2022年2022年《“基本不等式”省优质课比赛教学设计及反思》

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载“基本不等式abab 2”教学设计精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一 教材分析本节课选自一般高中课程标准数学教科书·数学（5）（人教a 版）第三章第4 节第一课时,主要精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载内容为基本不等式abab 2的推导与简洁应用它以前面已学习的有关不等式的基本学问为依据,从精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载利用基本不等式ababab 2求最值这个侧面来表达基本不等式abab 2的应用,而且在基本不等式精品学习资料精选学习资料 - -

2、- 欢迎下载ab的推导过程中渗透了分析法的解题方法,为同学后续学习推理与论证的内容埋下伏笔,同时2在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法,此内容都为同学今后学习中必备的数学素养二学情分析同学有了不等式的基本学问作为铺垫,对不等式的学习已具备基本的熟悉,而基本不等式来自生活,为从生活中抽象而来的,只要我们选材得当,能够激发同学的学习爱好,同学也能够较简洁懂得基本不等式的推导,且达到渗透数学思想.关注数学文化的目的三 目标分析教学目标：1学会推导并把握基本不等式,懂得基本不等式的几何意义,并把握定理中的不等号“”取等号的条件为：当且仅当这两个数相等2探究并明白基本不等式的证明过程,在基本不等式的证

3、明过程体会从特别到一般的思维过程,领会数形结合思想的应用3培育同学生活问题数学化,并注意运用数学解决生活中实际问题的意识,有利于数同学活化.大众化,同时通过同学自身的探究争论,领会猎取新知的欢乐精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载教学重难点：本节课教学重点为应用数形结合的数学思想懂得基本不等式,并从不同角度探究不等式的证明过程abab 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载教学难点为基本不等式四教学策略abab等号成立条件2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载本课在设计上采纳了由特别到一般.从详细到抽象的教学策略利用数

4、形结合.类比归纳的思想,层层深化,通过同学自主探究,分析.整理出推导公式的不同思路同时,借助多媒体的直观演示,帮忙同学懂得,并通过老师的点拨引导,师生互动.讲练结合,从而突出重点.突破难点教法 :问题引导.启示探究和归纳总结相结合精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载学法 :自主学习与合作争论相结合教学手段 :黑板板书为主结合多媒体帮助教学五教学过程创设情境引入课题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载填写下表,abababab 与2ab 的大小关系2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载112811441622精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

5、下载【问题 1】观看ab 与ab 的大小关系,从中你发觉了什么结论？2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载猜想得到结论：一般的,假如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a、 br + 、那么abab 当且仅当 2ab时取 "" 号精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【问题 2】你能给出它的证明吗？证法 1用比较法证明：abab作差2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=1a 22=1a2当且仅当a2b22b0b ,即 aabb 时取 ""变 形 判定符号取等条件精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习

6、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证法 2用分析法证明：要证abab12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载只要证ab2ab2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载要证（ 2）,只要证ab2ab0（ 3）要证（ 3）,只要证ab 20（ 4）明显,（ 4）为成立的当且仅当ab 时,（ 4）中的等号成立设计意图 :精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载通过引导,让同学去证明猜想的结果,进一步巩固比较两个代数式 大小的方法,并让同学明白归纳.猜想.证明为我们发觉世界.认知世界的重要的思维方法精品学习资料精选

7、学习资料 - - - 欢迎下载师归纳：（ 1）假如把ab 看作为正数2a、 b 的等差中项,ab 看作为正数a 、b 的等比中项,那么该定理可以精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载表达为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）在数学中,我们称ab 为 a 、 b 的算术平均数,称ab 为2a、 b 的几何平均数. 本节定理仍可表达精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.自主探究深化熟悉1. 熟悉基本不等式的几何背景【问题 3】能否给基本不等式一个几何说明呢？探究：课本第110

8、 页的“探究”在 右 图 中 ,ab 为 圆 的 直 径 , 点 c 为 ab 上 的 一 点 ,aca 、 bcb 过点 c 作垂直于ab 的弦 de ,连接 ad . bd 你能利用这个图形得出基本不等式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abab 2的几何说明吗？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载易证 rtacd rtdcb ,那么cd 2ca cb ,即 cdab .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这个圆的半径为a b ,明显,它大于或等于cd ,即 ab 2

9、2ab ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中当且仅当点c 与圆心重合,即ab 时,等号成立 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因此：基本不等式设计意图 :abab 2几何意义为“半径不小于半弦”精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载通过呈现均值不等式的几何直观说明,培育同学数形结合的意识,并使抽象的问题更加直观.形象,使同学进一步加深对均值不等式的懂得2. 拓广探究（呈现并介绍古代弦图）同学们现在看到的为中国古代数学中闻名的一副图,叫做弦图它为由我国三国时期的数学家赵爽设计的早在1300 多年以前,这位数学家就奇妙的利用弦图中的面积关系证明白勾股定理,这为

