2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(重庆卷)文

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学(文史类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014重庆,文1)实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的().a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限答案:b解析:由题意知,该复数在复平面内对应的点为(-2,1),所以该点位于复平面的第二象限.故选b.2.(2014重庆,文2)在等差数列an中,a1=2,a3+a5=10,则a7=().a.5b.8c.10d.14答案:b解析:由等差数列的性质,可知a1+a7=a3+a5.因为a1=2,a3+a5=1

2、0,所以a7=8.故选b.3.(2014重庆,文3)某中学有高中生3 500人,初中生1 500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为().a.100b.150c.200d.250答案:a解析:由题意知,抽样比为703 500=150,所以n3 500+1 500=150,即n=100.故选a.4.(2014重庆,文4)下列函数为偶函数的是().a.f(x)=x-1b.f(x)=x2+xc.f(x)=2x-2-xd.f(x)=2x+2-x答案:d解析:由题意知,所给四个函数其定义域均为r,关于原点对称.由偶函数的定义知,选

3、项a,b,c中函数均不满足f(-x)=f(x).而d选项中,f(-x)=2-x+2x=f(x),显然为偶函数,故选d.5.(2014重庆,文5)执行如图所示的程序框图,则输出s的值为().a.10b.17c.19d.36答案:c解析:执行过程如下:k=2,s=0;经判断执行“是”,此时s=0+2=2,k=3;经判断执行“是”,此时s=2+3=5,k=5;经判断执行“是”,此时s=5+5=10,k=9;经判断执行“是”,此时s=10+9=19,k=17;经判断执行“否”,此时输出s=19.故选c.6.(2014重庆,文6)已知命题p:对任意xr,总有|x|0;q:x=1是方程x+2=0的根.则下

4、列命题为真命题的是().a.p􀱑qb.􀱑pqc.􀱑p􀱑qd.pq答案:a解析:由题意知,命题p为真命题,命题q为假命题,所以􀱑p为假,􀱑q为真.所以p􀱑q为真,􀱑pq为假,􀱑p􀱑q为假,pq为假.故选a.7.(2014重庆,文7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().a.12b.18c.24d.30答案:c解析:由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,为直三棱柱abc-a1b1c1截掉了三棱锥d-a1b1

5、c1,所以其体积v=vabc-a1b1c1-vd-a1b1c1=12×3×4×5-13×12×3×4×3=24.8.(2014重庆,文8)设f1,f2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点p使得(|pf1|-|pf2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为().a.2b.15c.4d.17答案:d解析:由双曲线的定义知,(|pf1|-|pf2|)2=4a2,所以4a2=b2-3ab,即b2a2-3·ba=4,解得ba=4(-1舍去).因为双曲线的离心率e=c

6、a=1+b2a2,所以e=17.故选d.9.(2014重庆,文9)若log4(3a+4b)=log2ab,则a+b的最小值是().a.6+23b.7+23c.6+43d.7+43答案:d解析:由log4(3a+4b)=log2ab,得12log2(3a+4b)=12log2(ab),所以3a+4b=ab,即3b+4a=1.所以a+b=(a+b)3b+4a=3ab+4ba+743+7,当且仅当3ab=4ba,即a=23+4,b=3+23时取等号.故选d.10.(2014重庆,文10)已知函数f(x)=1x+1-3,x(-1,0,x,x(0,1,且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且仅有

7、两个不同的零点,则实数m的取值范围是().a.-94,-20,12b.-114,-20,12c.-94,-20,23d.-114,-20,23答案:a解析:由题意画出f(x)的图象,如图所示.令g(x)=f(x)-mx-m=0,得f(x)=m(x+1),所以g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且仅有两个不同的零点,可转化为y=f(x)与y=m(x+1)的图象在(-1,1上有且仅有两个不同的交点.y=m(x+1)是过定点(-1,0)的一条直线,m是其斜率.由数形结合知,符合题意的直线位于l1(x轴)与l2之间和l3与l4(切线)之间.因为l4与y=f(x)相切,所以1x+1-3=m(x+

8、1)有两个相等的实根,即m(x+1)2+3(x+1)-1=0有两个相等的实根,即=9+4m=0,解得m=-94.设直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,易求k1=0,k2=12,k3=-2,所以m-94,-20,12.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.(2014重庆,文11)已知集合a=3,4,5,12,13,b=2,3,5,8,13,则ab=. 答案:3,5,13解析:由已知条件,结合交集运算,可得ab=3,5,13.12.(2014重庆,文12)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=1

