2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(辽宁卷)理 (2)

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(理科)第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014辽宁,理1)已知全集u=r,a=x|x0,b=x|x1,则集合u(ab)=().a.x|x0b.x|x1c.x|0x1d.x|0<x<1答案:d解析:ab=x|x0或x1,u(ab)=x|0<x<1.故选d.2.(2014辽宁,理2)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=().a.2+3ib.2-3ic.3+2id.3-2i答案:a解析:(z-2i)(2-i)=5,z-2i=52-i.z=2i

2、+52-i=2i+5(2+i)(2-i)(2+i)=2i+2+i=2+3i.故选a.3.(2014辽宁,理3)已知a=2-13,b=log213,c=log1213,则().a.a>b>cb.a>c>bc.c>a>bd.c>b>a答案:c解析:0<a=2-13<20=1,b=log213<log21=0,c=log1213>log1212=1,c>a>b.故选c.4.(2014辽宁,理4)已知m,n表示两条不同直线,表示平面.下列说法正确的是().a.若m,n,则mnb.若m,n,则mnc.若m,mn,则nd.

3、若m,mn,则n答案:b解析:对a:m,n还可能异面、相交,故a不正确.对c:n还可能在平面内,故c不正确.对d:n还可能在内,故d不正确.对b:由线面垂直的定义可知正确.5.(2014辽宁,理5)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若ab,bc,则ac,则下列命题中真命题是().a.pqb.pqc.(􀱑p)(􀱑q)d.p(􀱑q)答案:a解析:对命题p中的a与c可能为共线向量,故命题p为假命题.由a,b,c为非零向量,可知命题q为真命题.故pq为真命题.故选a.6

4、.(2014辽宁,理6)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为().a.144b.120c.72d.24答案:d解析:插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可.故排法种数为a43=24.故选d.7.(2014辽宁,理7)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为().a.8-2b.8-c.8-2d.8-4答案:b解析:由三视图知,原几何体是棱长为2的正方体挖去两个底面半径为1,高为2的四分之一圆柱,故几何体的体积为8-2××2×14=8-.故选b.8.(2014辽宁,理8)设等差数列an的公差为d,若数列2a1an为递减数

5、列,则().a.d<0b.d>0c.a1d<0d.a1d>0答案:c解析:数列2a1an为递减数列,2a1an>2a1an+1,nn*,a1an>a1an+1,a1(an+1-an)<0.an为公差为d的等差数列,a1d<0.故选c.9.(2014辽宁,理9)将函数y=3sin2x+3的图象向右平移2个单位长度,所得图象对应的函数().a.在区间12,712上单调递减b.在区间12,712上单调递增c.在区间-6,3上单调递减d.在区间-6,3上单调递增答案:b解析:设平移后的函数为f(x),则f(x)=3sin2x-2+3=3sin2x+3-=

6、-3sin2x+3.令2k-22x+32k+2,kz,解得f(x)的递减区间为k-512,k+12,kz,同理得递增区间为k+12,k+712,kz.从而可判断得b正确.10.(2014辽宁,理10)已知点a(-2,3)在抛物线c:y2=2px的准线上,过点a的直线与c在第一象限相切于点b,记c的焦点为f,则直线bf的斜率为().a.12b.23c.34d.43答案:d解析:由题意可知准线方程x=-p2=-2,p=4,抛物线方程为y2=8x.由已知易得过点a与抛物线y2=8x相切的直线斜率存在,设为k,且k>0,则可得切线方程为y-3=k(x+2).联立方程y-3=k(x+2),y2=8

7、x,消去x得ky2-8y+24+16k=0.(*)由相切得=64-4k(24+16k)=0,解得k=12或k=-2(舍去),代入(*)解得y=8,把y=8代入y2=8x,得x=8,即切点b的坐标为(8,8),又焦点f为(2,0),故直线bf的斜率为43.11.(2014辽宁,理11)当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,则实数a的取值范围是().a.-5,-3b.-6,-98c.-6,-2d.-4,-3答案:c解析:当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,即当x-2,1时,不等式ax3x2-4x-3(*)恒成立.(1)当x=0时,ar.(2)当0<x1时,由

