第四章暂态稳定性

1、North China Electric Power UniversityDepartment of Electrical EngineeringBaoding2008.5 目目 录录 一电力系统数学模型及参数一电力系统数学模型及参数二二电力系统小干扰稳定性分析电力系统小干扰稳定性分析五五直接法在暂态稳定分析中的应用直接法在暂态稳定分析中的应用 三电力系统次同步谐振分析三电力系统次同步谐振分析四四电力系统暂态稳定性分析电力系统暂态稳定性分析六六电力系统电压稳定性分析电力系统电压稳定性分析 七七线性最优控制系统线性最优控制系统八八非线性控制系统非线性控制系统九九电力系统控制电力系统控制第四章电力

2、系统暂态稳定性分析目录第四章电力系统暂态稳定性分析目录 一概述一概述二二多机电力系统暂态稳定性计算多机电力系统暂态稳定性计算(一一) 三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二) 电力系统暂态稳定性是电力系统在一个特定的大电力系统暂态稳定性是电力系统在一个特定的大干扰情况下，能恢复到原始的（或接近原始的）干扰情况下，能恢复到原始的（或接近原始的）运行方式，并保持同步发电机同步运行的能力。运行方式，并保持同步发电机同步运行的能力。大干扰一般指大干扰一般指短路故障短路故障（单相接地，两相短路或（单相接地，两相短路或接地，三相短路），一般假定这些故障出现在线接地，三相短路），一般

3、假定这些故障出现在线路上，也可以考虑发生在变压器或母线上。在发路上，也可以考虑发生在变压器或母线上。在发生这些故障后，可以借断路器断开故障元件来消生这些故障后，可以借断路器断开故障元件来消除故障。快速重合闸的应用可以使断开的系统元除故障。快速重合闸的应用可以使断开的系统元件重新投入运行，但是可能是成功的，也可能是件重新投入运行，但是可能是成功的，也可能是不成功的。前者对应于一瞬时故障，将使电力系不成功的。前者对应于一瞬时故障，将使电力系统在故障后很快地恢复到原始运行状态；后者对统在故障后很快地恢复到原始运行状态；后者对应于一永久性故障，将使故障元件重新断开，经应于一永久性故障，将使故障元件重新

4、断开，经过一定的处理才能恢复到原始运行状态。过一定的处理才能恢复到原始运行状态。一概述一概述 故障发生后，根据干扰的大小，发电机送出的故障发生后，根据干扰的大小，发电机送出的功率发生不同程度的突变，因此不同的故障类型功率发生不同程度的突变，因此不同的故障类型和不同的故障地点对稳定性的影响也是不同的。和不同的故障地点对稳定性的影响也是不同的。三相短路最严重（一般占短路总数的三相短路最严重（一般占短路总数的5%10%），最轻的是单相短路（占），最轻的是单相短路（占75%90%）。）。 其它的大干扰可以是突然断开一大容量发电机组，其它的大干扰可以是突然断开一大容量发电机组，突然投入一大负荷或断开一条

5、线路等。突然投入一大负荷或断开一条线路等。一概述一概述 稳定极限一般是指在给定电力系统运行方式下能稳定极限一般是指在给定电力系统运行方式下能通过某一特定线路的最大功率。静态稳定极限是指通过某一特定线路的最大功率。静态稳定极限是指在小干扰下某一特定线路能输送的最大功率；暂态在小干扰下某一特定线路能输送的最大功率；暂态一概述一概述稳定极限与假定的干扰形式和稳定极限与假定的干扰形式和大小有关。指定的干扰（包大小有关。指定的干扰（包括故障类型，地点，切除时括故障类型，地点，切除时间等）越大，暂态稳定极限间等）越大，暂态稳定极限就越小。图就越小。图3-1表示在一简单表示在一简单系统中，按暂态稳定确定的系

