2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(江西卷)理 (2)

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(理科)本试卷分第卷和第卷两部分,满分150分,考试时间120分钟.参考公式2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)第卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014江西,理1)z是z的共轭复数,若z+z=2,(z-z)i=2(i为虚数单位),则z=(). a.1+ib.-1-ic.-1+id.1-i答案:d解析:设z=a+bi(ar,br),则z=a-bi.由z+z=2,得2a=2,即a=1;又由(z-z)i=2,得2bi·i=2,即b=

2、-1.故z=1-i.2.(2014江西,理2)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为().a.(0,1)b.0,1c.(-,0)(1,+)d.(-,01,+)答案:c解析:由题意可知x2-x>0,解得x<0或x>1.故函数f(x)的定义域为(-,0)(1,+).3.(2014江西,理3)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(ar),若fg(1)=1,则a=().a.1b.2c.3d.-1答案:a解析:由题意可知fg(1)=1=50,得g(1)=0,则a-1=0,即a=1.故选a.4.(2014江西,理4)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若c2

3、=(a-b)2+6,c=3,则abc的面积是().a.3b.932c.332d.33答案:c解析:在abc中,由已知条件及余弦定理可得c2=(a-b)2+6=a2+b2-2abcos 3,整理得ab=6,再由面积公式s=12absin c,得sabc=12×6×sin3=323.故选c.5.(2014江西,理5)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是().答案:b解析:俯视图为在水平投射面上的正投影,结合几何体可知选b.6.(2014江西,理6)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与

4、性别有关联的可能性最大的变量是().表1成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2视力性别好差总计男41620女122032总计163652表3智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652表4阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652a.成绩b.视力c.智商d.阅读量答案:d解析:根据2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),代入题中数据计算得d选项2最大.故选d.7.(2014江西,理7)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为().a.7b.9c.10d.11答案:b解析:通过对程序框图

5、的分析可知,该循环是一个根据判断条件不断累加的过程,i=7时,s=0+lg13+lg35+lg57+lg79=lg19>-1,i=9时,s=0+lg13+lg35+lg57+lg79+lg911=lg111<-1,i=9.故选b.8.(2014江西,理8)若f(x)=x2+201 f(x)dx,则01 f(x)dx=().a.-1b.-13c.13d.1答案:b解析:01 f(x)dx=01 x2dx+01 201f(x)dxdx=13x3|01+201f(x)dxx|01=13+201 f(x)dx,01 f(x)dx=-13.故选b.9.(2014江西,理9)在平面直角坐标系中

6、,a,b分别是x轴和y轴上的动点,若以ab为直径的圆c与直线2x+y-4=0相切,则圆c面积的最小值为().a.45b.34c.(6-25)d.54答案:a解析:由题意可知圆c的圆心(设其为m)为线段ab的中点,且圆c过原点(0,0),圆c与直线2x+y-4=0相切,圆c的圆心m到原点(0,0)的距离等于m点到直线2x+y-4=0的距离.由抛物线的定义可知,圆c的圆心m的轨迹是以(0,0)为焦点,2x+y-4=0为准线的抛物线.如图所示.要使圆c面积最小,则需找出圆c半径的最小值.由抛物线和准线的关系可知抛物线的顶点到准线的距离最短,即为(0,0)到直线2x+y-4=0的距离的一半.因此,圆c

7、半径的最小值为rmin=45×12=255.故圆c面积的最小值为rmin2=×2552=45.10.(2014江西,理10)如图,在长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=11,ad=7,aa1=12,一质点从顶点a射向点e(4,3,12),遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将第i-1次到第i次反射点之间的线段记为li(i=2,3,4),l1=ae,将线段l1,l2,l3,l4竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是().答案:c解析:因为34>711,所以连接a1e并延长交d1c1于点f,过点f作fm垂直dc于点m.在矩形aa1fm中分析反射情况:由于am=

8、353>10,第二次反射点为e1在线段am上,此时e1m=53,第三次反射点为e2在线段fm上,此时e2m=4,第四次反射点为e3在线段a1f上,由图可知,应选c.二、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按所做的第一题评阅计分,本题共5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.11.(2014江西,理11)(1)(不等式选做题)对任意x,yr,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为().a.1b.2c.3d.4(2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0x1)的极坐标方程为

9、().a.=1cos+sin,02b.=1cos+sin,04c.=cos +sin ,02d.=cos +sin ,04(1)答案:c解析:|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,当且仅当(1-x)·x0,(1-y)·(1+y)0,即0x1,-1y1时等号成立,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.(2)答案:a解析:由x=cos ,y=sin ,y=1-x可得sin =1-cos ,即=1cos+sin,再结合线段y=1-x(0x1)在极坐

