2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(浙江卷) (2)

1、1 / 6 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 浙江文科数学 选择题部分(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015 浙江,文 1)已知集合 p=x|x2-2x3,q=x|2x4,则 pq=( ) a.3,4) b.(2,3 c.(-1,2) d.(-1,3 答案:a 解析:因为 p=x|x-1 或 x3,所以 pq=x|3x0”是“ab0”的 ( ) a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件 答案:d 解析:当

2、a=-2,b=3 时,a+b0,但 ab0,但 a+b0”是“ab0”的既不充分也不必要条件. 4.(2015 浙江,文 4)设 ,是两个不同的平面,l,m 是两条不同的直线,且 l,m.( ) a.若 l,则 b.若 ,则 lm c.若 l,则 d.若 ,则 lm 答案:a 解析:若 l,又 l,由面面垂直的判定定理,得 ,故选项 a 正确;选项 b,lm 或 lm 或 l 与 m 相交或异面都有可能;选项 c,或 与 相交都有可能;选项 d,lm 或 l 与 m 异面都有可能. 5.(2015 浙江,文 5)函数 f(x)=( 1)cos x(-x 且 x0)的图象可能为( ) 2 / 6

3、 答案:d 解析:因为 f(-x)=( +1)cos(-x)=-( 1)cos x=-f(x),所以 f(x)为奇函数.排除 a,b; 又 f()=( 1)cos =-+10,排除 c.故选 d. 6.(2015 浙江,文 6)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为 x,y,z,且 xyz,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为 a,b,c,且ab 1,则 f(f(-2)= ,f(x)的最小值是 . 答案:-12 26-6 解析:f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2)=f(4)=4+64-6=-12

4、; 当 x1 时,f(x)min=0; 当 x1 时,f(x)=x+6-626-6,当且仅当 x=6,即 x=6时,f(x)取最小值 26-6; 因为 26-60,所以 f(x)的最小值为 26-6. 13.(2015 浙江,文 13)已知 e1,e2是平面单位向量,且 e1 e2=12.若平面向量 b 满足 b e1=b e2=1,则|b|= . 答案:233 解析:因为 b e1=b e2=1,|e1|=|e2|=1,由数量积的几何意义,知 b 在 e1,e2方向上的投影相等,且都为 1,所以 b 与 e1,e2所成的角相等.由 e1 e2=12知 e1与 e2的夹角为 60 ,所以 b

5、与 e1,e2所成的角均为 30 ,即|b|cos 30 =1,所以|b|=1cos30=233. 14.(2015 浙江,文 14)已知实数 x,y 满足 x2+y21,则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是 . 答案:15 解析:画出直线 2x+y-4=0 和 x+3y-6=0 以及圆 x2+y2=1,如图. 由于整个圆在两条直线的左下方,所以当 x2+y21 时,有2 + 4 0, + 3 6 b0)的右焦点 f(c,0)关于直线 y=x 的对称点 q 在椭圆上,则椭圆的离心率是 . 答案:22 4 / 6 解析:设 q(x0,y0),则00= , (0+2) =02, 解得0=

6、(22)2,0=222. 因为点 q 在椭圆上,所以2(22)242+42442=1, 化简得 a4c2+4c6-a6=0,即 4e6+e2-1=0. 即 4e6-2e4+2e4+e2-1=0, 即(2e2-1)(2e4+e2+1)=0. 所以 e=22. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 14 分)(2015 浙江,文 16)在abc 中,内角 a,b,c 所对的边分别为 a,b,c.已知 tan(4+ )=2. (1)求sin2sin2+cos2的值; (2)若 b=4,a=3,求abc 的面积. 本题主要考查三角函数

7、及其变换、正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.满分 14 分. 解:(1)由 tan(4+ )=2,得 tan a=13, 所以sin2sin2+cos2=2tan2tan+1=25. (2)由 tan a=13,a(0,),得 sin a=1010,cos a=31010. 又由 a=3,b=4及正弦定理sin=sin,得 b=35. 由 sin c=sin(a+b)=sin( +4)得 sin c=255. 设abc 的面积为 s,则 s=12absin c=9. 17.(本题满分 15 分)(2015 浙江,文 17)已知数列an和bn满足 a1=2,b1=1,an+1=2a

8、n(nn*),b1+12b2+13b3+1bn=bn+1-1(nn*). (1)求 an与 bn; (2)记数列anbn的前 n 项和为 tn,求 tn. 本题主要考查数列的通项公式、等差和等比数列等基础知识,同时考查数列求和等基本思想方法,以及推理论证能力.满分 15 分. 解:(1)由 a1=2,an+1=2an,得 an=2n(nn*). 由题意知: 当 n=1 时,b1=b2-1,故 b2=2. 当 n2 时,1bn=bn+1-bn,整理得+1+1=, 所以 bn=n(nn*). (2)由(1)知 anbn=n 2n, 因此 tn=2+2 22+3 23+n 2n, 2tn=22+2