6、统中，按暂态稳定确定的极限输送功率与故障类型及极限输送功率与故障类型及故障切除时间的关系。故障切除时间的关系。 在实际工作中，除了用在实际工作中，除了用输送功率来确定暂态稳定输送功率来确定暂态稳定性外，也有用其它间接的量来评价其暂态稳定性能，性外，也有用其它间接的量来评价其暂态稳定性能，如对一特定故障的最大允许切除时间，或者在一给如对一特定故障的最大允许切除时间，或者在一给定故障保证稳定所需最小切除发电机容量等。定故障保证稳定所需最小切除发电机容量等。 从从实际实际运行的观点看，暂态稳定性的研究分析比运行的观点看，暂态稳定性的研究分析比静态稳定性研究更静态稳定性研究更重要，因为重要，因为暂态稳

7、定的极限一般暂态稳定的极限一般比静态稳定极限要小，所以电力系统设计和运行首比静态稳定极限要小，所以电力系统设计和运行首先要满足电力系统暂态稳定性的要求。先要满足电力系统暂态稳定性的要求。一概述一概述 电力系统暂态稳定性的研究要求解电力系统电力系统暂态稳定性的研究要求解电力系统（包括发电机，负荷）在大干扰下的动态特性，（包括发电机，负荷）在大干扰下的动态特性，也即由电力系统机电方程式所描述的发电机转子也即由电力系统机电方程式所描述的发电机转子和相应的电压和电流等运行状态变量的变化，并和相应的电压和电流等运行状态变量的变化，并考虑某些自动控制系统对系统动态行为的影响。考虑某些自动控制系统对系统动态

8、行为的影响。一概述一概述 电力系统是一个非线性系统，系统的稳定性既电力系统是一个非线性系统，系统的稳定性既与初始条件有关，又与系统运行的参数变化有关，与初始条件有关，又与系统运行的参数变化有关，所以在大干扰下，不能再用研究静态稳定性的线所以在大干扰下，不能再用研究静态稳定性的线性花方法。因此，到目前为止，对电力系统暂态性花方法。因此，到目前为止，对电力系统暂态稳定性的稳定性的实际实际研究主要是用计算机进行数值积分研究主要是用计算机进行数值积分计算（常用的如四阶龙格计算（常用的如四阶龙格库塔法）的方法来进库塔法）的方法来进行，逐时段求解描述电力系统运行状态的微分方行，逐时段求解描述电力系统运行状

9、态的微分方程组，从而得到动态过程中状态变量的变化规律，程组，从而得到动态过程中状态变量的变化规律，并用以判断电力系统的稳定性。并用以判断电力系统的稳定性。 一概述一概述 数值积分计算方法的缺点是计算工作量大，同数值积分计算方法的缺点是计算工作量大，同时仅能给出电力系统的动态变化过程，而不能给时仅能给出电力系统的动态变化过程，而不能给出明确判别电力系统稳定性的依据。出明确判别电力系统稳定性的依据。 虽然在开发暂态稳定计算方法和程序上已作了很虽然在开发暂态稳定计算方法和程序上已作了很大努力，但对于日益增大的电力系统大努力，但对于日益增大的电力系统，庞大的，庞大的计计算工作量仍是一个困难的问题。计算

10、机性能的快算工作量仍是一个困难的问题。计算机性能的快速提高为解决这个问题提供了有利的条件，但这速提高为解决这个问题提供了有利的条件，但这种性能的提高有一大部分被提高电力系统模拟精种性能的提高有一大部分被提高电力系统模拟精度和和需要更多，更大规模的计算所抵消。度和和需要更多，更大规模的计算所抵消。一概述一概述一概述一概述一概述一概述一概述一概述一概述一概述一概述一概述一概述一概述dxECE dx一概述一概述EdxE8 . 06 . 0ddbxxqE9 . 08 . 0ddbxx一概述一概述一概述一概述一概述一概述一概述一概述计算用接线图的等值化。为了便于计算用接线图的等值化。为了便于稳定性的稳定

11、性的计算，计算，有时将电力系统有时将电力系统的的接线图进行简化。根据计算目接线图进行简化。根据计算目的和原始接线图结构的不同，可用较严格的等值的和原始接线图结构的不同，可用较严格的等值化方法进行简化，也可用近似的方法进行简化。化方法进行简化，也可用近似的方法进行简化。如用一个等值的发电厂或负荷来代替几个不大的如用一个等值的发电厂或负荷来代替几个不大的发电厂或负荷，将发电厂或负荷移置于邻近的发发电厂或负荷，将发电厂或负荷移置于邻近的发电厂或负荷的连接点，开断弱联系，合并以短线电厂或负荷的连接点，开断弱联系，合并以短线路连接的节点等。路连接的节点等。一概述一概述 简单简单电力系统暂态电力系统暂态稳