8、(*)得ax2-4x-3x3=1x-4x2-3x3恒成立.设f(x)=1x-4x2-3x3,则f'(x)=-1x2+8x3+9x4=-x2+8x+9x4=-(x-9)(x+1)x4.当0<x1时,x-9<0,x+1>0,f'(x)>0,f(x)在(0,1上单调递增.当0<x1时,可知af(x)max=f(1)=-6.(3)当-2x<0时,由(*)得a1x-4x2-3x3.令f'(x)=0,得x=-1或x=9(舍).当-2x<-1时,f'(x)<0,当-1<x<0时,f'(x)>0,f(x)

9、在-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增.x-2,0)时,f(x)min=f(-1)=-1-4+3=-2.可知af(x)min=-2.综上所述,当x-2,1时,实数a的取值范围为-6a-2.故选c.12.(2014辽宁,理12)已知定义在0,1上的函数f(x)满足:f(0)=f(1)=0;对所有x,y0,1,且xy,有|f(x)-f(y)|<12|x-y|.若对所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|<k恒成立,则k的最小值为().a.12b.14c.12d.18答案:b解析:不妨令0x<y1,则|f(x)-f(y)|<12|x-y|.法一:2|f(x)-f(y)|=

10、|f(x)-f(0)+f(x)-f(y)-f(y)-f(1)|f(x)-f(0)|+|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(1)|<12|x-0|+12|x-y|+12|y-1|=12x+12(y-x)+12(1-y)=12,即得|f(x)-f(y)|<14,对所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|<k恒成立,只需k大于|f(x)-f(y)|的最大值即可.故k14.因此k的最小值为14.法二:当|x-y|12时,|f(x)-f(y)|<12|x-y|14,当|x-y|>12时,|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(1)-f(y)-f(0)|f(x)-f(1)|

11、+|f(y)-f(0)|<12|x-1|+12|y-0|=12(1-x)+12y=12+12(y-x)<14,对所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|<k恒成立,只需k大于|f(x)-f(y)|的最大值即可.故k14.因此k的最小值为14.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014辽宁,理13)执行右侧的程序框图,若输入x=9,则输出y=. 答案:299解析:输入x=9,则y=5,|y-x|=4>1,执行否,x=5,y

12、=113,|y-x|=43>1,执行否,x=113,y=299,|y-x|=49<1,执行是,输出y=299.14.(2014辽宁,理14)正方形的四个顶点a(-1,-1),b(1,-1),c(1,1),d(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形abcd中,则质点落在图中阴影区域的概率是. 答案:23解析:由题意可知空白区域的面积为-11 x2-(-x2)dx=23x3|-11=43.又正方形的面积为4,阴影部分的面积为4-43=83,所求概率为834=23.15.(2014辽宁,理15)已知椭圆c:x29+y24=1,点m与c

13、的焦点不重合.若m关于c的焦点的对称点分别为a,b,线段mn的中点在c上,则|an|+|bn|=. 答案:12解析:如图,设mn的中点为p,则由f1是am的中点,可知|an|=2|pf1|.同理可得可知|bn|=2|pf2|.|an|+|bn|=2(|pf1|+|pf2|).根据椭圆定义得|pf1|+|pf2|=2a=6,|an|+|bn|=12.16.(2014辽宁,理16)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,3a-4b+5c的最小值为. 答案:-2解析:要求|2a+b|最大值,只需求(2a+b)2的最大值.4a2-

14、2ab+4b2-c=0,4a2+b2=c+2ab-3b2.(2a+b)2=4a2+b2+4ab=c+2ab-3b2+4ab=c+6ab-3b2=c+3b(2a-b)=c+32·2b(2a-b)c+322b+(2a-b)22=c+322a+b22,即(2a+b)285c,当且仅当2b=2a-b,即3b=2a时取到等号,即(2a+b)2取到最大值.故3b=2a时,|2a+b|取到最大值.把3b=2a,即b=2a3代入4a2-2ab+4b2-c=0,可得c=409a2.3a-4b+5c=3a-423a+5409a2=3a-6a+98a2=981a2-83a=981a-432-2.当1a=4

15、3时,3a-4b+5c取到最小值-2.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014辽宁,理17)在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且a>c.已知ba·bc=2,cos b=13,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(b-c)的值.分析:(1)将条件中的ba·bc=2,转化为边角的量表示,可得a与c的关系,再结合余弦定理列方程组求解.(2)由(1)及正弦定理可得sin c,进而求出cos c,再由两角差的余弦公式求出cos(b-c)的值.解:(1)由ba·bc=2,得c·acos b=