9、23+3 24+n 2n+1, 所以 tn-2tn=2+22+23+2n-n 2n+1. 故 tn=(n-1)2n+1+2(nn*). 18.(本题满分 15 分)(2015 浙江,文 18) 如图,在三棱柱 abc-a1b1c1中,bac=90 ,ab=ac=2,a1a=4,a1在底面 abc 的射影为 bc 的中点,d 是 b1c1的中点. (1)证明:a1d平面 a1bc; (2)求直线 a1b和平面 bb1c1c 所成的角的正弦值. 5 / 6 本题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.满分 15 分. 解:(1)设 e为 b

10、c 的中点,由题意得 a1e平面 abc,所以 a1eae. 因为 ab=ac,所以 aebc. 故 ae平面 a1bc. 由 d,e分别为 b1c1,bc 的中点,得 deb1b且 de=b1b,从而 dea1a且 de=a1a, 所以 aa1de为平行四边形. 于是 a1dae. 又因为 ae平面 a1bc,所以 a1d平面 a1bc. (2)作 a1fde,垂足为 f,连结 bf. 因为 a1e平面 abc,所以 bca1e. 因为 bcae,所以 bc平面 aa1de. 所以 bca1f,a1f平面 bb1c1c. 所以a1bf为直线 a1b 和平面 bb1c1c 所成的角. 由 ab

11、=ac=2,cab=90 ,得 ea=eb=2. 由 a1e平面 abc,得 a1a=a1b=4,a1e=14. 由 de=bb1=4,da1=ea=2,da1e=90 ,得 a1f=72. 所以 sina1bf=78. 19.(本题满分 15 分)(2015 浙江,文 19)如图,已知抛物线 c1:y=14x2,圆 c2:x2+(y-1)2=1,过点 p(t,0)(t0)作不过原点 o的直线 pa,pb 分别与抛物线 c1和圆 c2相切,a,b为切点. (1)求点 a,b的坐标; (2)求pab的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称

12、该公共点为切点. 本题主要考查抛物线的几何性质,直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分 15 分. 解:(1)由题意知直线 pa的斜率存在,故可设直线 pa的方程为 y=k(x-t), 由 = ( ), =142消去 y,整理得:x2-4kx+4kt=0, 由于直线 pa与抛物线相切,得 k=t. 因此,点 a的坐标为(2t,t2). 设圆 c2的圆心为 d(0,1),点 b的坐标为(x0,y0),由题意知:点 b,o 关于直线 pd 对称,故02= 02+ 1,0 0= 0, 解得0=21+2,0=221+2. 因此,点 b的

13、坐标为(21+2,221+2). (2)由(1)知|ap|=t 1 + 2和直线 pa 的方程 tx-y-t2=0. 点 b到直线 pa的距离是 d=21+2. 设pab 的面积为 s(t),所以 s(t)=12|ap| d=32. 20.(本题满分 15 分)(2015 浙江,文 20)设函数 f(x)=x2+ax+b(a,br). 6 / 6 (1)当 b=24+1 时,求函数 f(x)在-1,1上的最小值 g(a)的表达式; (2)已知函数 f(x)在-1,1上存在零点,0b-2a1.求 b 的取值范围. 本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能

14、力,分类讨论等分析问题和解决问题的能力.满分 15 分. 解:(1)当 b=24+1 时,f(x)=( +2)2+1,故对称轴为直线 x=-2. 当 a-2 时,g(a)=f(1)=24+a+2. 当-22 时,g(a)=f(-1)=24-a+2. 综上,g(a)= 24+ + 2, 2,1,2 2. (2)设 s,t 为方程 f(x)=0 的解,且-1t1,则 + = , = . 由于 0b-2a1,因此2+2s12+2(-1t1). 当 0t1 时,22+2st22+2, 由于-2322+20 和-1322+29-45, 所以-23b9-45. 当-1t0 时,22+2st22+2, 由于

15、-222+20 和-322+20, 所以-3b0. 故 b 的取值范围是-3,9-45. 附:自选模块 1.“复数与导数”模块(10 分) (1)已知 i 是虚数单位,a,br,复数 z=1+ai 满足 z2+z=1+bi,求 a2+b2的值. (2)设函数 f(x)=(x2+2x-2)ex(xr),求 f(x)的单调递减区间. 解:(1)由题意得(2-a2)+3ai=1+bi,解得 a2=1,b=3a, 故 a2+b2=10. (2)对 f(x)求导,得 f(x)=(x2+4x)ex, 由 f(x)0,解得-4x0, 所以 f(x)的单调递减区间为(-4,0). 2.“计数原理与概率”模块(10 分) (1)已知 n 为正整数,在(1+x)2n与(1+2x3)n展开