2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(四川卷)理

1、1 / 17 2013年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷四川卷) 数学数学(理工类理工类) 本试题卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题).第卷 1至 2 页,第卷 3 至 4页,共 4 页.考生作答时,须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分 150 分.考试时间 120 分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第卷(选择题 共 50分) 注意事项: 必须使用 2b铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 一、选择题:本大题共 10小题,每小题 5分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(2013 四川

2、,理 1)设集合 a=x|x+2=0,集合 b=x|x2-4=0,则 ab=( ). a.-2 b.2 c.-2,2 d. 答案:a 解析:由题意可得,a=-2,b=-2,2, ab=-2.故选 a. 2.(2013 四川,理 2)如图,在复平面内,点 a 表示复数 z,则图中表示 z 的共轭复数的点是( ). a.a b.b 2 / 17 c.c d.d 答案:b 解析:复数 z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称. 3.(2013 四川,理 3)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( ). 答案:d 解析:由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体,故选

3、d. 4.(2013 四川,理 4)设 xz,集合 a是奇数集,集合 b是偶数集.若命题 p:xa,2xb,则( ). a.p:xa,2xb b.p:xa,2xb c.p:xa,2xb d.p:xa,2xb 答案:d 3 / 17 5.(2013 四川,理 5)函数 f(x)=2sin(x+) ( 0,-2 0,故再排除 b;当 x+时,3x-1 远远大于 x3的值且都为正,故x33x-10且大于 0,故排除 d,选 c. 8.(2013 四川,理 8)从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b,共可得到 lg a-lg b的不同值的个数是( ). a.9 b.1

4、0 c.18 d.20 答案:c 解析:记基本事件为(a,b),则基本事件空间=(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,1),(3,5),(3,7),(3,9),(5,1),(5,3),(5,7),(5,9),(7,1),(7,3),(7,5),(7,9),(9,1),(9,3),(9,5),(9,7)共有 20个基本事件,而 lg a-lg b=lgab,其中基本事件(1,3),(3,9)和(3,1),(9,3)使 lgab的值相等,则不同值的个数为 20-2=18(个),故选 c. 9.(2013 四川,理 9)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮

5、相互独立,且都在通电后的 4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2秒的概率是( ). a.14 b.12 c.34 d.78 答案:c 5 / 17 解析:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为 x,y,则由题意可得,0 x4,0y4;而所求事件“两串彩灯同时通电后,第一次闪亮相差不超过 2秒”=(x,y)|x-y|2,由图示得,该事件概率 p=s阴影s正方形=16-416=34. 10.(2013 四川,理 10)设函数 f(x)=x+ x-a(ar,e为自然对数的底数),若曲线 y=sin x上存在点(x0,y0)使

6、得 f(f(y0)=y0,则 a的取值范围是( ). a.1,e b.e-1-1,1 c.1,e+1 d.e-1-1,e+1 答案:a 解析:由题意可得,y0=sin x0-1,1, 而由 f(x)=x+ x-a可知 y00,1, 当 a=0时,f(x)=x+ x为增函数, y00,1时,f(y0)1, + 1. f(f(y0) + 11. 不存在 y00,1使 f(f(y0)=y0成立,故 b,d错; 当 a=e+1 时,f(x)=x+ x-1,当 y00,1时,只有 y0=1时 f(x)才有意义,而 f(1)=0, f(f(1)=f(0),显然无意义,故 c 错.故选 a. 第卷(非选择题

7、 共 100分) 注意事项: 必须使用 0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚,答在试题卷上无效. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5分,共 25分. 11.(2013 四川,理 11)二项式(x+y)5的展开式中,含 x2y3的项的系数是 .(用数字作答) 答案:10 解析:由二项式展开系数可得,x2y3的系数为53= 52=10. 6 / 17 12.(2013 四川,理 12)在平行四边形 abcd 中,对角线 ac与 bd交于点 o,ab + ad =ao ,则= . 答案:2 解析:如图

