2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(山东卷)文

1、1 / 11 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 数学(文科) 本试卷分第卷和第卷两部分.满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式:如果事件 a,b互斥,那么 p(a+b)=p(a)+p(b). 第卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014 山东,文 1)已知 a,br,i 是虚数单位,若 a+i=2-bi,则(a+bi)2=( ). a.3-4i b.3+4i c.4-3i d.4+3i 答案:a 解析:a+i=2-bi,a+bi=2-i. 即(a+bi)

2、2=(2-i)2=4-4i-1=3-4i. 2.(2014 山东,文 2)设集合 a=x|x2-2x0,b=x|1x4,则 ab=( ). a.(0,2 b.(1,2) c.1,2) d.(1,4) 答案:c 解析:由已知可得 a=x|0 x2. 又b=x|1x4,ab=x|1x 0, 0. x2,f(x)的定义域为(2,+). 4.(2014 山东,文 4)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是( ). 2 / 11 a.方程 x3+ax+b=0 没有实根 b.方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 c.方程 x3+ax+b=0

3、至多有两个实根 d.方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根 答案:a 解析:“至少有一个”的否定为“没有”. 5.(2014 山东,文 5)已知实数 x,y 满足 axay(0ay3 b.sin xsin y c.ln(x2+1)ln(y2+1) d.12+112+1 答案:a 解析:0a1,axy.x3y3. 6.(2014 山东,文 6)已知函数 y=loga(x+c)(a,c 为常数,其中 a0,a0)的图象如图,则下列结论成立的是( ). a.a1,c1 b.a1,0c1 c.0a1 d.0a1,0c1 答案:d 解析:由图象可知 y=loga(x+c)的图象是由 y=logax 的

4、图象向左平移 c 个单位得到的,其中 0c1.再根据单调性易知 0a1. 7.(2014 山东,文 7)已知向量 a=(1,3),b=(3,m),若向量 a,b 的夹角为6,则实数 m=( ). a.23 b.3 c.0 d.-3 答案:b 解析:cos=|, cos6=3+3m232+2,解得 m=3. 8.(2014 山东,文 8)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kpa)的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,第五3 / 11 组.如图是根据试验数据制成的

5、频率分布直方图.已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效的人数为( ). a.6 b.8 c.12 d.18 答案:c 解析:设样本容量为 n,由题意得 n(0.24+0.16)=20, n=50. 第三组的频数为 500.36=18 人. 则第三组中有疗效的人数为 18-6=12. 9.(2014 山东,文 9)对于函数 f(x),若存在常数 a0,使得 x 取定义域内的每一个值,都有 f(x)=f(2a-x),则称 f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( ). a.f(x)= b.f(x)=x2 c.f(x)=tan x d.f(x)=cos

6、(x+1) 答案:d 解析:由 f(x)为准偶函数的定义可知,若 f(x)的图象关于 x=a(a0)对称,则 f(x)为准偶函数,在 d 中 f(x)=cos(x+1)的图象关于 x=k-1(kz)对称,故选 d. 10.(2014 山东,文 10)已知 x,y 满足约束条件-1 0,2-3 0,当目标函数 z=ax+by(a0,b0)在该约束条件下取到最小值 25时,a2+b2的最小值为( ). a.5 b.4 c.5 d.2 答案:b 解析:约束条件-1 0,2-3 0满足可行域如图所示. 由图可知目标函数 z=ax+by(a0,b0)取最小值时,最优解为(2,1), 4 / 11 即 2

7、a+b=25,b=25-2a. a2+b2=a2+(25-2a)2=5a2-85a+20=(5a-4)2+4. 当 a=455时,a2+b2取最小值为 4. 第卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.(2014 山东,文 11)执行下面的程序框图,若输入的 x 的值为 1,则输出的 n 的值为 . 答案:3 解析:输入 x=1,12-4+30,执行是,x=2,n=1; 返回 22-8+30,执行是,x=3,n=2; 返回 32-12+30,执行是,x=4,n=3; 返回 42-16+30,执行否,输出 n=3. 12.(2014 山东,文 1

8、2)函数 y=32sin 2x+cos2x 的最小正周期为 . 答案: 解析:原式=32sin 2x+1+cos22=sin(2 +6) +12. 周期 t=22=. 13.(2014 山东,文 13)一个六棱锥的体积为 23,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 . 答案:12 解析:根据题意得底面正六边形面积为 63,设六棱锥的高为 h,则 v=13sh, 1363h=23,解得 h=1. 设侧面高为 h, 则 h2+(3)2=h2,h=2. 5 / 11 正六棱锥的侧面积为 61222=12. 14.(2014 山东,文 14)圆心在直线 x-2y=0 上的

