2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(北京卷) (2)

1、1 / 9 2016 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 北京理科数学 1.(2016 北京,理 1)已知集合 a=x|x|2,b=-1,0,1,2,3,则 ab=( ) a.0,1 b.0,1,2 c.-1,0,1 d.-1,0,1,2 答案 c 由|x|2,可知-2x2,即 a=x|-2xy0,则( ) a.110 b.sin x-sin y0 c.(12) (12)0 答案 c 由 xy0,得11,即11y0 及正弦函数的单调性 ,可知 sin x-sin y0 不一定成立,故选项 b 不正确;由 012y0,可知(12) (12),即(12) (12)y0,得

2、 xy0,xy不一定大于 1,故 ln x+ln y=ln xy0不一定成立,故选项 d 不正确.故选 c. 6. (2016 北京,理 6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( ) a.16 b.13 c.12 d.1 3 / 9 答案 a 由三视图 可得,三棱锥的直观图如图,则该三棱锥的体积 v=1312 1 1 1=16,故选 a. 7.(2016 北京,理 7)将函数 y=sin(2-3)图象上的点 p(4,)向左平移 s(s0)个单位长度得到点 p.若 p位于函数 y=sin 2x的图象上,则( ) a.t=12,s 的最小值为6 b.t=32,s 的最小值为6 c.t=

3、12,s 的最小值为3 d.t=32,s 的最小值为3 答案 a 设 p(x,y).由题意得,t=sin(2 4-3) =12,且 p的纵坐标与 p 的纵坐标相同,即 y=12.又 p在函数 y=sin 2x 的图象上,则 sin 2x=12,故点 p的横坐标 x=12+k或512+k(kz),由题意可得 s 的最小值为412=6. 8.(2016 北京,理 8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( ) a.乙盒中黑球

4、不多于丙盒中黑球 b.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 c.乙盒中红球不多于丙盒中红球 d.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 答案 b 若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,选 b. 9.(2016 北京,理 9)设 ar,若复数(1+i)(a+i)在

5、复平面内对应的点位于实轴上,则 a= . 答案-1 解析(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)ir, a+1=0,即 a=-1. 10.(2016 北京,理 10)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为 .(用数字作答) 答案 60 解析二项展开式的通项 tr+1=c616-r (-2x)r=(-2)rc6xr,x2的系数 为(-2)2c62=60. 11.(2016 北京,理 11)在极坐标系中,直线 cos -3sin -1=0 与圆 =2cos 交于 a,b两点,则|ab|= .答案 2 解析直线 cos -3sin -1=0 化为直角坐标方程 为 x-3y-1=0,圆 =2cos

6、化为直角坐标方程 为(x-1)2+y2=1,可知圆心(1,0)在直线 x-3y-1=0 上,故|ab|=2. 12.(2016 北京,理 12)已知an为等差数列,sn为其前 n项和.若 a1=6,a3+a5=0,则 s6= . 4 / 9 答案 6 解析an是等差数列 ,a3+a5=2a4=0.a4=0. a4-a1=3d=-6.d=-2. s6=6a1+15d=66+15(-2)=6. 13.(2016 北京,理 13)双曲线2222=1(a0,b0)的渐近线为正方形 oabc的边 oa,oc所在的直线,点b 为该双曲线的焦点.若正方形 oabc的边长为 2,则 a= . 答案 2 解析四

7、边形 oabc是正方形,aob=45,不妨设直线 oa 的方程即双曲线的一条渐近线 的方程为 y=x.=1,即 a=b.又|ob|=22,c=22.a2+b2=c2,即 a2+a2=(22)2,可得 a=2. 14.(2016 北京,理 14)设函数 f(x)=3-3, ,-2, . (1)若 a=0,则 f(x)的最大值为 ; (2)若 f(x)无最大值,则实数 a 的取值范围是 . 答案(1)2 (2)(-,-1) 解析令 g(x)=x3-3x,(x)=-2x.由 g(x)=3x2-3=0,得 x=1.可判断当 x=1 时,函数 g(x)的极小值 为-2;当x=-1 时,函数 g(x)的极

8、大值 为 2,且 g(x)与 x轴的交点为(-3,0),(0,0),(3,0).又 g(x)与 (x)图象的交点为 a(-1,2),o(0,0),b(1,-2),故可作出函数 g(x)与 (x)的大致图象如图所示. (1)当 a=0时,f(x)=3-3, 0,-2, 0,可知 f(x)的最大值是 f(-1)=2; (2)由图象知,当 a-1 时,f(x)有最大值 f(-1)=2;当 a-1时,有 a3-3a-2a,此时 f(x)无最大值,a 的取值范围是(-,-1). 15.(2016 北京,理 15)在abc中,a2+c2=b2+2ac. (1)求 b 的大小; (2)求2cos a+cos

9、 c 的最大值. 解(1)由余弦定理 及题设得 cos b=2+2-22=22=22. 又因为 0b,所以 b=4. (2)由(1)知 a+c=34. 5 / 9 2cos a+cos c=2cos a+cos(34-) =2cos a-22cos a+22sin a =22cos a+22sin a=cos(-4). 因为 0a34, 所以当 a=4时,2cos a+cos c取得最大值 1. 16.(2016 北京,理 16)a,b,c 三个班共有 100 名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时): a班 6 6.5 7 7.5

10、8 b班 6 7 8 9 10 11 12 c班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 (1)试估计 c 班的学生人数; (2)从 a 班和 c班抽出的学生中,各随机选取一人,a 班选出的人记为甲,c 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; (3)再从 a,b,c 三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是 7,9,8.25(单位:小时),这 3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 1,表格中数据的平均数记为 0,试判断 0和 1的大小.(结论不要求证明) 解(1)由题意知,抽出的 20名学生中,来自 c