8、所示,在平行四边形 abcd 中,ab + ad = ac =2ao , =2. 13.(2013 四川,理 13)设 sin 2=-sin ,(2,),则 tan 2 的值是 . 答案:3 解析:sin 2=-sin , 2sin cos =-sin . 又(2,),cos =-12. sin =1-2 =32. sin 2=-32,cos 2=2cos2-1=-12. tan 2=22= 3. 14.(2013 四川,理 14)已知 f(x)是定义域为 r 的偶函数,当 x0 时,f(x)=x2-4x,那么,不等式 f(x+2)5的解集是 . 答案:(-7,3) 解析:当 x0 时,令 x

9、2-4x5,解得,0 x5. 又因为 f(x)为定义域为 r 的偶函数,则不等式 f(x+2)5 等价于-5x+25,即-7x3;故解集为(-7,3). 7 / 17 15.(2013 四川,理 15)设 p1,p2,pn为平面 内的 n个点,在平面 内的所有点中,若点 p 到点p1,p2,pn的距离之和最小,则称点 p 为点 p1,p2,pn的一个“中位点”,例如,线段 ab 上的任意点都是端点 a,b的中位点,现有下列命题: 若三个点 a,b,c共线,c在线段 ab上,则 c 是 a,b,c的中位点; 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点; 若四个点 a,b,c,d共线,则它

10、们的中位点存在且唯一; 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号) 答案: 解析:由“中位点”可知,若 c在线段 ab上,则线段 ab上任一点都为“中位点”,c也不例外,故正确; 对于假设在等腰 rtabc中,acb=90 ,如图所示,点 p为斜边 ab 中点,设腰长为 2,则|pa|+|pb|+|pc|=32|ab|=32,而若 c 为“中位点”,则|cb|+|ca|=4|ac|=|oa|+|oc|, 同理在mbd中,|mb|+|md|bd|=|ob|+|od|, 则得, |ma|+|mb|+|mc|+|md|oa|+|ob|+|oc|+|od

11、|, 故 o 为梯形内唯一中位点是正确的. 8 / 17 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(2013 四川,理 16)(本小题满分 12 分)在等差数列an中,a1+a3=8,且 a4为 a2和 a9的等比中项,求数列an的首项、公差及前 n 项和. 解:设该数列公差为 d,前 n项和为 sn. 由已知,可得 2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d). 所以,a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得 a1=4,d=0,或 a1=1,d=3,即数列an的首项为 4,公差为 0,或首项为 1,公差为 3. 所以,数

12、列的前 n 项和 sn=4n 或 sn=3n2-n2. 17.(2013 四川,理 17)(本小题满分 12 分)在abc中,角 a,b,c的对边分别为 a,b,c,且 2cos2a-b2cos b-sin(a-b)sin b+cos(a+c)=-35, (1)求 cos a的值; (2)若 a=42,b=5,求向量ba 在bc 方向上的投影. 解:(1)由 2cos2a-b2cos b-sin(a-b)sin b+cos(a+c)=-35,得cos(a-b)+1cos b-sin(a-b)sin b-cos b=-35, 即 cos(a-b)cos b-sin(a-b)sin b=-35.

13、则 cos(a-b+b)=-35,即 cos a=-35. (2)由 cos a=-35,0ab,则 ab,故 b=4. 根据余弦定理,有(42)2=52+c2-2 5c (-35),解得 c=1 或 c=-7(舍去). 9 / 17 故向量ba 在bc 方向上的投影为|ba |cos b=22. 18.(2013 四川,理 18)(本小题满分 12 分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x在 1,2,3,24这 24 个整数中等可能随机产生. (1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i的概率 pi(i=1,2,3); (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编

