2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(福建卷)文

1、1 / 16 福建数学试题福建数学试题(文史类文史类) 第卷(选择题 共 60分) 一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013 福建,文 1)复数 z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ). a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限 答案:c 解析:在复平面内,z=-1-2i对应点的坐标为(-1,-2),故选 c. 2.(2013 福建,文 2)设点 p(x,y),则“x=2 且 y=-1”是“点 p 在直线 l:x+y-1=0 上”的( ). a.充分而不必要条件 b.必要而

2、不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件 答案:a 解析:点(2,-1)在直线 l:x+y-1=0 上,而直线 l上的点的坐标不一定为(2,-1),故“x=2 且 y=-1”是“点 p在直线 l上”的充分而不必要条件. 3.(2013 福建,文 3)若集合 a=1,2,3,b=1,3,4,则 ab 的子集个数为( ). a.2 b.3 c.4 d.16 答案:c 解析:由题知 ab=1,3,故它的子集个数为 22=4. 4.(2013 福建,文 4)双曲线 x2-y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于( ). a.12 b.22 c.1 d.2 2 / 16 答案:b 解析:x2-

3、y2=1的渐近线方程为 y= x,顶点坐标为( 1,0),点( 1,0)到 y= x的距离为|1|2=12=22. 5.(2013 福建,文 5)函数 f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( ). 答案:a 解析:由 f(0)=0 可知函数图象经过原点. 又 f(-x)=f(x),所以函数图象关于 y 轴对称, 故选 a. 6.(2013 福建,文 6)若变量 x,y 满足约束条件 + 2, 1, 0,则 z=2x+y的最大值和最小值分别为( ). a.4 和 3 b.4和 2 c.3和 2 d.2 和 0 答案:b 解析:画出可行域如下图阴影部分所示. 画出直线 2x+y=0,并向可行域方

4、向移动,当直线经过点(1,0)时,z 取最小值.当直线经过点(2,0)时,z取最大值. 故 zmax=2 2+0=4,zmin=2 1+0=2. 7.(2013 福建,文 7)若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( ). a.0,2 b.-2,0 3 / 16 c.-2,+) d.(-,-2 答案:d 解析:2x+2y=122+, (12)22x+y,即 2x+y2-2. x+y-2. 8.(2013 福建,文 8)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.如果输入某个正整数 n后,输出的s(10,20),那么 n的值为( ). a.3 b.4 c.5 d.6 答案:b 解析:若 n=3

5、,则输出 s=7;若 n=4,则输出 s=15,符合题意.故选 b. 9.(2013 福建,文 9)将函数 f(x)=sin(2x+)(-2 0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若 f(x),g(x)的图象都经过点 p(0,32),则 的值可以是( ). a.53 b.56 c.2 d.6 答案:b 解析:f(x)的图象经过点(0,32), 4 / 16 sin =32. 又(-2,2),=3. f(x)=sin(2 +3). 由题知 g(x)=f(x-)=sin2(-) +3, 又图象经过点(0,32), g(0)=sin(-2 +3) =32. 当 =56时满足 g(0)=32,故选

6、b. 10.(2013 福建,文 10)在四边形 abcd中, =(1,2), =(-4,2),则该四边形的面积为( ). a.5 b.25 c.5 d.10 答案:c 解析: =-41+22=0, . s四边形abcd=12| | |=12 1 + 22(-4)2+ 22=5. 11.(2013 福建,文 11)已知 x与 y之间的几组数据如下表: x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为= x+.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为 y=bx+a,则以下结论正确的是( ). 5 / 16 a.b,a b.

