广东省2020年高考理科数学模拟试题及答案

1、广东省 2020 年高考理科数学模拟试题及答案（满分 150 分，考试时间 120 分钟）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）B = x | ( x - 1)(x - 3) < 0 ，则 (   A)B = （

2、60; ）1.已知全集 U = R ，集合 A = x | 2x > 4 ,A. (1,2)B. (1,2 UC. (1,3)               D. (-¥, 22. 已知复数 z = (a&

3、#160;+ i)(1- i) （ i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线 y = 2 x 上，则实数 a 的值为（）A. 0B. -1C. 1D. - 133DABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，若 c =2，b = 6

4、， B = 60° ,则 C 等于（）A 30°B 60°C150°D 30° 或150°4.执行如图所示的程序框图，如果输入 N=4，则输出 p 为（）A. 6B. 24C. 120D. 7205. 已知等差数列的前 项和为 ，且，则（ ）A.B.C.D.6. 已知直线和抛物线 C：  

5、   ，P 为 C 上的一点，且 P 到直线 l 的距离与 P 到 C的焦点距离相等，那么这样的点 P 有（）A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 无数个7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为1A.C.B.D.8. 从 2 个不同的红球，2 个不同的黄球，2&

6、#160;个不同的蓝球中任取两个，放入颜色分别为红、黄、蓝的三个袋子中，每个袋子中至多放入 1 个球，且球的颜色与袋子的颜色不同，那么不同的放法有（）A46 种B36 种C72 种D42 种9. 已知双曲线 C :x2  y 2-a2 b2= 1 （ a > 0,b > 0 ）的左焦点为 F ，第二象限的点 M 在双曲线bC 

7、的渐近线上，且 | OM | = a ，若直线 MF 的斜率为，则双曲线的渐近线方程为()aA y = ± xB y = ±2xC y = ±3xD y = ±4x10.已知数列的通项公式是，其前 项和，则项数A. 13B. 10C. 9D. 611.已知 f (x )

8、是定义域为 R 的偶函数,且在(0,+)单调递增,设 m =  f ç log()÷ , n =  f   7 -0.1   ,æè21 ö3 ø2ûúA. ê, e ÷      

9、0;       B. ê,1÷ç e - 1,p = f (log 25) ,则 m, n, p 的大小关系为()4A. m > p > nB. p > n > mC. p > m >

10、0;nD. n > p > m12.已知函数 f (x ) = e x - ax - 1在区间(-1,1)内存在极值点 ,且 f (x ) < 0 恰好有唯一整数解 ,则 a的取值范围是(其中 e 为自然对数的底数, e = 2.71828)é e2 -

11、0;1öé e2 - 1 öæe2 - 1ùë 2e2øë 2e2øè2C. ê    ,   ÷é e2 - 1 e - 1 öë 2e2e ø(e - 1,e

12、0;)            D. (e - 1, e)13.   1 + x - 2 x2( ) 展开式中的 x 6 的系数为_二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）514. 若向量 a =&#

13、160;(2, x), b = (-2,1) 不共线，且 (a + b)  (a - b) ，则 a × b = _15. 设等比数列的前 项和是 ，若，则    _16. 已知点，抛物线的焦点为 ，连接，与抛物线 相交于点 ，延长  ，与抛物线 的准线相交于点

14、0;，若，则实数 的值为_三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。）（一）必考题（共 60 分）17. （本题满分 12 分）的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，已知（1）求角 ；，     ，     

15、;.（2）若点 满足，求  的长.18. （本题满分 12 分）如图，在三棱锥中，底面，为的中点（1）求证：（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积.19. （本题满分 12 分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过   的包裹，除收费元之外，超过的部分，每超出（不足过的包裹中，随机抽取件，其重量统计如下：时按计算）需再收 元公司从承揽3公司又随机抽取了天的揽件数，得到频数分布表如下：以记录的天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率（1）计算

16、该公司 天中恰有 天揽件数在的概率；（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员 人，每人每天揽件不超过件，每人每天工资元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减 人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）20. （本题满分 12 分）已知椭圆 C：的离心率为，左、右顶点分别为 A，B，点 M 是椭圆&#

17、160;C 上异于 A，B的一点，直线 AM 与 y 轴交于点 P（1）若点 P 在椭圆 C 的内部，求直线 AM 的斜率的取值范围；（2）设椭圆 C 的右焦点为 F，点 Q 在 y 轴上，且 AQBM，求证：PFQ 为定值21 （本题满分 12 分）已知函数 f (x ) = x ln&

18、#160;x - ax + 1(a Î R ).（1）讨论 f (x )在 (1,+¥ ) 上的零点个数；（2）当 a > 1 时，若存在 x Î (1, +¥)，使 f (x ) < (e -1)(a - 3)，求实数 a 的取值范围.