14、写程序重复运行 n次后,统计记录了输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分) 运行 次数 n 输出 y 的值 为 1的频数 输出 y 的值 为 2的频数 输出 y 的值 为 3的频数 30 14 6 10 2 100 1 027 376 697 乙的频数统计表(部分) 运行 次数 n 输出 y 的值 为 1的频数 输出 y 的值 为 2的频数 输出 y 的值 为 3的频数 30 12 11 7 2 100 1 051 696 353 10 / 17 当 n=2 100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为

15、 i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大; (3)将按程序框图正确编写的程序运行 3次,求输出 y的值为 2的次数 的分布列及数学期望. 解:(1)变量 x 是在 1,2,3,24 这 24个整数中随机产生的一个数,共有 24种可能. 当 x从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12个数中产生时,输出 y 的值为 1,故 p1=12; 当 x从 2,4,8,10,14,16,20,22这 8个数中产生时,输出 y的值为 2,故 p2=13; 当 x从 6,12,18,24这 4 个数中产生时,输出 y 的

16、值为 3,故 p3=16. 所以,输出 y 的值为 1的概率为12,输出 y 的值为 2的概率为13,输出 y 的值为 3的概率为16. (2)当 n=2 100时,甲、乙所编程序各自输出 y的值为 i(i=1,2,3)的频率如下: 输出 y 的值 为 1的频率 输出 y 的值 为 2的频率 输出 y 的值 为 3的频率 甲 1 0272 100 3762 100 6972 100 乙 1 0512 100 6962 100 3532 100 比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. (3)随机变量 可能的取值为 0,1,2,3. p(=0)=30 (13)0 (23)

17、3=827, p(=1)=31 (13)1 (23)2=49, p(=2)=32 (13)2 (23)1=29, p(=3)=33 (13)3 (23)0=127, 11 / 17 故 的分布列为 0 1 2 3 p 827 49 29 127 所以,e=0827+149+229+3127=1. 即 的数学期望为 1. 19.(2013 四川,理 19)(本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 abc-a1b1c1中,侧棱 aa1底面abc,ab=ac=2aa1,bac=120 ,d,d1分别是线段 bc,b1c1的中点,p是线段 ad的中点. (1)在平面 abc内,试作出过点 p 与平面 a

18、1bc 平行的直线 l,说明理由,并证明直线 l平面 add1a1; (2)设(1)中的直线 l交 ab于点 m,交 ac 于点 n,求二面角 a-a1m-n 的余弦值. 解:(1)如图,在平面 abc内,过点 p 作直线 lbc, 因为 l在平面 a1bc外,bc在平面 a1bc 内,由直线与平面平行的判定定理可知,l平面 a1bc. 由已知,ab=ac,d是 bc 的中点, 所以,bcad,则直线 lad. 因为 aa1平面 abc, 所以 aa1直线 l. 又因为 ad,aa1在平面 add1a1内,且 ad与 aa1相交, 所以直线 l平面 add1a1. (2)解法一: 12 / 1

19、7 连接 a1p,过 a作 aea1p于 e,过 e作 efa1m于 f,连接 af. 由(1)知,mn平面 aea1, 所以平面 aea1平面 a1mn. 所以 ae平面 a1mn,则 a1mae. 所以 a1m平面 aef,则 a1maf. 故afe为二面角 a-a1m-n的平面角(设为 ). 设 aa1=1,则由 ab=ac=2aa1,bac=120 ,有bad=60 ,ab=2,ad=1. 又 p为 ad的中点, 所以 m 为 ab中点,且 ap=12,am=1, 所以,在 rtaa1p 中,a1p=52;在 rta1am中,a1m=2. 从而 ae=aa1apa1p=15, af=a

20、a1ama1m=12. 所以 sin =aeaf=25. 所以 cos =1-2 =1-(25)2=155. 故二面角 a-a1m-n 的余弦值为155. 解法二: 13 / 17 设 a1a=1.如图,过 a1作 a1e平行于 b1c1,以 a1为坐标原点,分别以a1e ,a1d1 ,a1a 的方向为 x轴,y轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 oxyz(点 o 与点 a1重合). 则 a1(0,0,0),a(0,0,1). 因为 p为 ad的中点, 所以 m,n分别为 ab,ac的中点. 故 m(32,12,1),n(-32,12,1). 所以a1m = (32,12,1),a1a =