9、圆 c 与 y 轴的正半轴相切,圆 c 截 x 轴所得弦的长为 23,则圆 c的标准方程为 . 答案:(x-2)2+(y-1)2=4 解析:圆心在直线 x-2y=0 上, 可设圆心为(2a,a). 圆 c 与 y 轴正半轴相切,a0,半径 r=2a. 又圆 c 截 x 轴的弦长为 23, a2+(3)2=(2a)2,解得 a=1(a=-1 舍去). 圆 c 的圆心为(2,1),半径 r=2. 圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 15.(2014 山东,文 15)已知双曲线2222=1(a0,b0)的焦距为 2c,右顶点为 a,抛物线 x2=2py(p0)的焦点为 f,若双曲线截抛物线的

10、准线所得线段长为 2c,且|fa|=c,则双曲线的渐近线方程为 . 答案:y= x 解析:由已知得|oa|=a,|af|=c, |of|=|2-|oa|2= 2-2= 2=b, b=2. 抛物线的准线 y=-2=-b. 把 y=-b 代入双曲线2222=1 得 x2=2a2, 直线 y=-2被双曲线截得的线段长为 22a,从而 22a=2c. c=2a,a2+b2=2a2,a=b, 渐近线方程为 y= x. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分)(2014 山东,文 16)海关对同时从 a,b,c 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种

11、商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测. 6 / 11 地区 a b c 数量 50 150 100 (1)求这 6 件样品中来自 a,b,c 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自相同地区的概率. 分析:(1)利用分层抽样在各层中的抽样比等于在总体中的抽样比求解.(2)先利用列举法求出在这 6 件样品中随机抽取 2 件的总的基本事件个数及所抽取的 2 件商品来自相同地区的基本事件个数,进而利用古典概型的概率公式即可求解. 解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是

12、650+150+100=150, 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是: 50150=1,150150=3,100150=2. 所以 a,b,c 三个地区的商品被选取的件数分别为 1,3,2. (2)设 6 件来自 a,b,c 三个地区的样品分别为:a;b1,b2,b3;c1,c2. 则抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为:a,b1,a,b2,a,b3,a,c1,a,c2,b1,b2,b1,b3,b1,c1,b1,c2,b2,b3,b2,c1,b2,c2,b3,c1,b3,c2,c1,c2,共 15 个. 每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件 d:“抽取的

13、这 2 件商品来自相同地区”, 则事件 d 包含的基本事件有b1,b2,b1,b3,b2,b3,c1,c2,共 4 个. 所以 p(d)=415,即这 2 件商品来自相同地区的概率为415. 17.(本小题满分 12 分)(2014 山东,文 17)abc 中,角 a,b,c 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cos a=63,b=a+2. (1)求 b 的值; (2)求abc 的面积. 分析:(1)在abc 中,已知 cos a=63,b=a+2,相当于已知角 a,b,又已知边 a,故可利用sin=sin求 b.(2)由已知及(1)可知 a,b,故根据 sabc=12absin c,

14、只需求 sin c,在abc 中,由 c=-(a+b),可求 sin c. 解:(1)在abc 中, 由题意知 sin a=1-cos2a =33, 又因为 b=a+2, 所以 sin b=sin( +2)=cos a=63. 7 / 11 由正弦定理可得 b=sinsin=36333=32. (2)由 b=a+2得 cos b=cos( +2)=-sin a=-33. 由 a+b+c=,得 c=-(a+b), 所以 sin c=sin-(a+b)=sin(a+b) =sin acos b+cos asin b =33 (-33) +6363=13. 因此abc 的面积 s=12absin c

15、=12332 13=322. 18.(本小题满分 12 分)(2014 山东,文 18)如图,四棱锥 p-abcd 中,ap平面 pcd,adbc,ab=bc=12ad,e,f分别为线段 ad,pc 的中点. (1)求证:ap平面 bef; (2)求证:be平面 pac. 分析:(1)要证 ap平面 bef,由线面平行的判定定理知,只需在平面 bef 内找到一条直线与 ap平行即可,而已知 f为 pc 的中点.“由中点找中点”,故考虑利用三角形的中位线定理求解,即找 ac 的中点,由已知可通过证明四边形 abce为菱形而达到目的.(2)要证 be平面 pac,由线面垂直的判定定理知:只需证 b

16、e垂直于平面 pac内的两条相交直线即可.由(1)可知 beac.又已知 ap平面 pcd,则 ap垂直于平面 pcd 内的所有直线,即apcd,故考虑通过证明 becd 来证明 bepa,则由 beac 且 bepa,可证 be平面 pac. 证明:(1)设 acbe=o,连接 of,ec. 由于 e为 ad 的中点,ab=bc=12ad,adbc, 所以 aebc,ae=ab=bc, 因此四边形 abce 为菱形, 所以 o 为 ac 的中点. 又 f为 pc 的中点, 因此在pac 中,可得 apof. 8 / 11 又 of平面 bef,ap平面 bef, 所以 ap平面 bef. (