12、定的分析，计算主要是确定稳定的分析，计算主要是确定发电机的电磁发电机的电磁功率（转矩）和功率（转矩）和原动机的机械原动机的机械功率功率（转矩）以及由于它们的不平衡所引起的功率角的（转矩）以及由于它们的不平衡所引起的功率角的变化。对多机系统变化。对多机系统，暂态暂态稳定计算的目的也是一样。稳定计算的目的也是一样。但在但在多机系统，电磁多机系统，电磁功率的确定要通过求解网络方功率的确定要通过求解网络方程式，而功率角或转差的确定则仍通过求解描述转程式，而功率角或转差的确定则仍通过求解描述转子运动的微分方程式。因此在这一节，我们主要介子运动的微分方程式。因此在这一节，我们主要介绍计算绍计算暂态暂态稳定

13、时用到的网络方程式以及将网络方稳定时用到的网络方程式以及将网络方程式和转子运动方程式交替求解的方法。程式和转子运动方程式交替求解的方法。 二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一) 3.2.1. 网络方程式网络方程式 用于潮流计算的网络实际上不包含电源或负荷用于潮流计算的网络实际上不包含电源或负荷本身。这种网络以及与之相对应的网络方程式不本身。这种网络以及与之相对应的网络方程式不能直接用于能直接用于暂态暂态稳定的计算，必须进行修正。所稳定的计算，必须进行修正。所谓修正就是将电源和负荷在谓修正就是将电源和负荷在暂态过程的行为引入暂态过程的行为引入网络方程。网络方程。发电机的

14、接入发电机的接入 设与发电机相联接的升压变压器的阻抗已串联设与发电机相联接的升压变压器的阻抗已串联接入发电机的阻抗，而升压变压器的导纳已移至接入发电机的阻抗，而升压变压器的导纳已移至高压侧。高压侧。二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一) 发电机的接入方式因发电机的表示方式而异。发电机的接入方式因发电机的表示方式而异。当发电机以直轴当发电机以直轴暂态电抗暂态电抗 后的电势后的电势 表示时，表示时，可将可将 转换成电流源转换成电流源 ，并把发电机的阻抗折算，并把发电机的阻抗折算成导纳成导纳 ，将该导纳和电流源并联接在网络，将该导纳和电流源并联接在网络中该发电机的节点。中该

15、发电机的节点。 当发电机以交轴当发电机以交轴暂态电势暂态电势 表示时，不论是凸表示时，不论是凸极机还是隐极机，都要计及直轴及交轴磁阻的不极机还是隐极机，都要计及直轴及交轴磁阻的不相等。即，对隐极式发电机相等。即，对隐极式发电机 ；对凸极式发；对凸极式发电机电机 。电磁功率方程。电磁功率方程 中出现中出现的的“暂态磁阻暂态磁阻功率分量功率分量”实际上就是由此而形成实际上就是由此而形成的。下面就介绍这种情况下发电机的接入。的。下面就介绍这种情况下发电机的接入。二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一)dxEEdajxrE1dajxr qEdqdxxxdqxx 2sin2sin

16、2dqdqdqExxxxUxUEPq 首先，不计定子回路电磁首先，不计定子回路电磁暂态过程，列出包含交暂态过程，列出包含交轴暂态电势轴暂态电势 的发电机定子回路方程式：的发电机定子回路方程式： （3-1） 进行坐标变换，将上式的电压，电流转换至公共进行坐标变换，将上式的电压，电流转换至公共的坐标系统的坐标系统 。为此，将。为此，将 左乘等号两侧，并左乘等号两侧，并将将 改以改以 表示，有：表示，有：二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一)qEdqqddqqIIrxxrUUEYX iTTdqII ,TyxII ,yxqddqqIIrxxrUUEcossinsincosco

