2016年普通高等学校招生全国统一考试数学Ⅰ(江苏卷)

1、1 / 16 2016 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(江苏江苏卷卷) 数学 1.(2016 江苏,1)已知集合 a=-1,2,3,6,b=x|-2x3,则 ab= . 答案-1,2 解析 ab=-1,2,3,6x|-2xb,循环结束,输出 a的值为 9. 7.(2016 江苏,7)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2次,则出现向上的点数之和小于 10的概率是 . 答案56 解析(方法一)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 2 次,共有 36 个基本事件.其中向上的点数之和小于10 的基本事件共有 30 个,

2、所以所求概率为3036=56. (方法二)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 2 次,共有 36个基本事件.记 a表示“向上的点数之和小于 10”,则表示“向上的点数之和不小于 10”,的基本事件共有 6 个,所以 p()=636=16,p(a)=1-p()=56. 8.(2016 江苏,8)已知an是等差数列,sn是其前 n 项和.若 a1+22=-3,s5=10,则 a9的值是 . 答案 20 解析由 s5=10 得 a3=2,因此 2-2d+(2-d)2=-3d=3,a9=2+36=20. 9.(2016 江苏,9)定义在区间0,3上的函数 y=sin 2x的图象与 y=cos x 的图象的交

3、点个数是 . 答案 7 3 / 16 解析由 sin 2x=cos x,可得 cos x=0 或 sin x=12,因为 x0,3,所以 x 可取的值为2,32,52,6,56,136,176,共 7个.故交点个数为 7. 10. (2016 江苏,10)如图,在平面直角坐标系 xoy中,f 是椭圆22+22=1(ab0)的右焦点,直线 y=2与椭圆交于 b,c 两点,且bfc=90,则该椭圆的离心率是 . 答案63 解析由题意得 b(-32,2),c(32,2),f(c,0),所以 = ( +32,-2), = (-32,-2).因为bfc=90,所以 =0.所以 c2-(32)2+ (2)

4、2=0.又 a2-b2=c2,所以 3c2=2a2,即22=23,所以 e=63. 11.(2016 江苏,11)设 f(x)是定义在 r 上且周期为 2的函数,在区间-1,1)上,f(x)= + ,-1 0,|25-|,0 0,tan btan c0,所以 tan a+2tan btan c22tantantan,当且仅当 tan a=2tan btan c 时,等号成立,即 tan atan btan c22tantantan,解得 tan atan btan c8,即最小值为 8. 15.(2016 江苏,15)在abc中,ac=6,cos b=45,c=4. (1)求 ab的长; (2

5、)求 cos(-6)的值. 解(1)因为 cos b=45,0b, 所以 sin b=1-cos2 =1-(45)2=35. 由正弦定理 知sin=sin, 所以 ab=sinsin=62235=52. (2)在abc中,a+b+c=,所以 a=-(b+c), 于是 cos a=-cos(b+c)=-cos( +4)=-cos bcos4+sin bsin4, 又 cos b=45,sin b=35, 故 cos a=-4522+3522=-210. 6 / 16 因为 0a,所以 sin a=1-cos2 =7210. 因此,cos(-6)=cos acos6+sin asin6=-2103

6、2+721012=72-620. 16.(2016 江苏,16) 如图,在直三棱柱 abc-a1b1c1中,d,e分别为 ab,bc 的中点,点 f 在侧棱 b1b 上,且 b1da1f,a1c1a1b1. 求证:(1)直线 de平面 a1c1f; (2)平面 b1de平面 a1c1f. 证明(1)在直三棱柱 abc-a1b1c1中,a1c1ac. 在abc中,因为 d,e分别为 ab,bc的中点, 所以 deac,于是 dea1c1. 又因为 de平面 a1c1f,a1c1平面 a1c1f, 所以直线 de平面 a1c1f. (2)在直三棱柱 abc-a1b1c1中,a1a平面 a1b1c1