7、b,a c.a d.b,a=-2. 12.(2013 福建,文 12)设函数 f(x)的定义域为 r,x0(x00)是 f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( ). a.xr,f(x)f(x0) b.-x0是 f(-x)的极小值点 c.-x0是-f(x)的极小值点 d.-x0是-f(-x)的极小值点 答案:d 解析:由函数极大值的概念知 a 错误;因为函数 f(x)的图象与 f(-x)的图象关于 y 轴对称,所以-x0是 f(-x)的极大值点.b 选项错误;因为 f(x)的图象与-f(x)的图象关于 x 轴对称,所以 x0是-f(x)的极小值点.故 c选项错误;因为 f(x)的图象与-f(

8、-x)的图象关于原点成中心对称,所以-x0是-f(-x)的极小值点.故 d正确. 第卷(非选择题 共 90分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4分,共 16分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.(2013 福建,文 13)已知函数 f(x)=23,x 0,-x,0 x 2,则 f(f(4)= . 6 / 16 答案:-2 解析:f(4)=-tan4=-1,f(f(4)=f(-1)=2(-1)3=-2. 14.(2013 福建,文 14)利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a,则事件“3a-10”发生的概率为 . 答案:13 解析:由 3a-10,得 a13. 0a1,0ab0)

9、的左、右焦点分别为 f1,f2,焦距为 2c.若直线 y=3(x+c)与椭圆 的一个交点 m 满足mf1f2=2mf2f1,则该椭圆的离心率等于 . 答案:3-1 解析:由 y=3(x+c)知直线的倾斜角为 60 , mf1f2=60 ,mf2f1=30 . f1mf2=90 . mf1=c,mf2=3c. 又 mf1+mf2=2a, c+3c=2a,即 e=23+1= 3-1. 16.(2013 福建,文 16)设 s,t是 r 的两个非空子集,如果存在一个从 s到 t 的函数 y=f(x)满足: ()t=f(x)|xs;()对任意 x1,x2s,当 x1x2时,恒有 f(x1)f(x2),

10、 那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下 3对集合: a=n,b=n*; 7 / 16 a=x|-1x3,b=x|-8x10; a=x|0 x1,b=r. 其中,“保序同构”的集合对的序号是 .(写出所有“保序同构”的集合对的序号) 答案: 解析:若 y=x+1是从 a到 b 的一个函数,且 xa,则满足()b=f(x)|xa.又 f(x)=x+1 是单调递增的,所以也满足(); 若 f(x)=92x-72时,满足()b=f(x)|xa,又 f(x)=92x-72是单调递增的,所以也满足(); 若 y=tan(x-12)(0 xa1a9,求 a1的取值范围. 解:(1)因为数列an的公差 d

11、=1,且 1,a1,a3成等比数列, 所以a12=1 (a1+2),即a12-a1-2=0,解得 a1=-1 或 a1=2. (2)因为数列an的公差 d=1,且 s5a1a9, 所以 5a1+10a12+8a1,即a12+3a1-100,解得-5a12. 18.(2013 福建,文 18)(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 p-abcd中,pd平面abcd,abdc,abad,bc=5,dc=3,ad=4,pad=60 . 8 / 16 (1)当正视方向与向量ad 的方向相同时,画出四棱锥 p-abcd的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程); (2)若 m为 pa的中点,求证:dm平面

12、 pbc; (3)求三棱锥 d-pbc 的体积. 解法一:(1)在梯形 abcd中,过点 c作 ceab,垂足为 e, 由已知得,四边形 adce 为矩形,ae=cd=3, 在 rtbec 中,由 bc=5,ce=4,依勾股定理得 be=3, 从而 ab=6. 又由 pd平面 abcd 得,pdad, 从而在 rtpda中,由 ad=4,pad=60 ,得 pd=43. 正视图如图所示: 正视图 (2)取 pb中点 n,连结 mn,cn. 在pab中,m是 pa 中点, 9 / 16 mnab,mn=12ab=3. 又 cdab,cd=3, mncd,mn=cd. 四边形 mncd 为平行四边

13、形. dmcn. 又 dm平面 pbc,cn平面 pbc, dm平面 pbc. (3)vd-pbc=vp-dbc=13sdbcpd, 又 sdbc=6,pd=43,所以 vd-pbc=83. 解法二:(1)同解法一. (2)取 ab的中点 e,连结 me,de. 在梯形 abcd 中,becd,且 be=cd, 四边形 bcde为平行四边形. debc. 又 de平面 pbc,bc平面 pbc, de平面 pbc. 又在pab 中,mepb,me平面 pbc,pb平面 pbc, me平面 pbc. 又 deme=e,平面 dme平面 pbc. 又 dm平面 dme,dm平面 pbc. 10 /

