2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷3) (2)

1、1 / 12 绝密 启用前 试卷类型:a 2018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学(全国卷 3,理) 注意事项:1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 a=x|x-10,b=0,1,2,则

2、ab= a.0 b.1 c.1,2 d.0,1,2 2.(1+i)(2-i)= a.-3-i b.-3+i c.3-i d.3+i 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4.若 sin =13,则 cos 2= a.89 b.79 c.-79 d.-89 5.(2+2)5的展开式中 x4的系数为( ) 2 / 12 a.10 b.20 c.40 d.80 6.直线 x+y+2=0 分别与 x轴、y 轴交于 a,b 两点,点 p 在圆(

3、x-2)2+y2=2上,则abp 面积的取值范围是 a.2,6 b.4,8 c.2,32 d.22,32 7.函数 y=-x4+x2+2的图像大致为 8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p,各成员的支付方式相互独立.设 x为该群体的 10位成员中使用移动支付的人数,dx=2.4,p(x=4)0,b0)的左、右焦点,o是坐标原点,过 f2作 c 的一条渐近线的垂线,垂足为 p.若|pf1|=6|op|,则 c的离心率为 3 / 12 a.5 b.2 c.3 d.2 12.设 a=log0.20.3,b=log20.3,则 a.a+bab0 b.aba+b0 c.a+b0ab d.ab0

4、0). (1)证明:k-12; (2)设 f 为 c的右焦点,p为 c上一点,且 + + =0.证明:| |,| |,| |成等差数列,并求该数列的公差. 21.(12分) 已知函数 f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x. (1)若 a=0,证明:当-1x0时,f(x)0 时,f(x)0; 5 / 12 (2)若 x=0是 f(x)的极大值点,求 a. (二)选考题:共 10 分,请考生在第 22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,o的参数方程为 = cos, = sin( 为参数

5、),过点(0,-2)且倾斜角为 的直线 l与o 交于 a,b 两点. (1)求 的取值范围; (2)求 ab中点 p的轨迹的参数方程. 23.选修 4-5:不等式选讲(10 分) 设函数 f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出 y=f(x)的图像; (2)当 x0,+)时,f(x)ax+b,求 a+b 的最小值. 数学(全国卷 3,理) 1.c 由题意得 a=x|x1,b=0,1,2,ab=1,2. 2.d (1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i. 3.a 根据三视图原则,从上往下看,看不见的线画虚线,则 a正确. 6 / 12 4.b cos 2=1-2sin2=1-2(13)

6、2=79. 5.c 由展开式知 tr+1=c5(x2)5-r(2x-1)r=c52rx10-3r.当 r=2 时,x4的系数为c5222=40. 6.a 设圆心到直线 ab 的距离 d=|2+0+2|2=22. 点 p 到直线 ab 的距离为 d.易知 d-rdd+r,即2d32. 又 ab=22, sabp=12 |ab| d=2d,2sabp6. 7.d 当 x=0时,y=20,排除 a,b;当 x=12时,y=-(12)4+ (12)2+22.排除 c.故选 d. 8.b 由题意,得 dx=np(1-p)=10p(1-p)=2.4, p(1-p)=0.24,由 p(x=4)p(x=6)知

7、c104p4 (1-p)6(1-p)2, p0.5,p=0.6(其中 p=0.4 舍去). 9.c 由 s=2+2-24=12absin c,得 c2=a2+b2-2absin c.又由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos c, sin c=cos c,即 c=4. 10.b 由abc为等边三角形且面积为 93,设abc边长为 a,则 s=12a32a=93.a=6,则abc的外接圆半径 r=3223a=230,b=log20.30,ab0. 又 a+b=lg0.3lg0.2+lg0.3lg2=lg3-1lg2-1+lg3-1lg2=(lg3-1)(2lg2-1)(lg2-1)lg2 而

8、lg 2-10,2lg 2-10,lg 3-10, a+b0. +=1+1=log0.32+log0.30.2=log0.30.4log0.30.3=1.ab6.635,所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19.解 (1)由题设知,平面 cmd平面 abcd,交线为 cd.因为 bccd,bc平面 abcd,所以 bc平面 cmd,故 bcdm. 因为 m 为上异于 c,d的点,且 dc为直径,所以 dmcm. 又 bccm=c,所以 dm平面 bmc. 而 dm平面 amd,故平面 amd平面 bmc. (2)以 o 为坐标原点, 的方向为 x轴正方向,建立如图所示的空间直角