7、. 因为 a1c1平面 a1b1c1,所以 a1aa1c1. 又因为 a1c1a1b1,a1a平面 abb1a1,a1b1平面 abb1a1,a1aa1b1=a1, 所以 a1c1平面 abb1a1. 因为 b1d平面 abb1a1,所以 a1c1b1d. 又因为 b1da1f,a1c1平面 a1c1f,a1f平面 a1c1f,a1c1a1f=a1, 所以 b1d平面 a1c1f. 7 / 16 因为直线 b1d平面 b1de,所以平面 b1de平面 a1c1f. 17.(2016 江苏,17) 现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥 p-a1b1c1d1,下部的形状是正

8、四棱柱 abcd-a1b1c1d1(如图所示),并要求正四棱柱的高 o1o是正四棱锥的高 po1的 4 倍. (1)若 ab=6 m,po1=2 m,则仓库的容积是多少? (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m,则当 po1为多少时,仓库的容积最大? 解 (1)由 po1=2 m知 o1o=4po1=8 m. 因为 a1b1=ab=6 m, 所以正四棱锥 p-a1b1c1d1的体积 v锥=13 a112 po1=13622=24(m3); 正四棱柱 abcd-a1b1c1d1的体积 v柱=ab2 o1o=628=288(m3). 所以仓库的容积 v=v锥+v柱=24+288=312(m3). (2

9、)设 a1b1=a m,po1=h m,则 0h6,o1o=4h. 8 / 16 连接 o1b1. 因为在 rtpo1b1中,o112+p12=p12, 所以(22)2+h2=36,即 a2=2(36-h2). 于是仓库的容积 v=v柱+v锥=a2 4h+13a2 h=133a2h=263(36h-h3),0h6, 从而 v=263(36-3h2)=26(12-h2). 令 v=0,得 h=23或 h=-23(舍). 当 0h0,v 是单调增函数 ; 当 23h6 时,v0,v是单调减函数 . 故 h=23时,v 取得极大值 ,也是最大值. 因此,当 po1=23 m 时,仓库的容积最大. 1

10、8.(2016 江苏,18) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知以 m为圆心的圆 m:x2+y2-12x-14y+60=0 及其上一点 a(2,4). (1)设圆 n与 x轴相切,与圆 m 外切,且圆心 n在直线 x=6 上,求圆 n的标准方程; (2)设平行于 oa 的直线 l与圆 m相交于 b,c两点,且 bc=oa,求直线 l的方程; (3)设点 t(t,0)满足:存在圆 m 上的两点 p 和 q,使得 + = ,求实数 t的取值范围. 解 9 / 16 圆 m的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心 m(6,7),半径 为 5. (1)由圆心 n 在直线 x=6上,

11、可设 n(6,y0). 因为圆 n 与 x 轴相切,与圆 m 外切,所以 0y00,b0,a1,b1). (1)设 a=2,b=12. 求方程 f(x)=2的根; 若对于任意 xr,不等式 f(2x)mf(x)-6 恒成立,求实数 m的最大值; (2)若 0a1,函数 g(x)=f(x)-2 有且只有 1 个零点,求 ab 的值. 解(1)因为 a=2,b=12,所以 f(x)=2x+2-x. 方程 f(x)=2,即 2x+2-x=2,亦即(2x)2-22x+1=0, 所以(2x-1)2=0,于是 2x=1,解得 x=0. 由条件知 f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(

12、x)2-2. 因为 f(2x)mf(x)-6对于 xr 恒成立,且 f(x)0, 所以 m()2+4()对于 xr 恒成立. 而()2+4()=f(x)+4()2()4()=4,且(0)2+4(0)=4, 所以 m4,故实数 m 的最大值为 4. (2)因为函数 g(x)=f(x)-2只有 1个零点, 而 g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0, 11 / 16 所以 0 是函数 g(x)的唯一零点 . 因为 g(x)=axln a+bxln b, 又由 0a1 知 ln a0, 所以 g(x)=0有唯一解 x0=log(-lnln). 令 h(x)=g(x),则 h(x)=(axln a

