2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(陕西卷)文

1、1 / 15 陕西文科陕西文科 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 10小题,每小题 5分,共 50分). 1.(2013 陕西,文 1)设全集为 r,函数 f(x)=1-的定义域为 m,则rm 为( ). a.(-,1) b.(1,+) c.(-,1 d.1,+) 答案:b 解析:要使 f(x)=1-有意义, 则须 1-x0,即 x1, 所以 m=x|x1,rm=x|x1. 2.(2013 陕西,文 2)已知向量 a=(1,m),b=(m,2),若 ab,则实数 m 等于( ). a.-2 b.2 c.-2或2 d.0 答案:c 解析:由 ab知 12-m2

2、=0,即 m=2或-2. 3.(2013 陕西,文 3)设 a,b,c均为不等于 1的正实数,则下列等式中恒成立的是( ). a.logab logcb=logca b.logab logca=logcb c.loga(bc)=logab logac d.loga(b+c)=logab+logac 答案:b 解析:由换底公式得 logablogca=lglglglg=logcb, 所以 b正确. 2 / 15 4.(2013 陕西,文 4)根据下列算法语句,当输入 x为 60 时,输出 y 的值为( ). 输入 x; if x50 then y=0.5 x else y=25+0.6 (x-5

3、0) end if 输出 y. a.25 b.30 c.31 d.61 答案:c 解析:因为 x=6050,所以 y=25+0.6(60-50)=31,故选 c. 5.(2013 陕西,文 5)对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间20,25)上为一等品,在区间15,20)和25,30)上为二等品,在区间10,15)和30,35上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取 1 件,则其为二等品的概率是( ). a.0.09 b.0.20 c.0.25 d.0.45 答案:d 解析:由频率分布直方图知识可知:在区间15,20)和

4、25,30)上的概率为 0.045+1-(0.02+0.04+0.06+0.03)5=0.45. 6.(2013 陕西,文 6)设 z 是复数,则下列命题中的假命题是( ). a.若 z20,则 z是实数 b.若 z20,则 z是虚数 3 / 15 c.若 z 是虚数,则 z20 d.若 z 是纯虚数,则 z20 答案:c 解析:由复数的基本知识可知:z2能与 0比较大小且 z20,则 z 为实数,所以 a 正确;同理,z20,则 z是纯虚数,所以 b正确;反过来,z是纯虚数,z21, 而圆心(0,0)到直线 ax+by=1 的距离为 d=12+22,则关于实数 x 的不等式|x-a|+|x-

5、b|2的解集是 . 答案:(-,+) 解析:由不等式性质知:|x-a|+|x-b|(x-a)-(x-b)|=|b-a|=|a-b|2,所以|x-a|+|x-b|2的解集为全体实数. b.(几何证明选做题)如图,ab与 cd相交于点 e,过 e作 bc的平行线与 ad的延长线交于点 p,已知a=c,pd=2da=2,则 pe= . 答案:6 解析:pebc,c=ped. 又c=a,故a=ped. 7 / 15 又p=p,故pedpae, 则=,pe2=papd. 又 pd=2da=2, pa=pd+da=3, pe2=32=6, pe=6. c.(坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线 = 2, =

6、2(t为参数)的焦点坐标是 . 答案:(1,0) 解析:由 = 2, = 2消去 t得,y2=4x,故曲线表示为焦点(1,0)的抛物线. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6小题,共 75分). 16.(2013 陕西,文 16)(本小题满分 12 分)已知向量 a=(cos,-12),b=(3sin x,cos 2x),xr,设函数f(x)=a b. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在0,2上的最大值和最小值. 解:f(x)=(cos,-12)(3sin x,cos 2x) =3cos xsin x-12cos 2x =32sin 2x-12c

7、os 2x =cos6sin 2x-sin6cos 2x =sin(2-6). 8 / 15 (1)f(x)的最小正周期为 t=2=22=, 即函数 f(x)的最小正周期为 . (2)0 x2, -62x-656. 由正弦函数的性质, 当 2x-6=2,即 x=3时,f(x)取得最大值 1. 当 2x-6=-6,即 x=0时,f(0)=-12, 当 2x-6=56,即 x=2时,f(2) =12, f(x)的最小值为-12. 因此,f(x)在0,2上最大值是 1,最小值是-12. 17.(2013 陕西,文 17)(本小题满分 12 分)设 sn表示数列an的前 n项和. (1)若an是等差数

8、列,推导 sn的计算公式; (2)若 a1=1,q0,且对所有正整数 n,有 sn=1-1-.判断an是否为等比数列,并证明你的结论. 解:(1)解法一:设an的公差为 d,则 sn=a1+a2+an=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d, 又 sn=an+(an-d)+an-(n-1)d, 2sn=n(a1+an), sn=(1+)2. 解法二:设an的公差为 d,则 sn=a1+a2+an=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d, 9 / 15 又 sn=an+an-1+a1 =a1+(n-1)d+a1+(n-2)d+a1, 2sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+2a1+(