17、ssinsincoscossinsincos二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一)经运算，得：经运算，得：对上式作求逆运算，得：对上式作求逆运算，得： （3-2）式中：式中： （3-3）yxdqdqdqqdyqxqIIxxrxxxxxxrUEUEcossinsincoscossincossinsincos2222yxyqxqyyxxIIUEUEGBBGsincos qdqdxqdqdyqddqxqddqxxxrxxrGxxrxxBxxrxxBxxrxxrG22222222cossincossincossincossin为将（为将（3-2）式与接入发电机前的网络）式与接

18、入发电机前的网络方程式联立，方程式联立，将式中各参变量都标以下标将式中各参变量都标以下标 ，并改写为：，并改写为： （3-4）接入发电机接入发电机 前的网络前的网络方程式中对应于方程式中对应于发电机节点发电机节点 的注入电流为：的注入电流为： （3-5）显然，式（显然，式（3-4）和式（）和式（3-5）所示的发电机节点）所示的发电机节点电流电流应相等：应相等：二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一)ygxgygygxgxggqggqgygygxgxgygxgUUGBBGEEGBBGIIsincosgggngjjyjxjgjgjgjgjygxgggggggggygxgUU

19、GBBGUUGBBGII1ngjjyjxjgjgjgjgjygxgygggygggxgggxggggqggqgygygxgxgUUGBBGUUGGBBBBGGEEGBBG1sincos将其改写为：将其改写为： （3-6）式中：式中： （3-7） （3-8）二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一)ngjjyjxjgjgjgjgjygxgggggggggygxgUUGBBGUUGBBGII1gygqggygqgyggxgqggxgqgxgGEBEIBEGEIsincossincosygggggygggggxgggggxgggggGGGBBBBBBGGG;网络网络方程式改写成

20、：方程式改写成： （3-9）（3-9）式中，）式中，发电机节点发电机节点 的自导纳的自导纳 是相位是相位角角 的函数，在的函数，在暂态过程中，它们的值是不断变化暂态过程中，它们的值是不断变化的。的。因此要不断修正网络因此要不断修正网络方程式（方程式（3-9）。）。二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一)ynxnygxgyxnnnnnnnnngngngngnnnngngngngnggggggggggggnnnnggggynxnygxgyxUUUUUUGBBGGBBGGBBGGBBGGBBGGBBGGBBGGBBGGBBGIIIIII11111111111111111111

21、11111111g,ggggggggGBBG负荷的接入负荷的接入 负荷的接入方式因负荷的表示方式而异。负荷负荷的接入方式因负荷的表示方式而异。负荷以恒定阻抗或以恒定阻抗或导纳导纳表示时，仅需将表示负荷的阻表示时，仅需将表示负荷的阻抗直接联接在负荷节点抗直接联接在负荷节点，不必对这种，不必对这种节点作其它节点作其它处理。这时的负荷节点实际上已转化为联络节点处理。这时的负荷节点实际上已转化为联络节点。 当当负荷以随时间（转差）而负荷以随时间（转差）而变化的变化的阻抗表示时，阻抗表示时，要在要在暂态过程中的每一时段都暂态过程中的每一时段都修正表示负荷的阻修正表示负荷的阻抗或抗或导纳，即导纳，即修正网

22、络修正网络方程式中方程式中负荷节点的负荷节点的自导自导纳。纳。 计及计及电动机转子回路电磁电动机转子回路电磁暂态过程，仿照暂态过程，仿照发电机发电机的处理方式，将电动机的次的处理方式，将电动机的次暂态电势暂态电势 转换为电转换为电流源。但注意流源。但注意电动机的电动机的 将随将随时间而时间而变化。变化。二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一)EE简单故障的接入简单故障的接入 分析计算分析计算暂态稳定的基本前提之一是不计负序和暂态稳定的基本前提之一是不计负序和零序分量的影响。这就有可能运用正序等效定则。零序分量的影响。这就有可能运用正序等效定则。对于对于简单故障，只要在短