10、世界上最早证明勾股定理的方法之一弦图不仅造型美观,而且隐藏着许多玄机精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载（呈现 24 届国际数学家大会会标）大家现在看到的为20xx 年在我们北京召开的第24 届国际数学家大会的会标这个会标设计源于古代弦图它的色调明暗相间,使它看上去象一个风车,这不但象征中国人民的热忱好客, 同时也充分呈现了中国古代数学对世界所做出的重大奉献今日咱们也来争论一下弦图老师引导同学从面积的关系去找相等关系或不等关系1 探究图形中的不等关系【 问题 4】请观看会标图形,图中有哪些特别的几何图形.它们在面积上有哪些相等关系和不等关系 .将图中的“风车”抽象成如

11、图,在正方形abcd 中四个全等的直角三角形设直角三角形精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的两条直角边长为a 、b 那么正方形的边长为a2b2这样, 4 个直角三角形的面积的和为2ab ,正方形精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的面积为a 2b 2 由于4 个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2b 22ab 利用多媒体演示会标图形的变化、 引导同学发觉四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积【 问题 5】大家看,这个图形里仍真有点奥妙我们从图中找

12、到了一个不等式这里a . b 的取值有没有什么限制条件. 不等式中的等号什么时候成立呢？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当直角三角形变为等腰直角三角形,即ab时,正方形efgh 缩为一个点,这时有a2b 22ab 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2得到结论：一般的,假如a、 br、 那么 a 2b 22ab当且仅当 ab时取 "" 号精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3摸索证明：你能给出它的证明吗？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 -

13、- - 欢迎下载证明：由于a 2b 22abab 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 ab时、 ab20、当ab时、 ab20、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以, ab 20 ,即a 2b 2 2 ab.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载师归纳：（ 1）从上述两个不等式中, 可以发觉, 假如 a0、 b0 、对于不等式 a 22b 2 ab ,我们用分别a .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b 代替a 、b ,可得 ab2ab ,通常我们把上式

14、写作：abab a>0、b>02精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）以上,我们为从数和形两个角度充分分析了这个不等式. 可见,数与形为一个事物的两个方面设计意图 :通过问题情境的设计激发同学学习的积极性,培育同学的探究才能；其次,简略介绍中国古代数学家赵爽的生平,渗透数学思想.关注数学文化实际运用强化新知【例题 】（1）用篱笆围一个面积为100 m 2 的矩形菜园,问这个矩形的长.宽各为多少时,所用的篱笆最短,最短的篱笆为多少？（ 2）一段长为 36 m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长. 宽各为多少时, 菜园的面积最大最大面积为多少？分析：（ 1）当长和宽的

15、乘积确定时,问周长最短就为求长和宽和的最小值（ 2）当长和宽的和确定时,求长与宽取何值时两者乘积最大精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：（ 1）设矩形菜园的长为x m 、 宽为 y m、 就 xy100、篱笆的长为2（ xy ） m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由xyxy ,2可得xy21002（ xy ）40精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载等号当且仅当xy 时成立,此时xy10 ,因此,这个矩形的长.宽为10 m时,所用篱笆最短,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载最短 篱笆为 40 m2 设

16、矩形菜园的长为x m、 宽 为 y m、 就 2（ xy ） =36, xy =18,矩形菜园的面积为xym 2 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由xyxy189、 可得xy81、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载可得等号当且仅当22xy时成立,此时xy9精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因此,这个矩形的长.宽都为9 m时,菜园的面积最大,最大面积为81 m 2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载设计意图 :让同学初步运用基本不等式解决实际问题、通过对实际问题的解决让同学体会数学来

17、源于生活,同时又服务于生活回忆反思拓展延长1. 课堂小结组织同学分组共同反思本节课的教学内容及思想方法,小组之间相互补充完成课堂小结,实现对基本不等式熟悉的再次深化 体会从特别到一般的争论方法； 体会数形结合的数学思想； 体会 归纳.猜想.证明的思维方法； 把握基本不等式,懂得它的几何背景,并能运用它解决实际问题设计意图 :小结的目的一方面让同学再次回忆本节课的活动过程,重点和难点所在,另一方面,更为对探究过程的再熟悉,对数学思想方法的升华,对思维的反思,可为同学以后解决问题供应体会和教训2. 作业布置必做题 :p.113 1.2.3.4选做题：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1

18、. 已知x、 y 都为正数,求证：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）假如积 xy 为定值 p ,那么和xy 有最小值 2p ,此时 xy ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）假如和 xy 为定值 s ,那么积 xy 有最大值s,此时 xy 24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 当 a>0、b>0 时不等式成立abab 2成立,如 ai0i1、2、3、 n ,就有不等式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载争论性作业：（ 1）设 a0,b0 ,称 2 abab为 a 、b 的调和平均数 如图, c为线段精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab 上的点,且aca、cb