9、0,则a·b=. 答案:10解析:由题意得|a|=210,所以ab=|a|b|cos<a,b>=210×10×12=10.13.(2014重庆,文13)将函数f(x)=sin(x+)>0,-2<2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移6个单位长度得到y=sin x的图象,则f6=. 答案:22解析:本题可逆推,由y=sin x的图象推f(x)=sin(x+)的图象.将y=sin x的图象向左平移6个单位长度得到y=sinx+6的图象,再保持纵坐标不变,横坐标伸长为原来的两倍,得到f(x)=sin12

10、x+6的图象.所以f6=sin12+6=sin4=22.14.(2014重庆,文14)已知直线x-y+a=0与圆心为c的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于a,b两点,且acbc,则实数a的值为. 答案:0或6解析:由题意,得圆心c的坐标为(-1,2),半径r=3.因为acbc,所以圆心c到直线x-y+a=0的距离d=|-1-2+a|2=22r=322,即|-3+a|=3,所以a=0或a=6.15.(2014重庆,文15)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:307:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为.(

11、用数字作答) 答案:932解析:用x轴表示小张到校时刻,用y轴表示小王到校时刻,建立如图直角坐标系.设小张到校的时刻为x,小王到校的时刻为y,则x-y5.由题意,知0x20,0y20,可得可行域如图所示,其中,阴影部分表示小张比小王至少早5分钟到校.由x-y=5,x=20得a(20,15).易知b(20,20),c(5,0),d(20,0).由几何概型概率公式,得所求概率p=sacds正方形odbe=12×15×1520×20=932.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分,(1)小问6分,

12、(2)小问7分)(2014重庆,文16)已知an是首项为1,公差为2的等差数列,sn表示an的前n项和.(1)求an及sn;(2)设bn是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+s4=0.求bn的通项公式及其前n项和tn.分析:通过已知条件,借助等差数列的通项公式以及前n项和公式,即可求出an和sn;在第(2)问充分利用第(1)问的结论,求出a4,s4并代入方程,求出q,然后利用等比数列通项公式及前n项和公式可求出结果.解:(1)因为an是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.故sn=1+3+(2n-1)=n(a1+an)2=n(1+2n-1)

13、2=n2.(2)由(1)得a4=7,s4=16.因为q2-(a4+1)q+s4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4.又因b1=2,bn是公比q=4的等比数列,所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1.从而bn的前n项和tn=b1(1-qn)1-q=23(4n-1).17.(本小题满分13分,(1)小问4分,(2)小问4分,(3)小问5分)(2014重庆,文17)20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:(1)求频率分布直方图中a的值;(2)分别求出成绩落在50,60)与60,70)中的学生人数;(3)从成绩在50,70)的学生中任选

14、2人,求此2人的成绩都在60,70)中的概率.分析:由频率分布直方图各小矩形面积和为1,可列出关于a的方程,然后解方程求出a的值;在第(2)问中,利用第(1)问的结果,分别计算得出50,60)与60,70)的频率,然后根据频率公式求出频数;在第(3)问中,利用第(2)问的结果得出成绩在50,70)的人数,然后分别用字母来表示来自50,60),60,70)的人,并列出所有基本事件,再利用古典概型的概率公式求出概率.解:(1)据直方图知组距=10,由(2a+3a+6a+7a+2a)×10=1,解得a=1200=0.005.(2)成绩落在50,60)中的学生人数为2×0.005&

15、#215;10×20=2.成绩落在60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20=3.(3)记成绩落在50,60)中的2人为a1,a2,成绩落在60,70)中的3人为b1,b2,b3,则从成绩在50,70)的学生中任选2人的基本事件共有10个:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3).其中2人的成绩都在60,70)中的基本事件有3个:(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),故所求概率为p=310.18.(本小题满分13分,(

16、1)小问5分,(2)小问8分)(2014重庆,文18)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8,(1)若a=2,b=52,求cos c的值;(2)若sin acos2b2+sin bcos2a2=2sin c,且abc的面积s=92sin c,求a和b的值.分析:先通过已知条件,求出c,然后借助余弦定理求出cos c的值;在第(2)问中,利用已知条件中的关系式,根据二倍角公式,得到sin a,sin b,sin c之间的关系,然后借助正弦定理转化为边的关系,再结合已知条件列出关于a,b的方程组,求出a,b的值.解:(1)由题意可知:c=8-(a+b)=72.由余弦定