13、+bxln b)=ax(ln a)2+bx(ln b)2, 从而对任意 xr,h(x)0, 所以 g(x)=h(x)是(-,+)上的单调增函数 . 于是当 x(-,x0)时,g(x)g(x0)=0. 因而函数 g(x)在(-,x0)上是单调减函数 ,在(x0,+)上是单调增函数 . 下证 x0=0. 若 x00,则 x0020,于是 g(02)log2-2=0,且函数 g(x)在以02和 loga2为端点的闭区间上的图象不间断 ,所以在02和 loga2之间存在 g(x)的零点 ,记为 x1.因为 0a1,所以 loga20.又020,所以x10,同理可得,在02和 logb2 之间存在 g(

14、x)的非 0 的零点,矛盾.因此,x0=0. 于是-lnln=1,故 ln a+ln b=0,所以 ab=1. 20.(2016 江苏,20)记 u=1,2,100.对数列an(nn*)和 u 的子集 t,若 t=,定义 st=0;若t=t1,t2,tk,定义 st=1+ 2+.例如:t=1,3,66时,st=a1+a3+a66.现设an(nn*)是公比为3 的等比数列,且当 t=2,4时,st=30. (1)求数列an的通项公式; (2)对任意正整数 k(1k100),若 t1,2,k,求证:st0,nn*, 所以 sta1+a2+ak=1+3+3k-1=12(3k-1)3k. 因此,sta

15、k+1. (3)下面分三种情况证明. 若 d是 c 的子集 ,则 sc+scd=sc+sdsd+sd=2sd. 若 c是 d 的子集 ,则 sc+scd=sc+sc=2sc2sd. 若 d不是 c的子集,且 c不是 d的子集. 令 e=cud,f=duc,则 e,f,ef=. 于是 sc=se+scd,sd=sf+scd,进而由 scsd得 sesf. 设 k为 e 中的最大数 ,l为 f 中的最大数 ,则 k1,l1,kl. 由(2)知,seak+1.于是 3l-1=alsfseak+1=3k, 所以 l-10,|x-1|3,|y-2|3,求证:|2x+y-4|a. 证明因为|x-1|3,|

16、y-2|3, 所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)| 2|x-1|+|y-2|0). (1)若直线 l过抛物线 c 的焦点,求抛物线 c的方程; (2)已知抛物线 c 上存在关于直线 l对称的相异两点 p和 q. 求证:线段 pq的中点坐标为(2-p,-p); 求 p 的取值范围. 解(1)抛物线 c:y2=2px(p0)的焦点 为(2,0), 由点(2,0)在直线 l:x-y-2=0 上,得2-0-2=0,即 p=4. 所以抛物线 c 的方程为 y2=8x. (2)设 p(x1,y1),q(x2,y2),线段 pq 的中点 m(x0,y0). 因为点 p 和 q关于直线 l对称,

17、所以直线 l 垂直平分 线段 pq, 于是直线 pq 的斜率为-1,则可设其方程为 y=-x+b. 由2= 2, = - + 消去 x 得 y2+2py-2pb=0. (*) 因为 p和 q 是抛物线 c上的相异两点,所以 y1y2, 从而 =(2p)2-4(-2pb)0,化简得 p+2b0. 方程(*)的两根为 y1,2=-p2+ 2, 从而 y0=1+22=-p. 因为 m(x0,y0)在直线 l上,所以 x0=2-p. 16 / 16 因此,线段 pq 的中点坐标 为(2-p,-p). 因为 m(2-p,-p)在直线 y=-x+b 上, 所以-p=-(2-p)+b,即 b=2-2p. 由知 p+2b0,于是 p+2(2-2p)0, 所以 pm时,