高等数学课件：2-3变量的极限

1、首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 23 变量的极限 有关规定 我们把数列f(n)及函数f(x)概括为 “变量y” 把n x xx0概括为 “某个变化过程中” 那么 综合数列极限与函数极限的概念 可以概括出一般变量极限的定义 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 定义26(变量的极限) 对于任意给定的正数 在变量y的变化过程中 总有那么一个时刻 在那个时刻以后 |yA|恒成立 则称变量y在此变化过程中以A为极限 记作lim yA 说明 (1)如果变量y是数列ynf(n) 则定义中的“变化过程”是指“n” “总存在那么一个时刻” 是指 “总存在一个正整数N ” “在那个

2、时刻以后”是指 “当nN时” 而 “lim yA” 应为 “Aynnlim” 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 定义26(变量的极限) 对于任意给定的正数 在变量y的变化过程中 总有那么一个时刻 在那个时刻以后 |yA|恒成立 则称变量y在此变化过程中以A为极限 记作lim yA说明 (2)如果变量y是定义于实数集合的函数yf(x) 而研究的变化过程是x 则定义中 “总存在那么一个时刻” 是指 “总存在一个正数M” “在那个时刻以后” 是指 “当|x|M时” 而 “lim yA” 应为 “Axfx)(lim” 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 定义26(变量的极

3、限) 对于任意给定的正数 在变量y的变化过程中 总有那么一个时刻 在那个时刻以后 |yA|恒成立 则称变量y在此变化过程中以A为极限 记作lim yA说明 (3)如果变量y是定义于实数集合的函数yf(x) 而研究的变化过程是xx0 则定义中 “总存在那么一个时刻” 是指 “总存在一个正数 ” “在那个时刻以后” 是指 “当0|xx0|时” 而 “lim yA”应为 “Axfxx)(lim0” 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 这里的极限定义和记号概括了两种变量f(n)和f(x) 在三种变化过程中(即f(n)在n时及f(x)在x或xx0)的极限问题 今后 凡对两种变量、三种过程均

4、适用的定义、推论或规律性结论才能使用通用记号 “lim yA” 如果变量y已给出为具体函数 则不能使用通用记号 定义26(变量的极限) 对于任意给定的正数 在变量y的变化过程中 总有那么一个时刻 在那个时刻以后 |yA|恒成立 则称变量y在此变化过程中以A为极限 记作lim yA说明 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 例 证明lim cc(c为常数) 证 设yc所以lim cc 对任意给定的 0 恒有|yc|cc|0 结论 “limcc” 表示 对数列 f(n)c 有ccnfnnlim)(lim 对函数 f(x)c 有ccxfxxlim)(lim 及ccxfxxxx00lim)(lim 定义27(有界变量) 变量y在某一变化过程中 如果存在正数M 使变量y在某一时刻之后 恒有|y|M 则称y在那时刻之后为有界变量 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 定理24 如果在某一变化过程中 变量y有极限 则变量y是有界变量 设lim yA 则对1 总有那么一个时刻 在那个时刻以后 恒有|yA|1 因为 |y|A(yA)|A|yA|A|1 取M|A|1 则在那个时刻以后 恒有|y|M 所以变量y在那个时刻之后是有界变量 证 定理说明定理说明:有极限的变量必为有界