10、标系中的情形,可知0,2.因此线段y=1-x(0x1)的极坐标方程为=1cos+sin,02.故选a.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.12.(2014江西,理12)10件产品中有7件正品,3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是. 答案:12解析:本题属于古典概型,由古典概型概率公式可得所求概率为c31c73c104=12.13.(2014江西,理13)若曲线y=e-x上点p处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点p的坐标是. 答案:(-ln 2,2)解析:设点p的坐标是(x0,e-x0),则由题意知,y'|x=x0=-e-x0=-2,得

11、x0=-ln 2,又e-x0=eln 2=2,故点p的坐标是(-ln 2,2).14.(2014江西,理14)已知单位向量e1与e2的夹角为,且cos =13,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为,则cos =. 答案:223解析:由已知得cos =a·b|a|b|=(3e1-2e2)·(3e1-e2)a2·b2=9|e1|2-9e1·e2+2|e2|29|e1|2+4|e2|2-12e1·e2·9|e1|2+|e2|2-6e1·e2,e1与e2是单位向量,其夹角为,且cos =13,|e1|2=|e2

12、|2=1,e1·e2=|e1|e2|cos =13.cos =9-9×13+29+4-12×13·9+1-6×13=232.15.(2014江西,理15)过点m(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于a,b两点,若m是线段ab的中点,则椭圆c的离心率等于. 答案:22解析:由题意可设a(x1,y1),b(x2,y2),则可得x12a2+y12b2=1(a>b>0),x22a2+y22b2=1(a>b>0).  -,并整理得x1+x2a2(

13、y1+y2)=-y1-y2b2(x1-x2).(*)m是线段ab的中点,且过点m(1,1)的直线斜率为-12,x1+x2=2,y1+y2=2,k=y1-y2x1-x2=-12.(*)式可化为1a2=12b2,即a2=2b2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,即c2a2=12.e=ca=22.四、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2014江西,理16)已知函数f(x)=sin(x+)+acos(x+2),其中ar,-2,2.(1)当a=2,=4时,求f(x)在区间0,上的最大值与最小值;(2)若f2=0,f()=1,求a,的

14、值.分析:(1)先将a=2,=4代入f(x),再利用两角和的正弦公式和余弦公式对f(x)进行化简,最终化成一个三角函数值的形式,根据所给角的范围,借助于数形结合求出最大值和最小值;(2)利用所给条件列出方程联立成方程组求出a,.解:(1)f(x)=sinx+4+2cosx+2=22(sin x+cos x)-2sin x=22cos x-22sin x=sin4-x,因为x0,从而4-x-34,4.故f(x)在0,上的最大值为22,最小值为-1.(2)由f2=0,f()=1,得cos(1-2asin)=0,2asin2-sin-a=1,又-2,2,知cos 0,解得a=-1,=-6.17.(本

15、小题满分12分)(2014江西,理17)已知首项都是1的两个数列an,bn(bn0,nn*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(1)令cn=anbn,求数列cn的通项公式;(2)若bn=3n-1,求数列an的前n项和sn.分析:(1)根据cn=anbn,将anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0转化,将cn构造成等差数列,利用等差数列的知识求出通项cn.(2)借助于(1)的结论可先求出an,利用求数列前n项和的方法(本题用错位相减法)求出an的前n项和sn.解:(1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn0(nn*),所以an+1bn+1-anbn=2

16、,即cn+1-cn=2.所以数列cn是以首项c1=1,公差d=2的等差数列,故cn=2n-1.(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,于是数列an前n项和sn=1·30+3·31+5·32+(2n-1)·3n-1,3sn=1·31+3·32+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n,相减得-2sn=1+2·(31+32+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n,所以sn=(n-1)3n+1.18.(本小题满分12分)(2014江西,理18)已知函数f(x)=

17、(x2+bx+b)1-2x(br).(1)当b=4时,求f(x)的极值;(2)若f(x)在区间0,13上单调递增,求b的取值范围.分析:(1)先将b=4代入f(x),再对f(x)进行求导,求出导函数等于0时的根,再判断根附近的导函数值的符号,求出极值点,进而求出f(x)的极值.(2)由f(x)在区间0,13上单调递增,可知导函数f'(x)在区间0,13上恒有f'(x)0成立,依此求出b的取值范围.解:(1)当b=4时,f'(x)=-5x(x+2)1-2x,由f'(x)=0得x=-2或x=0.当x(-,-2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x

18、(-2,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x0,12时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故f(x)在x=-2取极小值f(-2)=0,在x=0取极大值f(0)=4.(2)f'(x)=-x5x+(3b-2)1-2x,因为当x0,13时,-x1-2x<0,依题意当x0,13时,有5x+(3b-2)0,从而53+(3b-2)0.所以b的取值范围为-,19.19.(本小题满分12分)(2014江西,理19)如图,四棱锥p-abcd中,abcd为矩形,平面pad平面abcd.(1)求证:abpd;(2)若bpc=90°,pb=2,pc=2,问

