0x+y02-4=0的另一个根,k·-1k=y02-4x02-9,得x02+y02=13,其中x0±3,点p的轨迹方程为x2+y2=13(x±3),又p(±3,±2)满足上式,故点p的轨迹方

24、程为x2+y2=13.21.(本小题满分14分)(2014广东,理21)设函数f(x)=1(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3,其中k<-2.(1)求函数f(x)的定义域d(用区间表示);(2)讨论函数f(x)在d上的单调性;(3)若k<-6,求d上满足条件f(x)>f(1)的x的集合(用区间表示).解:(1)由题意可知(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3>0,(x2+2x+k)+3·(x2+2x+k)-1>0,x2+2x+k<-3或x2+2x+k>1,(x+1)2<-2-k(-2-k>0)或(x+1)2>