23、路点或开断点并联或串简单故障，只要在短路点或开断点并联或串联附加阻抗或与之对应联附加阻抗或与之对应的导纳，不必作的导纳，不必作其它处理其它处理。二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一) 接入了接入了发电机，发电机，负荷和简单故障的阻抗或负荷和简单故障的阻抗或导纳导纳后的网络，就是用来后的网络，就是用来分析分析暂态稳定性的网络。描暂态稳定性的网络。描述这个网络运行情况的方程式，就是用来述这个网络运行情况的方程式，就是用来计算计算暂暂态稳定性的网络方程式。容易看出，无论发电机态稳定性的网络方程式。容易看出，无论发电机以以 或或 表示表示，无论，无论负荷以恒定阻抗或负荷以恒定

24、阻抗或导纳，导纳，随随时间而时间而变化的变化的阻抗或阻抗或导纳甚至电流源导纳甚至电流源表示表示，无论，无论是是短路或断线故障，短路或断线故障，这个网络方程式总是一个这个网络方程式总是一个表表示节点注入示节点注入电流电流 和和节点电压节点电压 之间关系的线性之间关系的线性方程式，而不是方程式，而不是如潮流如潮流计算时那种非线性计算时那种非线性方程式。方程式。二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一)EqEBIBU3.2.2. 网络方程式和转子运动方程式的交替解算网络方程式和转子运动方程式的交替解算 用数值计算的方法（改进欧拉法）计算用数值计算的方法（改进欧拉法）计算简单系统

25、简单系统暂态稳定暂态稳定的主要的主要计算步骤为：计算步骤为：计算正常运行时的潮流分布，并由它确定各电势，计算正常运行时的潮流分布，并由它确定各电势，功率角，功率角，电磁电磁功率，机械功率在正常运行时的值；功率，机械功率在正常运行时的值；接入短路附加阻抗接入短路附加阻抗，计算，计算短路时短路时的网络参数；的网络参数；运用运用短路时短路时的网络参数，保持定值的电势和的网络参数，保持定值的电势和短路短路前后不突变前后不突变的功率角确定的功率角确定短路后最初瞬间的电磁短路后最初瞬间的电磁功率；功率；二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一)运用运用短路后最初瞬间的电磁短路后最初瞬

26、间的电磁功率和保持定值的机功率和保持定值的机械功率确定械功率确定短路后第短路后第一个一个时间段末时间段末功率角的近似功率角的近似值；值；运用这个功率角的近似值确定与之对应的运用这个功率角的近似值确定与之对应的电磁电磁功功率的近似值；率的近似值；运用这个运用这个电磁电磁功率的近似值确定功率的近似值确定短路后第短路后第一个一个时时间段末间段末功率角的改进值，然后开始第二个功率角的改进值，然后开始第二个时间段时间段的的计算；计算；切除切除短路后第短路后第一个一个时间段的时间段的计算与发生计算与发生短路时相短路时相同。同。二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一) 将这样一个反复

27、计算将这样一个反复计算电磁电磁功率和功率角的过程功率和功率角的过程推广到多机推广到多机系统，就是系统，就是一个交替解网络方程式一个交替解网络方程式（代数方程式）和（代数方程式）和转子运动转子运动方程式（微分方程式）方程式（微分方程式）的过程。的过程。 复杂电力复杂电力系统系统暂态稳定暂态稳定的的计算计算主要包括三大部主要包括三大部分。第一部分是初始值的分。第一部分是初始值的计算；计算；第二部分为第二部分为网络网络方程式的计算；方程式的计算；第三部分是第三部分是微分方程式的解算，微分方程式的解算，解算解算转子运动转子运动方程式和电动机方程式和电动机转子回路电磁转子回路电磁暂态暂态过程方程式，求取

28、功率角，过程方程式，求取功率角，转差率，转差率，电动机电动机次次暂暂态电势的近似值和改进值。态电势的近似值和改进值。二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一)初始值的初始值的计算：计算： 确定了正常运行时的潮流分布后，就可根据各确定了正常运行时的潮流分布后，就可根据各节点电压和节点电压和功率计算各功率计算各节点的节点的电流。但这些电流电流。但这些电流还不是用来解网络方程式的还不是用来解网络方程式的节点注入节点注入电流，而是电流，而是网络中各发电机和电动机的定子电流。网络中各发电机和电动机的定子电流。 为求取发电机为求取发电机节点节点的的注入注入电流，当发电机电流，当发电机

