基于MATLAB的谐波分析FFT

1、目录（1）Matlab6.5以上版本软件；1绪论11 公式分析及计算21.1傅里叶变换的原理21.2傅里叶变换的证明31.3 周期信号的分解.31.4 方波的分解.52 建模与仿真72.1建模72.2仿真83 仿真结果分析104 小结11参考文献131武汉理工大学基础技能强化训练课程设计说明书绪论方波是一种非正弦曲线的波形，通常会于电子和讯号处理时出现。由于一般电子零件只有“高(1)”和“低(0)”两个值，方波就自然产生，所以理想方波只有“高”和“低”这两个值。电流的波形为矩形的电流即为方波电流。不论时间轴上下是不是对称的，只要是矩形就可叫方波，必要时，可加“对称”，“不对称”加以说明。而在现

2、实世界，方波只有有限的带宽。因为方波可以快速从一个值转至另一个(即01或10)，所以方波就用作时钟讯号来准确地触发同步电路。但是如果用频率定义域来表示方波，就会出然一连串的谐波。所以方波可用相应频率的基波及其奇次谐波合成。在电路信号系统的分析中，随着电路规模的加大，微分方程的阶数以及联立后所得的方程的个数也随之加大，加上电器元件的多样化，这些都给解题运算分析电路系统带来了一定的困难。传统的计算机编程语言，如FORTRAN、C语言等，虽然都可以帮助计算，但在处理高阶微分方程和大规模的联立方程组的问题时大量的时间和精力都花在矩阵处理和图形的生成分析等繁琐易错的细节上。而MATLAB凭借其强大的矩阵

3、运算能力、简便的绘图功能、可视化的仿真环境以及丰富的算法工具箱，已成为科研和工程技术人员的有力开发工具。利用MATLAB不仅可以简单快速的求解电路方程，同时，MAYLAB提供的Simulink工具还可以直接建立电路模型，随意改变模型的参数，并且还可以快速得到仿真拟结果，进一步省去了编程的步骤。MATLAB具有数值计算功能；图形处理及可视化功能；可视化建模及动态仿真功能等等。它给用户带来的是最直观，最简洁的程序开发环境。它的语言简洁紧凑，使用方便灵活，程序书写形式自由，利用起丰富的库函数避开繁杂的子程序编程任务，压缩了一切不必要的编程工作。同时，它的运算符也很丰富。由于MATLAB是用C语言编写

4、的，MATLAB提供了和C语言几乎一样多的运算符，灵活使用MATLAB的运算符将使程序变得极为简短。它的程序的可移植性，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行。本文应用MATLAB来验证定理：方波可用相应频率的基波及其奇次谐波合成。1 公式分析及计算1.1傅里叶变换的原理任何具有性质周期为T的波函数都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即： （1）其中：t为时间，为角频率。=（T为周期），第一项为直流分量。图1 方波所谓周期性函数的傅里叶变换（Fourier transform）就是将周期性函数张凯成直流分量，基波和所有n次谐波的叠加。图1所示的方波可以写成函数形式： h (0

5、t) -h (-t0)在这里，h为常数2。很明显，此方波为奇函数，并且它没有常数项，同时，它是一个周期为T的函数，所以我们可以用傅里叶级数来表示这个函数。 （2）我们把它展开，可以得到： （3）1.2傅里叶变换的证明下面，我们要从数学角度来证明为什么公式（3）能成立。由于这是一个奇函数,常数项可以用积分函数计算出来：所以其常数项不存在，即=0，下面开始计算与: 由上式可知，当n=2，4，6，时，；当n=1，3，5，时，。然后我们将与都带入公式（1），就可以得到公式（3）： 如果我们取的项越多，就会越逼近原本的方波函数。1.3 周期信号的分解周期信号是定义在（-， ）区间，每隔一定的时间T，按相

6、同规律重复变化的信号，它可表示为f(t)=f(t+mT)式中m为任意整数。时间T称为该信号的重复周期，简称为周期。需要指出的是，只有当周期信号满足狄里赫利条件时，才能展开为傅里叶级数。狄里赫利条件是：1）函数在任意有限区间内连续，或只有有限个第一类间断点（当t从左或右趋于这个间断点时，函数有有限的左极限和右极限）2）在一周期内，函数有有限个极大值或极小值。设有周期信号f(t),它的周期是T，角频率=2F=，它可分解为 (2-1)上式中系数a,b称为傅里叶系数。为简便，式积分区间（t, t+T）取为（-，）或（0，T）。考虑到正、余弦函数的正交条件，可得傅里叶系数a=(t)cos(nt)dt,