11、班的学生有 8名.根据分层抽样 方法,c 班的学生人数估计为 100820=40. (2)设事件 ai为“甲是现有样本中 a 班的第 i个人”,i=1,2,5, 事件 cj为“乙是现有样本中 c 班的第 j个人”,j=1,2,8. 由题意可知,p(ai)=15,i=1,2,5;p(cj)=18,j=1,2,8. p(aicj)=p(ai)p(cj)=1518=140,i=1,2,5,j=1,2,8. 设事件 e 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”. 由题意知,e=a1c1a1c2a2c1a2c2a2c3a3c1a3c2a3c3a4c1a4c2a4c3a5c1a5c2a5c3a5c4. 因此

12、p(e)=p(a1c1)+p(a1c2)+p(a2c1)+p(a2c2)+p(a2c3)+p(a3c1)+p(a3c2)+p(a3c3)+p(a4c1)+p(a4c2)+p(a4c3)+p(a5c1)+p(a5c2)+p(a5c3)+p(a5c4)=15140=38. 6 / 9 (3)10. 17.(2016 北京,理 17) 如图,在四棱锥 p-abcd中,平面 pad平面 abcd,papd,pa=pd,abad,ab=1,ad=2,ac=cd=5. (1)求证:pd平面 pab; (2)求直线 pb与平面 pcd 所成角的正弦值; (3)在棱 pa 上是否存在点 m,使得 bm平面 p

13、cd?若存在,求的值;若不存在,说明理由. 解(1)因为平面 pad平面 abcd,abad, 所以 ab平面 pad. 所以 abpd. 又因为 papd,所以 pd平面 pab. (2)取 ad的中点 o,连接 po,co. 因为 pa=pd,所以 poad. 又因为 po平面 pad,平面 pad平面 abcd, 所以 po平面 abcd. 因为 co平面 abcd,所以 poco. 因为 ac=cd,所以 coad. 如图建立空间直角坐标系 o-xyz. 由题意得,a(0,1,0),b(1,1,0),c(2,0,0),d(0,-1,0),p(0,0,1). 设平面 pcd的法向量 为

14、n=(x,y,z),则 = 0, = 0,即- = 0,2- = 0. 令 z=2,则 x=1,y=-2.所以 n=(1,-2,2). 又 =(1,1,-1), 所以 cos= | |=-33. 7 / 9 所以直线 pb 与平面 pcd所成角的正弦值 为33. (3)设 m是棱 pa 上一点,则存在 0,1使得 = . 因此点 m(0,1-,), =(-1,-,). 因为 bm平面 pcd,所以 bm平面 pcd当且仅当 n=0, 即(-1,-,) (1,-2,2)=0.解得 =14. 所以在棱 pa 上存在 点 m 使得 bm平面 pcd,此时=14. 18.(2016 北京,理 18)设

15、函数 f(x)=xea-x+bx,曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为 y=(e-1)x+4. (1)求 a,b 的值; (2)求 f(x)的单调区间. 解(1)因为 f(x)=xea-x+bx, 所以 f(x)=(1-x)ea-x+b. 依题设,(2) = 2e + 2,(2) = e-1,即2e-2+ 2 = 2e + 2,-e-2+ = e-1, 解得 a=2,b=e. (2)由(1)知 f(x)=xe2-x+ex. 由 f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及 e2-x0 知,f(x)与 1-x+ex-1同号 . 令 g(x)=1-x+ex-1,则 g(x)=-1+ex-

16、1. 所以,当 x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增 . 故 g(1)=1是 g(x)在区间(-,+)上的最小值 , 从而 g(x)0,x(-,+). 综上可知,f(x)0,x(-,+). 故 f(x)的单调递增区间为(-,+). 19.(2016 北京,理 19)已知椭圆 c:22+22=1(ab0)的离心率为32,a(a,0),b(0,b),o(0,0),oab 的面积为 1. (1)求椭圆 c 的方程; (2)设 p 是椭圆 c上一点,直线 pa与 y轴交于点 m,直线 pb与 x轴交于点 n,求证:|an| |bm|为定值. 解(1)由题意得 =32,12 =

17、 1,2= 2+ 2,解得 a=2,b=1. 所以椭圆 c的方程 为24+y2=1. (2)由(1)知,a(2,0),b(0,1). 8 / 9 设 p(x0,y0),则02+402=4. 当 x00时,直线 pa 的方程 为 y=00-2(x-2). 令 x=0,得 ym=-200-2, 从而|bm|=|1-ym|=|1 +200-2|. 直线 pb 的方程 为 y=0-10 x+1. 令 y=0,得 xn=-00-1, 从而|an|=|2-xn|=|2 +00-1|. 所以|an| |bm|=|2 +00-1| |1 +200-2| =|02+402+400-40-80+400-0-20+

18、2| =|400-40-80+800-0-20+2|=4. 当 x0=0时,y0=-1,|bm|=2,|an|=2, 所以|an| |bm|=4. 综上,|an| |bm|为定值. 20.(2016 北京,理 20)设数列 a:a1,a2,an(n2).如果对小于 n(2nn)的每个正整数 k都有 aka1,则 g(a); (3)证明:若数列 a满足 an-an-11(n=2,3,n),则 g(a)的元素个数不小于 an-a1. 解(1)g(a)的元素为 2和 5. (2)因为存在 an使得 ana1, 所以in*|2in,aia1. 记 m=minin*|2in,aia1, 则 m2,且对任意正整数 km,a