19、ab为何值时,四棱锥p-abcd的体积最大?并求此时平面pbc与平面dpc夹角的余弦值.分析:(1)要证abpd,只需证ab平面pad,只要寻求线面垂直成立的条件,利用已知条件中的垂直关系即可得证.(2)先根据已知条件确定ab的长,使得四棱锥p-abcd的大小固定,再建立适当的空间直角坐标系,借助于两平面的法向量求出两个平面夹角的余弦值.(1)证明:abcd为矩形,故abad;又平面pad平面 abcd,平面pad平面abcd=ad,所以ab平面pad,故abpd.(2)解:过p作ad的垂线,垂足为o,过o作bc的垂线,垂足为g,连接pg.故po平面abcd,bc平面pog,bcpg,在rtb

20、pc中,pg=233,gc=263,bg=63,设ab=m,则op=pg2-og2=43-m2,故四棱锥p-abcd的体积为v=13·6·m·43-m2=m38-6m2.因为m8-6m2=8m2-6m4=-6m2-232+83,故当m=63,即ab=63时,四棱锥p-abcd的体积最大.此时,建立如图所示的坐标系,各点的坐标为o(0,0,0),b63,-63,0,c63,263,0,d0,263,0,p0,0,63.故pc=63,263,-63,bc=(0,6,0),cd=-63,0,0,设平面bpc的法向量n1=(x,y,1),则由n1pc,n1bc得63x+2

21、63y-63=0,6y=0,解得x=1,y=0,n1=(1,0,1).同理可求出平面dpc的法向量n2=0,12,1,从而平面bpc与平面dpc夹角的余弦值为cos =|n1·n2|n1|n2|=12·14+1=105.20.(本小题满分13分)(2014江西,理20)如图,已知双曲线c:x2a2-y2=1(a>0)的右焦点为f,点a,b分别在c的两条渐近线上,afx轴,abob,bfoa(o为坐标原点).(1)求双曲线c的方程;(2)过c上一点p(x0,y0)(y00)的直线l1:x0xa2-y0y=1与直线af相交于点m,与直线x=32相交于点n,证明:当点p在c

22、上移动时,|mf|nf|恒为定值,并求此定值.分析:(1)先根据双曲线方程中a,b,c的关系列出一个方程,再根据其他已知条件afx轴,abob,bfoa再列出一个方程,两个方程联立成方程组可求出a,进而得到双曲线c的方程.(2)利用解方程组的方法分别求出m,n点的坐标,再利用两点间的距离公式表示出|mf|2|nf|2,因点p(x0,y0)在曲线c上,用第(1)问的结论消去y0,化简即可得到|mf|2|nf|2的值,进而确定|mf|nf|的值.解:(1)设f(c,0),因为b=1,所以c=a2+1.直线ob方程为y=-1ax,直线bf的方程为y=1a(x-c),解得bc2,-c2a.又直线oa的

23、方程为y=1ax,则ac,ca,kab=ca-c2ac-c2=3a.又因为abob,所以3a·-1a=-1,解得a2=3,故双曲线c的方程为x23-y2=1.(2)由(1)知a=3,则直线l的方程为x0x3-y0y=1(y00),即y=x0x-33y0.因为直线af的方程为x=2,所以直线l与af的交点m2,2x0-33y0;直线l与直线x=32的交点为n32,32x0-33y0.则|mf|2|nf|2=(2x0-3)2(3y0)214+32x0-32(3y0)2=(2x0-3)29y024+94(x0-2)2=43·(2x0-3)23y02+3(x0-2)2,因为p(x0

24、,y0)是c上一点,则x023-y02=1,代入上式得|mf|2|nf|2=43·(2x0-3)2x02-3+3(x0-2)2=43·(2x0-3)24x02-12x0+9=43,所求定值为|mf|nf|=23=233.21.(本小题满分14分)(2014江西,理21)随机将1,2,2n(nn*,n2)这2n个连续正整数分成a,b两组,每组n个数,a组最小数为a1,最大数为a2;b组最小数为b1,最大数为b2,记=a2-a1,=b2-b1.(1)当n=3时,求的分布列和数学期望;(2)令c表示事件“与的取值恰好相等”,求事件c发生的概率p(c);(3)对(2)中的事件c,c表示c的对立事件,判断p(c)和p(c)的大小关系,并说明理由.分析:(1)当n=3时就是具体的6个数,先指明的所有可能取值,再根据题意列出的分布列,利用数学期望公式求出的数学期望.(2)先确定和恰好相等时的可能取值,再确定取各个值时的不同分组方法,再分类求出p(c).(3)借助(2)的结论,先猜想p(c)与p(c)的大小关系,用数学归纳法证明猜想结论的正确性(注意