2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(上海卷) (2)

1、1 / 10 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学(上海卷) 考生注意: 1.本场考试时间 120 分钟.试卷共 4页,满分 150分,答题纸共 2页. 2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名.将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用 2b铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第 16 题每题 4 分,第 712 题每题 5 分) 考生应在答题纸的相应位置

2、直接填写结果. 1.行列式|4125|的值为 . 2.双曲线24-y2=1 的渐近线方程为 . 3.在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为 (结果用数值表示). 4.设常数 ar,函数 f(x)=log2(x+a).若 f(x)的反函数的图像经过点(3,1),则 a= . 5.已知复数 z 满足(1+i)z=1-7i(i是虚数单位),则|z|= . 6.记等差数列an的前 n 项和为 sn,若 a3=0,a6+a7=14,则 s7= . 7.已知 -2,-1,-12,12,1,2,3,若幂函数 f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减,则 = . 8.在平面直角坐标系中,已知点 a(-

3、1,0),b(2,0),e,f 是 y 轴上的两个动点,且| |=2,则 的最小值为 . 9.有编号互不相同的五个砝码,其中 5 克、3 克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为 9克的概率是 (结果用最简分数表示). 10.设等比数列an的通项公式为 an=qn-1(nn*),前 n项和为 sn,若lim+1=12,则 q= . 11.已知常数 a0,函数 f(x)=22+的图像经过点 p(,65),(,-15).若 2p+q=36pq,则 a= . 12.已知实数 x1,x2,y1,y2满足:12+ 12=1,22+ 22=1,x1x2+y1y2=12,则

4、|1+1-1|2+|2+2-1|2的最大值为 . 二、选择题(本大题共有 4题,满分 20 分,每题 5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑. 13.设 p是椭圆25+23=1 上的动点,则 p 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) 2 / 10 a.22 b.23 c.25 d.42 14.已知 ar,则“a1”是“11”的( ) a.充分非必要条件 b.必要非充分条件 c.充要条件 d.既非充分又非必要条件 15. 九章算术中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设 aa1是正六棱柱的一条侧棱,如图.若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,

5、以 aa1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( ) a.4 b.8 c.12 d.16 16.设 d是含数 1 的有限实数集,f(x)是定义在 d 上的函数.若 f(x)的图像绕原点逆时针旋转6后与原图像重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是( ) a.3 b.32 c.33 d.0 三、解答题(本大题共有 5题,满分 76 分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.(本题满分 14 分,第 1小题满分 6分,第 2小题满分 8 分) 已知圆锥的顶点为 p,底面圆心为 o,半径为 2. (1)设圆锥的母线长为 4,求圆锥的体积; (2)设 po=4,oa,ob

6、 是底面半径,且aob=90 ,m为线段 ab的中点,如图,求异面直线 pm与 ob 所成的角的大小. 3 / 10 18.(本题满分 14 分,第 1小题满分 6分,第 2小题满分 8 分) 设常数 ar,函数 f(x)=asin 2x+2cos2x. (1)若 f(x)为偶函数,求 a 的值; (2)若 f(4) = 3+1,求方程 f(x)=1-2在区间-,上的解. 19.(本题满分 14 分,第 1小题满分 6分,第 2小题满分 8 分) 某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族 s 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当 s中 x%(0

7、 x100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为 f(x)=30,0 30,2 +1 800-90,30 2,在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 f(2,0),直线 l:x=t,曲线 :y2=8x(0 xt,y0).l与 x轴交于点 a,与 交于点 b,p,q 分别是曲线 与线段 ab上的动点. (1)用 t表示点 b到点 f的距离; (2)设 t=3,|fq|=2,线段 oq 的中点在直线 fp 上,求aqp 的面积; 4 / 10 (3)设 t=8,是否存在以 fp,fq为邻边的矩形 fpeq,使得点 e在 上?若存在,求点 p 的坐标;若不存在,说明理由. 21.(本题满分 18 分