16、2.又cos b=13,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos b.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解ac=6,a2+c2=13,得a=2,c=3或a=3,c=2.因a>c,所以a=3,c=2.(2)在abc中,sin b=1-cos2b=1-132=223,由正弦定理,得sin c=cbsin b=23·223=429.因a=b>c,所以c为锐角,因此cos c=1-sin2c=1-4292=79.于是cos(b-c)=cos bcos c+sin bsin c=13·79+223·429=2327.18.(

17、本小题满分12分)(2014辽宁,理18)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用x表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量x的分布列,期望e(x)及方差d(x).分析:(1)先由频率分布直方图计算出日销售量不低于100和日销售量低于50的概率.再由3天中连续2天日销售量不低于100,可分为第1,2天或第2,3天日销售量不低于100两种情况,从而由独立事件概率公式求值.(2

18、)由题意知随机变量x服从二项分布,则可列出分布列及求出期望、方差.解:(1)设a1表示事件“日销售量不低于100个”,a2表示事件“日销售量低于50个”,b表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此p(a1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,p(a2)=0.003×50=0.15,p(b)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)x可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为p(x=0)=c30·(1-0.6)3=0.064,p(x=1)=c31·0.

19、6(1-0.6)2=0.288,p(x=2)=c32·0.62(1-0.6)=0.432,p(x=3)=c33·0.63=0.216.分布列为x0123p0.0640.2880.4320.216因为xb(3,0.6),所以期望e(x)=3×0.6=1.8,方差d(x)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.19.(本小题满分12分)(2014辽宁,理19)如图,abc和bcd所在平面互相垂直,且ab=bc=bd=2,abc=dbc=120°,e,f分别为ac,dc的中点.(1)求证:efbc;(2)求二面角e-bf-c的正弦值.分析:

20、法一:几何法.(1)证明线线垂直,可由线面垂直证得,可寻求过ef的平面与bc垂直即可.(2)由面面垂直可得线面垂直,再利用线面垂直性质构造二面角求解.法二:建立空间直角坐标系.(1)求各点坐标,利用向量垂直的条件证明线线垂直.(2)平面bfc的法向量易求出,平面bef的法向量可运用法向量条件求得,再运用公式求出两法向量夹角的余弦值,进而求出所求正弦值.(1)证明:(方法一)过e作eobc,垂足为o,连of,由abcdbc可证出eocfoc.图1所以eoc=foc=2,即fobc.又eobc,因此bc面efo.又ef面efo,所以efbc.图2(方法二)由题意,以b为坐标原点,在平面dbc内过b

21、作垂直bc的直线为x轴,bc所在直线为y轴,在平面abc内过b作垂直bc的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系.易得b(0,0,0),a(0,-1,3),d(3,-1,0),c(0,2,0),因而e0,12,32,f32,12,0,所以,ef=32,0,-32,bc=(0,2,0),因此ef·bc=0.从而efbc,所以efbc.(2)解:(方法一)在图1中,过o作ogbf,垂足为g,连eg.由平面abc平面bdc,从而eo面bdc.又ogbf,由三垂线定理知egbf.因此ego为二面角e-bf-c的平面角.在eoc中,eo=12ec=12bc·cos 30°=

22、32,由bgobfc知,og=bobc·fc=34,因此tanego=eoog=2.从而sinego=255,即二面角e-bf-c正弦值为255.(方法二)在图2中,平面bfc的一个法向量为n1=(0,0,1).设平面bef的法向量n2=(x,y,z).又bf=32,12,0,be=0,12,32.由n2·bf=0,n2·be=0得其中一个n2=(1,-3,1).设二面角e-bf-c大小为,且由题意知为锐角,则cos =|cos<n1,n2>|=n1·n2|n1|n2|=15.因此sin =25=255,即所求二面角正弦值为255.20.(本

23、小题满分12分)(2014辽宁,理20)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为p(如图).双曲线c1:x2a2-y2b2=1过点p且离心率为3.(1)求c1的方程;(2)椭圆c2过点p且与c1有相同的焦点,直线l过c2的右焦点且与c2交于a,b两点.若以线段ab为直径的圆过点p,求l的方程.分析:(1)设出切点p的坐标,利用直线和圆相切的性质,求出切线,进而求出切线与坐标轴的交点,运用基本不等式求出取最值时p的坐标代入双曲线方程求得结果.(2)运用待定系数法求出椭圆方程,将以ab为直径的圆过点p转化为pa·pb=0,运用韦达定理求解