7、n=0,1,2, (2-2)b=(t)sin(nt)dt, n=0,1,2, (2-3)式中T为函数f(t)的周期，=为角频率，由上述两式，傅里叶系数a和b都是n的函数，其中a是n的偶函数，即a= a；而b是n的奇函数，既有b=- b将式（2-1）中同频率项合并，可写成如下形式f(t)= (2-4)式中 A=，n=1,2,=-arctan()如将式（2-4）的形式化为（2-1）的形式，他们系数之间的关系为aa,n=1,2,b,式（2-4）表明，任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和许多余弦（或正弦）分量。其中第一项是常数项，它是周期信号中所包涵的直流分量；式中第二项A称为基波或一次谐波，

8、它的角频率与原周期信号相同，A是基波振幅，是基波初相角；式中第三项A称为二次谐波，它的频率是基波频率的两倍，A是二次谐波振幅，是其初相角。以此类推，还有三次、四次、谐波。一般而言，A称为n次谐波，A是n次谐波的振幅，是其初相角。式（2-4）表明，周期函数可以分解为各谐波分量。1.4 方波的分解设方波信号f(t)的周期为T，宽度为，将其展开为傅里叶级数由式（2-2）和（2-3）可得=+考虑到，可得 将它们代入到式（2-1），得到信号的傅里叶级数展开式为，n=1，3，5，它只含一、三、五奇次谐波分量。下图中画出了一个周期的方波组成情况，由图可见，当它包含的谐波分量愈多时，波形就愈接近原来的方波信号

9、（图中虚线所示），其均方误差愈小，还可以看出，频率较低的谐波，其振幅较大，他们组成方波的主体，而频率较高的高次谐波振幅较小，它们主要影响波形的细节，波形中所包含的高次谐波愈多，波形的边缘愈陡峭。（a）基波 （b）基波“+”三次谐波（c）基波+三次谐波+五次谐波 （d）基波+三次谐波+五次谐波+七次谐波由图中还可以看出，合成波形所包含的谐波，除间断点附近外，它愈接近于原方波信号。在间断点附近，随着所含谐波次数的增高，合成波形的尖峰愈靠近间断点，但尖峰幅度并未明显减小。可以证明，即使合成波形所含谐波次数n时，在间断点处仍有约9%的偏差，这种现象称为吉布斯现象。在傅里叶级数的项数取得很大时，间断点处

10、尖峰下的面积非常小以致趋近于零，因而在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。2 建模与仿真2.1建模 上文中，我们证明了一个以原点为奇对称中心的方波可以用奇次正弦波的叠加来逼近。可以简化为： （4）如果我们能验证是方波，那么我们可以得出也是方波，只是的方波的幅值是幅值的倍。已知方波的宽度为，周期为，我们可以用MATLAB程序来检验这种逼近的程度与特征。程序如下：t = 0:.01:2*pi; % 设定一个时间数组, 有101 个点y = sin(t);plot(t,y),figure(gcf),pause % 频率为w=1(f=1/2)的正弦基波y = sin(t) + sin(3*

11、t)/3; plot(t,y), pause % 叠加三次谐波y = sin(t) + sin(3*t)/3 + sin(5*t)/5 + sin(7*t)/7 + sin(9*t)/9;plot(t,y) % 用1, 3, 5, 7, 9 次谐波叠加% 为了绘制三维曲面, 要把各次波形数据存为一个三维数组, 因此必须重新定义y, 重编程。y = zeros(10,max(size(t); x = zeros(size(t);for k=1:2:19x = x + sin(k*t)/k; y(k+1)/2,: ) = x;endpause, figure(1),plot(t,y(1:9,: )

12、,grid % 将各波形迭合绘出 line(0,pi+0.5,pi/4,pi/4) % 加上方波幅度线及标注text(pi+0.5,pi/4,' pi/4' )halft=ceil(length(t)/2);pause, figure(2), mesh(t(1:halft),1:10,y(:,1:halft), % 只用正半周波形pause,clc2.2仿真仿真结果如图2至图6所示，其中所有的横坐标为时间t，纵坐标为幅值y：图2 频率为的正弦基波图3 叠加三次谐波 图4 用1, 3, 5, 7, 9 次谐波叠加图5 谐波合成的二维曲线图6 谐波合成的三维曲面从图6可以看出，所取