8、,第 1小题满分 4分,第 2小题满分 6 分,第 3 小题满分 8分) 给定无穷数列an,若无穷数列bn满足:对任意 xn*,都有|bn-an|1,则称bn与an“接近”. (1)设an是首项为 1,公比为12的等比数列,bn=an+1+1,nn*,判断数列bn是否与an接近,并说明理由; (2)设数列an的前四项为 a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,bn是一个与an接近的数列,记集合m=x|x=bi,i=1,2,3,4,求 m中元素的个数 m: (3)已知an是公差为 d 的等差数列.若存在数列bn满足:bn与an接近,且在 b2-b1,b3-b2,b201-b200中至少有 100

9、个为正数,求 d 的取值范围. 数学(上海卷) 1.18 |4125|=45-12=18. 2.y=12x 令24-y2=0,得(2-)(2+ )=0,所以所求渐近线方程为 y=12x. 3.21 由(1+x)7的二项展开式的通项,得(1+x)7的二项展开式的 x2项的系数为c72=21. 4.7 因为互为反函数的函数的图像关于直线 y=x 对称,所以函数 f(x)=log2(x+a)的图像经过点(1,3),所以 3=log2(1+a),即 1+a=23,解得 a=7. 5.5 (方法一)因为(1+i)z=1-7i, 所以 z=1-7i1+i=(1-7i)(1-i)2=-3-4i, 所以|z|

10、=(-3)2+ (-4)2=5. (方法二)因为(1+i)z=1-7i, 所以|1+i|z|=|1-7i|,即2|z|=52,解得|z|=5. 5 / 10 6.14 设an的公差为 d,由 a3=0,a6+a7=14, 得1+ 2 = 0,1+ 5 + 1+ 6 = 14,解得1= -4, = 2, 所以 s7=7(-4)+7(7-1)22=14. 7.-1 因为幂函数 f(x)=x为奇函数,所以 只能为-1,1,3.又函数 f(x)=x在(0,+)上递减,所以 =-1. 8.-3 依题意,设 e(0,a),f(0,b),不妨设 ab,则 a-b=2, =(1,a), =(-2,b),a=b

11、+2, 所以 =(1,a) (-2,b)=-2+ab=-2+(b+2)b=b2+2b-2=(b+1)2-3, 故所求最小值为-3. 9.15 从编号互不相同的五个砝码中随机选取三个,总的结果数为c53=10,其中选取的三个砝码的总质量为 9 克的有两种,所以所求概率为210=15. 10.3 由 an=qn-1,得 an+1=qn.当 q=1 时,不满足题意;当 q1 时,sn=1(1-)1-=1-1-.若 0|q|1,则n+1= lim1-(1-)= lim1(1-) (1-1)=-11-=12,解得 q=3. 11.6 f(x)=22+的图像经过点 p,q, 22+=65,22+=-15,

12、两式相加,得 22+22+=1,即2(2+)+2(2+)(2+)(2+)=1, 化简,得 2 2p+q+a(p 2q+q 2p)=2p+q+a(p 2q+q 2p)+a2pq,即 2p+q=a2pq=36pq,a2=36.a0,a=6. 12.3 + 2 由已知可得点 a(x1,y1),b(x2,y2)在单位圆 x2+y2=1上. x1x2+y1y2=12,cosaob= | | |=12(o为坐标原点),aob=3. 设 a(cos ,sin ),b(cos( +3),sin( +3),则 |1+1-1|2+|2+2-1|2=|cos+sin-1|2+|cos(+3)+sin(+3)-1|2

13、. 当点 a(x1,y1),b(x2,y2)在直线 x+y-1=0 的下方时,|1+1-1|2+|2+2-1|2取得最大值, |1+1-1|2+|2+2-1|2=|cos+sin-1|2+|cos(+3)+sin(+3)-1|2 6 / 10 =12|cos + sin-1 + cos( +3) + sin( +3)-1| =12|cos + sin-1 +12cos 32sin +12sin +32cos-1| =12|(32+32)cos + (32-32)sin-2| =|3(6+24cos +6-24sin)-2| =|3sin( +512)-2|, 当且仅当 +512=32,即 =1