29、以以电势电势 表示时，可根据公式：表示时，可根据公式： （3-10） 求得求得 ，然后把发电机的阻抗折算成导纳，然后把发电机的阻抗折算成导纳 ，并用，并用 修正该节点修正该节点的自的自导纳。再将导纳。再将 转换成电流源（节点注入转换成电流源（节点注入电流）电流） （3-11）二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一)E.UIjxrEgda.E1dagggjxrjBGYgY.EgggjBGEI. 当发电机以交轴当发电机以交轴暂态电势暂态电势 表示时，先由式表示时，先由式 求得虚构求得虚构电势电势 ，确定，确定发电机发电机的交轴的交轴方向和功率角方向和功率角 ，然后由式然后由

30、式 算出直轴算出直轴定子电流，定子电流，由式由式 求得求得 。再根据式。再根据式（3-7），），（3-3）分别计算）分别计算 和和 ，并，并用后者用后者修正该节点修正该节点的自的自导纳。导纳。 为节点注入为节点注入电电流流。二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一)qE.UIjxrEgqaQ.QEcossinygxgdIIIdqdQqxxIEEqE,ygxgIIygygxgxgBGBG,ygxgII 为求取电动机为求取电动机节点节点的的注入注入电流，需将电流，需将节点电压节点电压 代入公式代入公式 ，并同另一，并同另一公式公式 （3-12） 联立求解。由于正常运行时联立求

31、解。由于正常运行时 ，所以有：，所以有： （3-13）求得求得 ，然后把，然后把电动机电动机的阻抗折算成导纳，的阻抗折算成导纳，并用并用 修正该节点修正该节点的自的自导纳。再将导纳。再将 转换成电流源转换成电流源（节点注入（节点注入电流）电流） （3-14）二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一)kipkkikiap.sU.jxrEUIsss.0.0EjsTIxxjEEpTdsd0.0EpTd.0.1ssdsUjxrxxjjsTjxrxxjE.E1jxrjBGYsllllY.EllljBGEI. 为修正负荷节点为修正负荷节点的自的自导纳导纳，用，用正常运行时负荷节正常运

32、行时负荷节点点的功率和的功率和电压由式电压由式 求取，再并入原网络求取，再并入原网络方程式方程式该节点该节点的自的自导纳。导纳。 在初值计算中还要计算原动机在初值计算中还要计算原动机机械功率在正常运机械功率在正常运行时的值，它就等于行时的值，它就等于发电机的电磁发电机的电磁功率。而功率。而发电机发电机的电磁的电磁功率就等于功率就等于发电机电势与流出该电势的电流发电机电势与流出该电势的电流的乘积的实部的乘积的实部。 如有必要如有必要计算计算电动机电动机的电磁转矩，则有的电磁转矩，则有 。二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一)kipkkikiap2*lllUSY .Res

33、eIEM网络方程式的计算：网络方程式的计算： 线性网络方程式的计算没有什么困难，可使用任线性网络方程式的计算没有什么困难，可使用任何一种解线性方程组的方法计算。如高斯消元法，何一种解线性方程组的方法计算。如高斯消元法，三角分解法等等。三角分解法等等。 在计算网络方程式之前，要对在计算网络方程式之前，要对导纳矩阵中那些随导纳矩阵中那些随时间变化的时间变化的自自导纳进行修正。导纳进行修正。 解得各节点电压后，就可再次计算发电机的电磁解得各节点电压后，就可再次计算发电机的电磁功率和电动机功率和电动机的电磁转矩。而计算中需要的电机定的电磁转矩。而计算中需要的电机定子电流值可分别按以下公式计算：子电流值

34、可分别按以下公式计算：二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一)kipkkikiap发电机发电机以以电势电势 表示时表示时 （3-15）发电机以交轴发电机以交轴暂态电势暂态电势 表示时表示时 （3-16）电动机电动机 （3-17）二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一)kipkkikiapEyyxxggggygxgUEUEGBBGIIqEyqyxqxggggygxgUEUEGBBGIIyyxxllllylxlUEUEGBBGII微分方程式的解算：微分方程式的解算： 微分方程式的解算包括解发电机组和电动机组微分方程式的解算包括解发电机组和电动机组的转