14、 16 (3)同解法一. 19.(2013 福建,文 19)(本小题满分 12 分)某工厂有 25周岁以上(含 25周岁)工人 300名,25 周岁以下工人 200 名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25周岁)”和“25 周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成 5组:50,60),60,70),70,80),80,90),90,100分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图. 25 周岁以上组 25 周岁以下组 (1)从样本中日平均生产件数不足 6

15、0 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率; (2)规定日平均生产件数不少于 80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 2 2 列联表,并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”? 附:2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2 p(2k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 11 / 16 (注:此公式也可以写成k2=n(ad-bc)2(a+ b)(c + d)(a+ c)(b+ d) 解:(1)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60名,2

16、5周岁以下组工人 40 名. 所以,样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25周岁以上组工人有 60 0.05=3(人),记为a1,a2,a3;25 周岁以下组工人有 40 0.05=2(人),记为 b1,b2. 从中随机抽取 2 名工人,所有的可能结果共有 10种,它们是:(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2). 其中,至少有 1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有 7种,它们是:(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3

17、,b2),(b1,b2).故所求的概率 p=710. (2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100名工人中,“25 周岁以上组”中的生产能手60 0.25=15(人),“25 周岁以下组”中的生产能手 40 0.375=15(人),据此可得 2 2 列联表如下: 生产能手 非生产能手 合计 25 周岁以上组 15 45 60 25 周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100 所以得 k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(1525-1545)260403070=25141.79. 因为 1.79 0,y1y2=y022+ 1. 由|af|2=|am

18、|an|,得|y1y2|=4, 所以y022+1=4,解得 y0= 6,此时 0. 所以圆心 c的坐标为(32,6)或(32,-6). 从而|co|2=334,|co|=332,即圆 c的半径为332. 21.(2013 福建,文 21)(本小题满分 12 分)如图,在等腰直角opq 中,poq=90 ,op=22,点 m在线段pq 上. 13 / 16 (1)若 om=5,求 pm 的长; (2)若点 n在线段 mq上,且mon=30 ,问:当pom取何值时,omn 的面积最小?并求出面积的最小值. 解:(1)在omp 中,opm=45 ,om=5,op=22, 由余弦定理得,om2=op2

19、+mp2-2 op mp cos 45 ,得 mp2-4mp+3=0,解得 mp=1或 mp=3. (2)设pom=,0 60 , 在omp 中,由正弦定理,得 omopm=opomp, 所以 om=op45(45+). 同理 on=op45(75+). 故 somn=12 om on sinmon =14o2245(45+)(75+) =1(45+)(45+30) =1(45+)32(45+)+12(45+) =1322(45+)+12(45+)(45+) =1341-(90+2)+14(90+2) =134+342+142 =134+12(2+30). 14 / 16 因为 0 60 ,3

20、0 2+30 150 , 所以当 =30 时,sin(2+30 )的最大值为 1,此时omn的面积取到最小值,即pom=30时,omn的面积的最小值为 8-43. 22.(2013 福建,文 22)(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=x-1+ax(ar,e 为自然对数的底数). (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于 x轴,求 a的值; (2)求函数 f(x)的极值; (3)当 a=1时,若直线 l:y=kx-1 与曲线 y=f(x)没有公共点,求 k的最大值. 解法一:(1)由 f(x)=x-1+ax,得 f(x)=1-ax, 又曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于 x轴,得 f(1)=0,即 1-a=0,解得 a=e. (2)f(x)=1-ax, 当 a0时,f(x)0,f(x)为(-,+)上的增函数,所以函数 f(x)无极值. 当 a0 时,令 f(x)=0,得 ex=a,x=ln a. x(-,ln a),f(x)0, 所以 f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增, 故 f(x)在 x=ln a 处取得极小值,且极小值为 f(