17、2)由题意知 edbc,ed=bc. 所以四边形 bcde为平行四边形, 因此 becd. 又 ap平面 pcd, 所以 apcd,因此 apbe. 因为四边形 abce 为菱形, 所以 beac. 又 apac=a,ap,ac平面 pac, 所以 be平面 pac. 19.(本小题满分 12 分)(2014 山东,文 19)在等差数列an中,已知公差 d=2,a2是 a1与 a4的等比中项. (1)求数列an的通项公式; (2)设 bn=(+1)2,记 tn=-b1+b2-b3+b4-+(-1)nbn,求 tn. 分析:(1)已知等差数列an的公差 d,要求其通项公式,只需求首项 a1即可,

18、由已知22=a1a4可求 a1.(2)由(1)中所求 an,可求 bn,由 tn的特点,故考虑研究 bn+1-bn的通项.又(-1)n表示各项的符号,故需对 n 的奇偶性进行讨论. 解:(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d), 即(a1+2)2=a1(a1+6), 解得 a1=2, 所以数列an的通项公式为 an=2n. (2)由题意知 bn=(+1)2=n(n+1), 所以 tn=-12+23-34+(-1)nn(n+1). 因为 bn+1-bn=2(n+1), 可得当 n 为偶数时, tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+(-bn-1+bn)=4+8+12+2n=2(4+2n

19、)2=(+2)2, 当 n 为奇数时,tn=tn-1+(-bn)=(-1)(+1)2-n(n+1)=-(+1)22. 所以 tn=-(+1)22,n 为奇数,(+2)2,n 为偶数. 9 / 11 20.(本小题满分 13 分)(2014 山东,文 20)设函数 f(x)=aln x+-1+1,其中 a 为常数. (1)若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程; (2)讨论函数 f(x)的单调性. 分析:(1)由已知可求切点坐标,故只需利用导数的几何意义求出斜率;则可求切线方程. (2)先求出函数 f(x)的导函数 f(x).通过判断 f(x)的符号来求 f(x)的单调区

20、间.由于导数中含有参数 a,所以要判断其符号,需要对参数 a 进行分类讨论.同时,应注意函数的单调区间应是定义域的子区间,故需在定义域内研究其单调性. 解:(1)由题意知当 a=0 时,f(x)=-1+1,x(0,+). 此时 f(x)=2(+1)2. 可得 f(1)=12,又 f(1)=0, 所以曲线 y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为 x-2y-1=0. (2)函数 f(x)的定义域为(0,+). f(x)=+2(+1)2=2+(2a+2)x+a(+1)2. 当 a0 时,f(x)0,函数 f(x)在(0,+)上单调递增. 当 a0 时,令 g(x)=ax2+(2a+2)x+a,

21、由于 =(2a+2)2-4a2=4(2a+1), 当 a=-12时,=0,f(x)=-12(x-1)2(+1)20,函数 f(x)在(0,+)上单调递减. 当 a-12时,0,g(x)0,f(x)0,函数 f(x)在(0,+)上单调递减. 当-12a0. 设 x1,x2(x10, 所以 x(0,x1)时,g(x)0,f(x)0,f(x)0,函数 f(x)单调递增, x(x2,+)时,g(x)0,f(x)0,函数 f(x)单调递减. 综上可得: 当 a0 时,函数 f(x)在(0,+)上单调递增; 当 a-12时,函数 f(x)在(0,+)上单调递减; 10 / 11 当-12ab0)的离心率为

22、32,直线y=x 被椭圆 c 截得的线段长为4105. (1)求椭圆 c 的方程; (2)过原点的直线与椭圆 c 交于 a,b两点(a,b不是椭圆 c 的顶点).点 d 在椭圆 c 上,且 adab,直线 bd 与 x轴、y 轴分别交于 m,n 两点. 设直线 bd,am 的斜率分别为 k1,k2,证明存在常数 使得 k1=k2,并求出 的值; 求omn 面积的最大值. 分析:(1)要求椭圆方程,只需求 a,b,由 e=32可得2-2=32.又直线 y=x 被椭圆 c 截得的线段长为4105,故联立 y=x与22+22=1 求线段长,由线段长等于4105,可得 a,b 的另一关系式,故可求 a,b,则椭圆方程可求. (2)要求 的值,需求 k1,k2,而直线 bd 的斜率 k1由 b,d 两点的坐标确定,直线 am 的斜率 k2由 a,m 两点的坐标确定,且 a,b关于原点对称.m 点是直线 bd 与 x 轴的交点,故本题的两个关键点是 a,d,故只需设出 a,d 两点坐标,将