9、n-1)d =2na1+n(n-1)d, sn=na1+(-1)2d. (2)an是等比数列,证明如下: sn=1-1-,an+1=sn+1-sn=1-+11-1-1-=(1-q)1-=qn. a1=1,q0, 当 n1 时,有+1=-1=q, 因此,an是首项为 1 且公比为 q 的等比数列. 18.(2013 陕西,文 18)(本小题满分 12 分)如图,四棱柱 abcd-a1b1c1d1的底面 abcd 是正方形,o是底面中心,a1o底面 abcd,ab=aa1=2. (1)证明:平面 a1bd平面 cd1b1; (2)求三棱柱 abd-a1b1d1的体积. 解:(1)由题设知,bb1d

10、d1, bb1d1d是平行四边形, bdb1d1. 又 bd平面 cd1b1, bd平面 cd1b1. 10 / 15 a1d1b1c1bc, a1bcd1是平行四边形, a1bd1c. 又 a1b平面 cd1b1, a1b平面 cd1b1. 又bda1b=b, 平面 a1bd平面 cd1b1. (2)a1o平面 abcd, a1o是三棱柱 abd-a1b1d1的高. 又ao=12ac=1,aa1=2, a1o=12-o2=1. 又sabd=12 2 2=1, -111=sabda1o=1. 19.(2013 陕西,文 19)(本小题满分 12 分)有 7位歌手(1 至 7号)参加一场歌唱比赛

11、,由 500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下: 组别 a b c d e 人数 50 100 150 150 50 (1)为了调查评委对 7位歌手的支持情况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其中从 b 组抽取了 6人,请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 a b c d e 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 11 / 15 (2)在(1)中,若 a,b两组被抽到的评委中各有 2人支持 1 号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别任选1 人,求这 2人都支持 1 号歌手的概率. 解:(1)由题设知,分层抽样的抽取比例为 6%,所

12、以各组抽取的人数如下表: 组别 a b c d e 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 3 6 9 9 3 (2)记从 a组抽到的 3 个评委为 a1,a2,a3,其中 a1,a2支持 1号歌手;从 b组抽到的 6 个评委为b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中 b1,b2支持 1 号歌手.从a1,a2,a3和b1,b2,b3,b4,b5,b6中各抽取 1人的所有结果为: 由以上树状图知所有结果共 18 种,其中 2 人都支持 1号歌手的有 a1b1,a1b2,a2b1,a2b2共 4 种,故所求概率 p=418=29. 20.(2013 陕西,文 20)(本小题满分 13

13、分)已知动点 m(x,y)到直线 l:x=4 的距离是它到点 n(1,0)的距离的 2倍. (1)求动点 m的轨迹 c 的方程; (2)过点 p(0,3)的直线 m 与轨迹 c交于 a,b 两点,若 a是 pb的中点,求直线 m的斜率. (1)解:设 m到直线 l的距离为 d,根据题意,d=2|mn|. 由此得|4-x|=2(-1)2+ 2, 化简得24+23=1, 所以,动点 m 的轨迹方程为24+23=1. 12 / 15 (2)解法一:由题意,设直线 m的方程为 y=kx+3,a(x1,y1),b(x2,y2). 将 y=kx+3 代入24+23=1 中, 有(3+4k2)x2+24kx

14、+24=0, 其中,=(24k)2-424(3+4k2)=96(2k2-3)0, 由求根公式得,x1+x2=-243+42, x1x2=243+42. 又因 a是 pb的中点,故 x2=2x1, 将代入,得 x1=-83+42,12=123+42, 可得(-83+42)2=123+42,且 k232, 解得 k=-32或 k=32,所以,直线 m的斜率为-32或32. 解法二:由题意,设直线 m的方程为 y=kx+3,a(x1,y1),b(x2,y2). a是 pb 的中点, x1=22, y1=3+22. 又124+123=1, 224+223=1, 13 / 15 联立,解得2= 2,2=

15、 0或2= -2,2= 0, 即点 b的坐标为(2,0)或(-2,0), 所以,直线 m的斜率为-32或32. 21.(2013 陕西,文 21)(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=ex,xr. (1)求 f(x)的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程; (2)证明:曲线 y=f(x)与曲线 y=12x2+x+1 有唯一公共点; (3)设 ab,比较 f(+2)与()-()-的大小,并说明理由. 解:(1)f(x)的反函数为 g(x)=ln x,设所求切线的斜率为 k, g(x)=1,k=g(1)=1, 于是在点(1,0)处切线方程为 y=x-1. (2)解法一:曲线 y=ex与 y

16、=12x2+x+1 公共点的个数等于函数 (x)=ex-12x2-x-1 零点的个数. (0)=1-1=0, (x)存在零点 x=0. 又 (x)=ex-x-1,令 h(x)=(x)=ex-x-1,则 h(x)=ex-1, 当 x0时,h(x)0时,h(x)0, (x)在(0,+)上单调递增. (x)在 x=0 有唯一的极小值 (0)=0, 即 (x)在 r 上的最小值为 (0)=0. (x)0(仅当 x=0 时等号成立), 14 / 15 (x)在 r 上是单调递增的, (x)在 r 上有唯一的零点, 故曲线 y=f(x)与 y=12x2+x+1有唯一的公共点. 解法二:ex0,12x2+x+10, 曲线 y=ex与 y=12x2+x+1公共点的个数等于曲线 y=122+x+1e与 y=1公共点的个数, 设 (x)=122+x+1e,则 (0)=1, 即 x=0时,两曲线有公共点. 又 (x)=(+1)e-(122+x+1)ee2=-122e0(仅当 x=0 时等号成立), (x