21、(0,0,1),nm =(3,0,0). 设平面 aa1m的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1), 则n1 1m ,n1 1a ,即n11m = 0,n11a = 0, 故有(x1,y1,z1)(32,12,1) = 0,(x1,y1,z1)(0,0,1) = 0, 从而32x1+12y1+ z1= 0,z1= 0. 取 x1=1,则 y1=-3, 所以 n1=(1,-3,0). 设平面 a1mn的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2), 则n2 1m ,n2 ,即n21m = 0,n2 = 0, 故有(x2,y2,z2)(32,12,1) = 0,(x2,y2,z2)(3,0,0) =

22、 0, 从而32x2+12y2+ z2= 0,3x2= 0. 取 y2=2,则 z2=-1,所以 n2=(0,2,-1). 设二面角 a-a1m-n 的平面角为 , 14 / 17 又 为锐角, 则 cos =|n1n2|n1|n2| =|(1,-3,0)(0,2,-1)25| =155. 故二面角 a-a1m-n 的余弦值为155. 20.(2013 四川,理 20)(本小题满分 13 分)已知椭圆 c:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点分别为 f1(-1,0),f2(1,0),且椭圆 c 经过点 p(43,13). (1)求椭圆 c 的离心率; (2)设过点 a(0,2)的直线 l

23、与椭圆 c 交于 m,n两点,点 q 是线段 mn 上的点,且2|aq|2=1|am|2+1|an|2,求点q的轨迹方程. 解:(1)由椭圆定义知, 2a=|pf1|+|pf2|=(43+ 1)2+ (13)2+(43-1)2+ (13)2=22, 所以 a=2. 又由已知,c=1. 所以椭圆 c的离心率 e=ca=12=22. (2)由(1)知,椭圆 c的方程为x22+y2=1. 设点 q的坐标为(x,y). (1)当直线 l与 x轴垂直时,直线 l与椭圆 c 交于(0,1),(0,-1)两点,此时点 q的坐标为(0,2-355). (2)当直线 l与 x轴不垂直时,设直线 l的方程为 y=

24、kx+2. 因为 m,n在直线 l上,可设点 m,n的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2), 15 / 17 则|am|2=(1+k2)x12,|an|2=(1+k2)x22. 又|aq|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2. 由2|aq|2=1|am|2+1|an|2,得 2(1+k2)x2=1(1+k2)x12+1(1+k2)x22, 即2x2=1x12+1x22=(x1+x2)2-2x1x2x12x22. 将 y=kx+2代入x22+y2=1中,得 (2k2+1)x2+8kx+6=0. 由 =(8k)2-4 (2k2+1) 60,得 k232. 由可知,x1+x2=-

25、8k2k2+1,x1x2=62k2+1, 代入中并化简,得 x2=1810k2-3. 因为点 q 在直线 y=kx+2上, 所以 k=y-2x,代入中并化简,得 10(y-2)2-3x2=18. 由及 k232,可知 0 x232,即 x(-62,0) (0,62). 又(0,2-355)满足 10(y-2)2-3x2=18, 故 x(-62,62). 由题意,q(x,y)在椭圆 c内, 所以-1y1. 16 / 17 又由 10(y-2)2=18+3x2有(y-2)295,94)且-1y1, 则 y(12,2-355. 所以,点 q 的轨迹方程为 10(y-2)2-3x2=18,其中 x(-62,62),y(12,2-355. 21.(2013 四川,理 21)(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=2+ 2x + a,x 0,其中 a是实数.设a(x1,f(x1),b(x2,f(x2)为该函数图象上的两点,且 x1x