19、（ e 为自然对数的底数，其值为 2.71828）（二）选考题（共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线 C： sin2 2acos  (a0)，已知过点 P(2， 4) 的直线 l 的参数方程为4ìïx2 

20、  2tíïîy4   2t22，直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点.(1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值.23选修 45：不等式选讲（10 分）设不等式的解集为 M(1)求集合 M；(2)已知，求证：5参考答案一、选择题1.B 2.D3.A4.B5.C6.C7.B8.D

21、9.A10.D11.C12.C二、填空题13. 3014. 315.三、解答题16.17.（1）由题设及正弦定理得，又，所以由于又因为所以.，则，.（2）由正弦定理易知，解得.又因为，所以，即.在所以在中，因为中，所以，由余弦定理得所以.18.（1）在中，由余弦定理得，则       因为 为因为的中点，则，则，所以因为因为底面，则，则，所以平面   ，从而      ，（2）分别以直线为 轴，&

22、#160;轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示6设，则点，       ，所以，设平面取因为的法向量为，则    ，为平面，则，所以的法向量，即，则，即所以，解得，所以所以19.样本中包裹件数在内的天数为，频率为，可估计概率为 ，未来 天中，包裹件数在间的天数 X 服从二项分布，即，故所求概率为样本中快递费用及包裹件数如下表：；故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为元（3）根据题意及，揽

23、件数每增加 ，可使前台工资和公司利润增加7（元），将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为若裁员 人，则每天可揽件的上限为（元）；件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）因故公司将前台工作人员裁员 人对提高公司利润不利20.（）由题意可得 c2a22，e，a2，c，椭圆的方程为        1，设 P（0，m），由点 P 在椭圆 C

24、0;的内部，得m，又A（2，0），直线 AM 的斜率 kAMkAM（，0） （0，（），），又 M 为椭圆 C 上异于 A，B 的一点，8（）由题意 F（直线 AM 的方程为 y，0），M（x0，y0），其中 x0±2，则     1，（x+2），令 x0，得点 P 的坐标为（0，），kBM=kAQ，直线 AQ 的方程为 y（x

25、+2），21.（1）由  f (x ) = x ln x - ax + 1 = 0 得 a = ln x +，令 g (x ) = ln x +，），由（，），令 x0，得点 Q 的坐标为（0，（，），20，即PFQ90°，故PFQ 为定值11xx因此讨论 f 

26、;(x )在 (1,+¥ ) 上的零点个数，即是讨论直线 y = a 与曲线 y = g (x )的交点个数， g ¢ (x ) =1  1  x - 1- =2x  x    x2， g ¢ (x ) >

27、; 0 在 (1,+¥ ) 上恒成立，故  g (x ) = ln x + 在 (1,+¥ ) 上单调递增， g (x )Π(1, +¥)，由（1）可得 f (x )在 1,ea-1  上单调递减，在  ea-1, +¥ 

28、60; 上单调递增；1x又 g (x )连续不断，所以当 a £ 1 时， f (x )在 (1,+¥ ) 上无零点；当 a > 1 时， f (x )在 (1,+¥ ) 上存在一个零点.（2）当 a > 1 时，由（1）得 f (x )在

29、0;(1,+¥ ) 上存在一个零点，由 f ¢ (x ) = ln x + 1 - a = 0 得 x = ea-1 ，()()所以 f (x )min= f (ea-1 )= 1 - ea-1 ，又存在 x Î (1, +

30、65;)，使 f (x ) < (e -1)(a - 3)成立，所以，只需1 - ea-1 < (e -1)(a - 3) 成立，即 ea-1 + (e -1)(a - 3)-1 > 0 不等式成立，令 h (x ) = ex-1 + (e -1)(x - 3)-1 ，则 h¢ (x ) = ex-1 + e -1 ，易知 h¢ (x ) = ex-1 + e -1 > 0