9、坐标系 d-xyz. 当三棱锥 m-abc体积最大时,m为的中点.由题设得d(0,0,0),a(2,0,0),b(2,2,0),c(0,2,0),m(0,1,1), =(-2,1,1), =(0,2,0), =(2,0,0). 设 n=(x1,y,z)是平面 mab的法向量,则 = 0, = 0.即-2 + + = 0,2 = 0. 可取 n=(1,0,2), 是平面 mcd的法向量,因此 cos= | |=55,sin=255. 所共面 mab与面 mcd 所成二面角的正弦值是255. 20.解 (1)设 a(x1,y1),b(x2,y2),则124+123=1,224+223=1. 两式相

10、减,并由1-21-2=k 得1+24+1+23 k=0. 由题设知1+22=1,1+22=m,于是 k=-34. 10 / 12 由题设得 0m32,故 k-12. (2)由题意得 f(1,0).设 p(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0). 由(1)及题设得 x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0. 又点 p在 c 上,所以 m=34, 从而 p(1,-32),| |=32. 于是| |=(1-1)2+ 12 =(1-1)2+ 3(1-124)=2-12. 同理| |=2-22. 所以| |+| |=4-12(x1+x

11、2)=3. 故 2| |=| |+| |,则| |,| |,| |成等差数列, 设该数列的公差为 d,则 2|d|=| |-| |=12|x1-x2|=12(1+ 2)2-412. 将 m=34代入得 k=-1. 所以 l的方程为 y=-x+74,代入 c 的方程,并整理得 7x2-14x+14=0. 故 x1+x2=2,x1x2=128,代入解得|d|=32128. 所以该数列的公差为32128或-32128. 21.解 (1)当 a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f(x)=ln(1+x)-1+, 设函数 g(x)=f(x)=ln(1+x)-1+,则 g(x)=(1+)2,

12、 当-1x0时,g(x)0 时,g(x)0.故当 x-1 时,g(x)g(0)=0,且仅当 x=0时,g(x)=0,从而f(x)0,且仅当 x=0时,f(x)=0. 所以 f(x)在(-1,+)单调递增. 又 f(0)=0,故当-1x0时,f(x)0时,f(x)0. (2)若 a0,由(1)知,当 x0 时,f(x)(2+x)ln(1+x)-2x0=f(0),这与 x=0是 f(x)的极大值点矛盾. 若 a0,设函数 h(x)=()2+2=ln(1+x)-22+2. 由于当|x|0,故 h(x)与 f(x)符号相同. 11 / 12 又 h(0)=f(0)=0,故 x=0是 f(x)的极大值点

13、当且仅当 x=0 是 h(x)的极大值点. h(x)=11+2(2+2)-2(1+2)(2+2)2=2(22+4+6+1)(+1)(2+2)2. 如果 6a+10,则当 0 x-6+14,且|x|0,故 x=0 不是 h(x)的极大值点. 如果 6a+10,则 a2x2+4ax+6a+1=0存在根 x10,故当 x(x1,0),且|x|min1,1|时,h(x)0;当 x(0,1)时,h(x)0. 所以 x=0是 h(x)的极大值点,从而 x=0 是 f(x)的极大值点. 综上,a=-16. 22.解 (1)o的直角坐标方程为 x2+y2=1. 当 =2时,l与o交于两点. 当 2时,记 tan =k,则 l的方程为 y=kx-2,l与o交于两点当且仅当|21+2|1, 解得 k1,即 (4,2)或 (2,34). 综上, 的取值范围是(4,34). (2)l的参数方程为 = cos, = -2 + sint为参数,434. 设 a,b,p 对应的参数分别为 ta,tb,tp,则 tp=+2,且 ta,tb满足 t2-22tsin +1=0. 于是 ta+tb=22sin ,tp=2sin .又点 p的坐标(x,y)满足 = cos,