14、312时,|1+1-1|2+|2+2-1|2取得最大值3 + 2. 综上,|1+1-1|2+|2+2-1|2的最大值为3 + 2. 13.c 由椭圆的定义可知,椭圆上的任意点 p 到两个焦点的距离之和为 2a=25,故选 c. 14.a 由10,即-10,解得 a1. 所以当 a1 时,11 成立;但是当11不一定成立,故“a1”是“11”的充分非必要条件,故选 a. 15.d 设正六棱柱为 abcdef-a1b1c1d1e1f1, 以侧面 aa1b1b,aa1f1f 为底面矩形的阳马有 e-aa1b1b,e1-aa1b1b,d-aa1b1b,d1-aa1b1b,c-aa1f1f,c1-aa1

15、f1f,d-aa1f1f,d1-aa1f1f, 共 8个, 以对角面 aa1c1c,aa1e1e为底面矩形的阳马有 f-aa1c1c,f1-aa1c1c,d-aa1c1c,d1-aa1c1c,b-aa1e1e,b1-aa1e1e,d-aa1e1e,d1-aa1e1e, 共 8个, 所以共有 8+8=16(个),故选 d. 16.b 若 f(1)=3,则 f(3)=1,f(1)=-3,与函数的定义矛盾,舍去; 若 f(1)=33,则 f(233)=0,f(1)=-33,与函数的定义矛盾,舍去; 若 f(1)=0,则 f(12) =32,f(12)=-32,与函数的定义矛盾,舍去. 因此 f(1)

16、的可能取值只能是32,故选 b. 17.解 (1)圆锥的顶点为 p,底面圆心为 o,半径为 2,母线长为 4, 圆锥的体积 v=13r2h=132242-22=833. 7 / 10 (2)po=4,oa,ob是底面半径,且aob=90 ,m为线段 ab的中点, 以 o为原点,oa 为 x 轴,ob 为 y 轴,op为 z轴, 建立空间直角坐标系, p(0,0,4),a(2,0,0),b(0,2,0),m(1,1,0),o(0,0,0), =(1,1,-4), =(0,2,0). 设异面直线 pm 与 ob所成的角为 , 则 cos =| | | | =|10+12+(-4)0|12+12+(

17、-4)202+22+02=26. =arccos26. 异面直线 pm 与 ob所成的角的大小为 arccos26. 18.解 (1)f(x)=asin 2x+2cos2x, f(-x)=-asin 2x+2cos2x. f(x)为偶函数,f(-x)=f(x), -asin 2x+2cos2x=asin 2x+2cos2x, 2asin 2x=0,a=0. (2)f(4) = 3+1, asin2+2cos24=a+1=3+1,a=3, f(x)=3sin 2x+2cos2x=3sin 2x+cos 2x+1=2sin(2 +6)+1. f(x)=1-2,2sin(2 +6)+1=1-2, s

18、in(2 +6)=-22, 2x+6=-4+2k或 2x+6=54+2k,kz, x=k-524或 x=k+1324,kz. 8 / 10 x-, x=-1124或-524或1324或1924. 所求方程的解为 x=-1124或-524或1324或1924. 19.解 (1)由题意知,当 30 x40, 即 x2-65x+9000,解得 x45, 当 x(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间. (2)当 0 x30时,g(x)=30 x%+40(1-x%)=40-10; 当 30 x100时,g(x)=(2 +1 800-90) x%+40(1-x%)=25013

19、10 x+58. 所以 g(x)=40-10,0 30,250-1310 + 58,30 100. 则 g(x)=-110,0 30,125-1310,30 100. 令 g(x)=0,即125x-1310=0,解得 x=32.5. 当 0 x32.5时,g(x)单调递减; 当 32.5x100 时,g(x)单调递增. 说明该地上班族 s中有小于 32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的; 有大于 32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的; 当 32.5%的人自驾时,人均通勤时间最少. 20.解 (1)(方法一)设 b(t,22), 则|bf|=(-2)2+ 8=t+2,|bf|=t+2. (方法二)设 b(t,22), 由抛物线的定义可知,|bf|=t+2. (2)由题意,得 f(2,0),|fq|=2,t=3,|fa|=1, |aq|=3,q(3,3).设 oq 的中点为 d,则 d(32,32), kpf=32-032-2=-3,直线 pf 的方程为 y=-3(x-2). 由 = -3(-2),2= 8,整理,得 3x2-20 x+12=0, 解得 x=23或 x=6(舍去), 9 / 10 aqp 的面积 s=12 3 (3-23) =736. (3)存