13、的阶次越高，合成结果就越接近与方波。至于总是消除不了边缘上的尖峰，这个就是吉布斯效应。3 仿真结果分析根据周期信号的傅里叶展开式可知，任何方波周期性信号，只要满足公式（1）条件，都可以分解为一个直流分量和由基波及奇次谐波分量的叠加。 通过数学工具MATLAB中编程可得，在正弦波（图2）的基础上实现三次谐波的叠加出现波形如图3所示。依次对正弦波信号进行奇次谐波叠加过程（图4），最终结果我们看到了图5中的图像，波形稳定在了的周期性方波。图六为图五的的三维图像分布图。通过图像的特性我们证明了：当奇次谐波的次数越高时，方波可由正弦波形产生谐波构成。同理可知，一定条件下，周期性方波信号可由相应频率的基波

14、和奇次谐波合成。4 小结通过这次基础强化训练让我认识了MATLAB这个有着强大功能的软件。经过这一段时间的学习，我对MATLAB有了较为系统的了解。它的应用领域相当广泛：微积分、矩阵代数、应用数学、物理、力学、信号与系统、电子线路、电机学、机械振动、自动控制和通信技术等。它只需几笔简单的程序，就可以完成繁琐的计算。它的扩展性强，在学好其基础部分之后，还有几十种工具箱可以用于各类科研需要，这可以缩短学习和实践工作的距离。 拿到老师给的题目后，我针对题目进行了分析。方波可用相应频率的基波及其奇次谐波合成，并用MATLAB实现仿真。仔细思考了课题，发现相应频率的基波及其奇次谐波的合成，就是傅里叶的展

15、开式。显然，这要求我要深入研究傅里叶级数展开分析的理论知识，利用MATLAB强大的图形处理功能，符号运算功能以及数值计算功能，实现相应频率的基波及其奇次谐波合成方波。在这次训练中，我用MATLAB实现方波信号的傅里叶级数分解与综合，绘出包含不同谐波次数的合成波形，观察合成波形与原矩形波形之间的关系及吉布斯现象，证明课题的正确性。 于是我使用MATLAB，输入相关的程序，并且运行它，检查它的正确性，并且修正。在程序的调试过程中遇到很多的问题。有的程序我根本就不知道它错在哪里，也不知道怎么去改正。只有不断的翻书，不断的修改程序，不断的调试。终于绘制出了所需要的图像。 在写相关源程序的时候，我还收索

16、了大量的网站，在网上收索了很多关于MATLAB的资料。在这个过程中我发现网上有很多有用的知识。以后应该多注意，充分合理的利用网络，通过网络来学习东西。 这次基础强化训练使我明白了在知识的领域里我还有很多很多的不足，并且再一次的深深的体会到理论和实践之间还有很到的差别。在以后的学习中应该多多的注意实践知识的训练和积累。在以后的学习生活中要不断的开拓自己的动手能力，不断的训练自己的动手能力。 这次基础强化训练让我学习了了数字信号系统处理里的相关知识，也复习了高数中的相关知识，并且我还对mathtype数学公式编辑器有了一定的了解，并且会用它编辑公式。21世纪人类的知识正以指数规律飞速增长，我们已经

17、借助计算机辅助设计和制造，设计业和制造业已经大大的提高了效率，创造了空前的财富。但是在我们的教和学的过程中，我们还在做繁琐重复的计算这种机械劳动，如何从其中解放出来？就成了提高学习效率的关键环节。现在我们虽然在大学中学习计算机课程，也只是为了以后的就业需要，很少对学生在学校学习有直接帮助。目前我们还处在“计算器水平”。 正因为这样，我们没有足够时间用于概念的思考，知识的扩充和思维的创新。就像学习信号与系统一样，傅里叶变换，拉普拉斯变换等，都是很复杂的计算，而且做出的答案只是一个单纯的函数式。根本不知道有什么用，而有了MATLAB，我们既可以很快做出答案，并且可以得到它的图像，一举两得，既形象又具体。使枯燥无味的计算变得生动有趣，而且便于理解。在以后的学习中，我还会继续学习、使用MATLAB，它使计算机真正成为教学有力的工具。参考文献1 刘泉，阙大顺，郭志强.数字信号处理原理与实现.北京：电子工业出版社，20092 刘泉，江雪梅.信号与系统.北京：高等教育出版社，20063 施阳，李俊. MATLAB语言工具箱-ToolBox实用指南.西安：西北工业大学出版社，19994 贺兴华，王继阳，周晖.MATLAB7.X图像处理.北京：人民邮电出版社，20065 梁虹. 信号与系统分析及MATLAB实现.北京：电子工业出版社，2002年6