边缘分布与独立性

1、.FY(y)F (+, y) PYy 称为二维随机变量称为二维随机变量(X, Y)关于关于Y的边缘分布函数的边缘分布函数. )y,x(Flimy )y,x(Flimx 2.4.二维随机变量的独立性二维随机变量的独立性FX(x)F (x, +) PXx称为二维随机变量称为二维随机变量(X, Y)关于关于X的边缘分布函数；的边缘分布函数； 边缘分布实际上是二维随机变量的某个边缘分布实际上是二维随机变量的某个低维低维分量的分布分量的分布。1、边缘分布函数、边缘分布函数(marginal distribution function).例例1.已知已知(X,Y)的分布函数为的分布函数为 其它00101)

2、,(xyyeeyxxeeyxFyyyx求求FX(x)与与FY(y)。.2、边缘分布律、边缘分布律若随机变量若随机变量X与与Y的联合分布律为的联合分布律为 (p80) (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，i, j1, 2, 则称则称 PXxipi. ，i1, 2, 为为(X, Y)关于关于X的的边缘分布律边缘分布律； 1ijjp1ijipPY yjp.j ，j1, 2, 为为(X, Y)关于关于Y的边缘分布律。的边缘分布律。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。边缘分布律自然也满足分布律的性质。.例例2 2. .已知已知(X,Y)(X,Y)的分布律如下的分布律如下, ,求求X X、Y

3、Y的边缘分布律。的边缘分布律。XY10 11/10 3/100 3/10 3/10解：解：XY 1 0 pX=xi.11/10 3/1003/10 3/10 pY=yi故关于故关于X和和Y的分布律分别为：的分布律分别为： X10Y10 P 2/53/5P2/53/52/53/52/53/5.3、二维连续型随机变量的边缘密度函数、二维连续型随机变量的边缘密度函数为为(X, Y)关于关于Y的的边缘密度函数边缘密度函数。 dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(设设(X, Y)f (x, y), (x, y) R2, 则称则称 为为(X, Y)关于关于X的的边缘密度函数边缘密度函数； 同

4、理，称同理，称.设设(X,Y)(X,Y)服从如图区域服从如图区域上的上的均匀分布，均匀分布， 求关于求关于X X的和关于的和关于Y Y的边缘概率的边缘概率密度密度22( , )|4Gx yxy例3. 性质性质 若若 ).,(),(222121NYX 证明证明 令令 则则).,(),(222211NYNX则,2211yvxu2221(2)2(1)211( )( , )21uuv vXfxf x y dyedvdveeuvu)1(2)(221222)1 (2121dteetu22122212121221ue21212)(121xe即为正态分布的密度函数，所以即为正态分布的密度函数，所以同理可证：同

5、理可证： ),(211NX).,(222NY.EX .EX .设设(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为othersxyxcyxf0),(2（1 1）求常数）求常数c;(2)c;(2)求关于求关于X X的边缘概率密度的边缘概率密度解解:(1)由归一性由归一性 1021xxcdydx6 c dyyxfxfX),()()2(100 xorx10)(6622 xxxdyxx.4、随机变量的相互独立性、随机变量的相互独立性定义定义 称随机变量称随机变量X X与与Y Y独立独立，如果对任意实数，如果对任意实数ab,cdab,cd，有，有PaXPaX b,cYb,cY d=PaXd=PaX bPcY

6、bPcY d d 即即事件事件aXaX bb与事件与事件cYcY dd独立，则称随机变独立，则称随机变量量X X与与Y Y独立。独立。定理定理：随机变量：随机变量X X与与Y Y独立的充分必要条件独立的充分必要条件是是F(x,y)=FX(x)FY(y) 或或f(x,y)=f(x)f(y).例例4.已知随机变量已知随机变量(X,Y)的分布律为的分布律为且知且知X与与Y独立，求独立，求a、b的值。的值。解解:由归一性由归一性0.150.151ab0.7ab由独立性由独立性0.15(0.15) 0.3a0.35,0.35ab.8 , 0,01( , )0,xyx yyf xy 其 他讨论X ,Y 是

7、否独立？例例5 5 已知 ( X, Y ) 的联合 d.f.为.由图知边缘 d.f. 为其他, 0, 10),1 (4)(2xxxxfX其他, 0, 10,4)(3yyyfY显然，)()(),(2yfxfyxfYX故 X ,Y 不独立11.设设(X,Y)(X,Y)服从如图区域服从如图区域D D上上的均匀分布，的均匀分布，求关于求关于X X的和关于的和关于Y Y的边缘的边缘概率密度概率密度x=yx=-y othersxdyxdyxfxxX01001)(11 othersydxyfyyY010)(.设设(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为(1)(1)求常数求常数c.(2)c.(2)求关于求

8、关于X X的和关于的和关于Y Y的边缘概率密度的边缘概率密度. .01,0( , )0cyxyxf x yothers20166301( )066 (1)01( )0 xXYycydyxxfxothersydxyyyfyothers答：.876. 6 脚印长度身高算出罪犯的身高. 这个公式是 公安人员根据收集到的罪犯脚印，通过公式 由脚印估计罪犯身高 如何推导出来的?.显然，两者之间是有统计关系的，故X设一个人身高为 ,脚印长度为 .Y 由于影响人类身高与脚印的随机因素是大量的、相互独立的，且各因素的影响又是微小的,可以叠加的. 故),(YX应作为二维随机变量 来研究. 由中心极限定理知 可以近似看),(YX. );,(222211uuN成服从二维正态分布.;,;,222211uu其中参数 因区域、民族、生活习惯的不同而有所变化 ，但它们都能通过统计方法而获得.密度为现已知罪犯的脚印长度为 , 要y估计其身高就需计算条件期望 , 条件)(),()|(|yfyxfyxfYYX. 的密度函数, 因此 )1 (