24、.解:(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-x0y0,切线方程为y-y0=-x0y0(x-x0),即x0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为s=12·4x0·4y0=8x0y0.由x02+y02=42x0y0,知当且仅当x0=y0=2时x0y0有最大值,即s有最小值.因此点p的坐标为(2,2).由题意知2a2-2b2=1,a2+b2=3a2.解得a2=1,b2=2.故c1方程为x2-y22=1.(2)由(1)知c2的焦点坐标为(-3,0),(3,0),由此设c2的方程为x23+b12+y2b12=1,其

25、中b1>0.由p(2,2)在c2上,得23+b12+2b12=1,解得b12=3.因此c2方程为x26+y23=1.显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+3,点a(x1,y1),b(x2,y2).由x=my+3,x26+y23=1得(m2+2)y2+23my-3=0.又y1,y2是方程的根,因此y1+y2=-23mm2+2,y1y2=-3m2+2.由x1=my1+3,x2=my2+3,得x1+x2=m(y1+y2)+23=43m2+2,x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+3=6-6m2m2+2.因为ap=(2-x1,2-y1),bp=(2-x2,2-y2).由题意知ap&

26、#183;bp=0,所以x1x2-2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+4=0.将,代入式整理,得2m2-26m+46-11=0.解得m=362-1或m=-62+1.因此直线l的方程为x-362-1y-3=0或x+62-1y-3=0.21.(本小题满分12分)(2014辽宁,理21)已知函数f(x)=(cos x-x)(+2x)-83(sin x+1),g(x)=3(x-)cos x-4(1+sin x)ln3-2x.证明:(1)存在唯一x00,2,使f(x0)=0;(2)存在唯一x12,使g(x1)=0,且对(1)中的x0,有x0+x1<.分析:(1)先判断f(x)的单调性,再

27、运用根的存在性定理证明.(2)可构造函数h(x)=g(x)1+sinx,再换元后,结合(1)可求出x0与x1的关系.证明:(1)当x0,2时,f'(x)=-(1+sin x)(+2x)-2x-23cos x<0,函数f(x)在0,2上为减函数.又f(0)=-83>0,f2=-2-163<0,所以存在唯一x00,2,使f(x0)=0.(2)考虑函数h(x)=3(x-)cosx1+sinx-4ln3-2x,x2,.令t=-x,则x2,时,t0,2.记u(t)=h(-t)=3tcost1+sint-4ln1+2t,则u'(t)=3f(t)(+2t)(1+sint).

28、由(1)得,当t(0,x0)时,u'(t)>0.当tx0,2时,u'(t)<0.在(0,x0)上u(t)是增函数.又u(0)=0,从而当t(0,x0时,u(t)>0.所以u(t)在(0,x0上无零点.在x0,2上u(t)为减函数,由u(x0)>0,u2=-4ln 2<0,知存在唯一t1x0,2,使u(t1)=0.所以存在唯一的t10,2,使u(t1)=0.因此存在唯一的x1=-t12,使h(x1)=h(-t1)=u(t1)=0.因为当x2,时,1+sin x>0,故g(x)=(1+sin x)h(x)与h(x)有相同的零点,所以存在唯一的x1

29、2,使g(x1)=0,因为x1=-t1,t1>x0,所以x0+x1<.请考生在第22,23,24三题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2014辽宁,理22)选修41:几何证明选讲如图,ep交圆于e,c两点,pd切圆于d,g为ce上一点且pg=pd,连接dg并延长交圆于点a,作弦ab垂直ep,垂足为f.(1)求证:ab为圆的直径;(2)若ac=bd,求证:ab=ed.分析:(1)证明ab是直径,即证明bda=90°.由pfa=90°,从而寻求bda=pfa就可证明

30、.(2)要证ab=de,即证de为直径,连dc,即证dce=90°,从而只需证明abdc即可.证明:(1)因为pd=pg,所以pdg=pgd.由于pd为切线,故pda=dba.又由于pgd=ega,故dba=ega,所以dba+bad=ega+bad,从而bda=pfa.由于afep,所以pfa=90°.于是bda=90°.故ab是直径.(2)连接bc,dc.由于ab是直径,故bda=acb=90°.在rtbda与rtacb中,ab=ba,ac=bd,从而rtbdartacb.于是dab=cba.又因为dcb=dab,所以dcb=cba,故dcab.由于abe