17、理得,cos c=a2+b2-c22ab=22+522-7222×2×52=-15.(2)由sin acos2b2+sin bcos2a2=2sin c可得:sin a·1+cosb2+sin b·1+cosa2=2sin c,化简得sin a+sin acos b+sin b+sin bcos a=4sin c.因为sin acos b+cos asin b=sin(a+b)=sin c,所以sin a+sin b=3sin c.由正弦定理可知:a+b=3c.又因a+b+c=8,故a+b=6.由于s=12absin c=92sin c,所以ab=9,从

18、而a2-6a+9=0,解得a=3,b=3.19.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)(2014重庆,文19)已知函数f(x)=x4+ax-ln x-32,其中ar,且曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线y=12x.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.分析:利用已知条件得切线的斜率为-2,然后求出f(x)在x=1处的导数,列出关于a的方程,求出a的值;在第(2)问中,充分利用导数判断函数单调性与极值的方法,求导后转化为求方程f'(x)=0,然后判断f'(x)在每个区间的符号,在求解过程中要注意函数的定义域.解:(1)对f(x)求导

19、得f'(x)=14-ax2-1x,由f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线y=12x,知f'(1)=-34-a=-2,解得a=54.(2)由(1)知f(x)=x4+54x-ln x-32,则f'(x)=x2-4x-54x2,令f'(x)=0,解得x=-1或x=5.因x=-1不在f(x)的定义域(0,+)内,故舍去.当x(0,5)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,5)内为减函数;当x(5,+)时,f'(x)>0,故f(x)在(5,+)内为增函数.由此知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln 5.20.(本小题满分12

20、分,(1)小问4分,(2)小问8分)(2014重庆,文20)如图,四棱锥p-abcd中,底面是以o为中心的菱形,po底面abcd,ab=2,bad=3,m为bc上一点,且bm=12.(1)证明:bc平面pom;(2)若mpap,求四棱锥p-abmo的体积.分析:先利用平面几何的方法,求出ob,然后在obm中,借助余弦定理求出om的值,运用勾股定理的逆定理,得出线线垂直,再结合已知条件,利用线面垂直的判定定理,得出bc平面pom;在第(2)问中,充分利用第(1)问的结论,得到oa的长度,然后分别在pom,abm,poa中借助余弦定理得到关于po的方程,求出po的长度,再分别计算aob与omb的面

21、积得出四边形abmo的面积,最后根据棱锥的体积公式求出四棱锥p-abmo的体积.(1)证明:如图,因abcd为菱形,o为菱形中心,连结ob,则aoob.因bad=3,故ob=ab·sinoab=2sin6=1,又因bm=12,且obm=3,在obm中,om2=ob2+bm2-2ob·bm·cosobm=12+122-2·1·12·cos3=34.所以ob2=om2+bm2,故ombm.又po底面abcd,所以pobc.从而bc与平面pom内两条相交直线om,po都垂直,所以bc平面pom.(2)解:由(1)可得,oa=ab·

22、cosoab=2·cos6=3.设po=a,由po底面abcd知,poa为直角三角形,故pa2=po2+oa2=a2+3.由pom也是直角三角形,故pm2=po2+om2= a2+34.连结am,在abm中,am2=ab2+bm2-2ab·bm·cosabm=22+122-2·2·12·cos23=214.由已知mpap,故apm为直角三角形,则pa2+pm2=am2,即a2+3+a2+34=214,得a=32,a=-32(舍去),即po=32.此时sabmo=saob+somb=12·ao·ob+12·

23、bm·om=12×3×1+12×12×32=538.所以四棱锥p-abmo的体积vp-abmo=13·sabmo·po=13×538×32=516.21.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)(2014重庆,文21)如图,设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1,f2,点d在椭圆上,df1f1f2,|f1f2|df1|=22,df1f2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程;(2)是否存在圆心在y轴上的圆,使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.分析:先通过已知条件,借助a,b,c之间的关系,转化为关于a,b,c的方程,然后利用a,b,c的几何意义,求出a,b,c的值,从而得到