35、子运动方程式以及电动机转子回路的的转子运动方程式以及电动机转子回路的电磁电磁暂暂态过程方程式。态过程方程式。 用改进欧拉法求解发电机组转子运动方程式同用改进欧拉法求解发电机组转子运动方程式同简单系统中没有不同。而解算电动机组转子运动简单系统中没有不同。而解算电动机组转子运动方程式之前，先要按式方程式之前，先要按式 计算得到转计算得到转差率变化的机械差率变化的机械转矩转矩 。 电动机转子回路的电动机转子回路的电磁电磁暂态过程方程式的求解，暂态过程方程式的求解，先要按式（先要按式（3-12）列出公式）列出公式 并并将式（将式（3-17）求得的电动机定子电流）求得的电动机定子电流 代入。代入。二多机

36、电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一)kipkkikiapskMm11mM.0.0.1EjsTIxxjETdtEddld.lI 求得发电机的功率角求得发电机的功率角 ，电动机的转差率，电动机的转差率 和次和次暂态电势暂态电势 的近似值或改进值后，就可分别计算的近似值或改进值后，就可分别计算各节点注入电流的近似值或改进值。各节点注入电流的近似值或改进值。 对于对于以以电势电势 表示的表示的发电机，可用式发电机，可用式 先先求得求得 ，然后代入式（，然后代入式（3-11）。）。 对于对于以交轴以交轴暂态电势暂态电势 表示的表示的发电机，可直接发电机，可直接将求得的功率角代入式（

37、将求得的功率角代入式（3-7）。）。 对于电动机可将求得的次暂态电势对于电动机可将求得的次暂态电势 直接代入直接代入式（式（3-14）。）。二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一)kipkkikiapsEE.yxEjEE.EqEE 在暂态稳定计算中，对于节点在暂态稳定计算中，对于节点导纳矩阵有多次导纳矩阵有多次修正。第一次是将潮流修正。第一次是将潮流计算用的节点计算用的节点导纳矩阵修导纳矩阵修正为供正为供暂态稳定计算用，这一次暂态稳定计算用，这一次修正的是除联络修正的是除联络节点外的所有其它节点的自节点外的所有其它节点的自导纳，这属于初始值导纳，这属于初始值计算。第二次

38、修正是在每一个时间段的修正，这计算。第二次修正是在每一个时间段的修正，这时仅修正随时间变化的时仅修正随时间变化的自自导纳。第三次修正是在导纳。第三次修正是在网络结构发生变化时的修正，修正由于网络变化网络结构发生变化时的修正，修正由于网络变化而受影响的而受影响的节点节点导纳。导纳。二多机电力系统暂态稳定性计算二多机电力系统暂态稳定性计算(一一)kipkkikiap 在研究较长时间的暂态过程时，往往要计及自动在研究较长时间的暂态过程时，往往要计及自动调节励磁系统和自动调速系统的作用，因此须引入调节励磁系统和自动调速系统的作用，因此须引入表征它们行为的微分方程式。而自动调节系统的某表征它们行为的微分

39、方程式。而自动调节系统的某些环节的时间常数相对较小，如转子运动方程式的些环节的时间常数相对较小，如转子运动方程式的时间常数时间常数 以秒计，但汽轮机油动机方程式的以秒计，但汽轮机油动机方程式的 和和励磁机方程式的励磁机方程式的 都以十分之几秒计，液压调速器都以十分之几秒计，液压调速器方程式的方程式的 和可控硅励磁放大器方程式的和可控硅励磁放大器方程式的 都仅以都仅以百分之几秒计。若采用显式积分计算，则要取小于百分之几秒计。若采用显式积分计算，则要取小于这些时间常数的计算步长，才能保证微分方程数值这些时间常数的计算步长，才能保证微分方程数值解的稳定性。为了提高计算速度和精度，可采用隐解的稳定性。

40、为了提高计算速度和精度，可采用隐式积分方法计算差分方程式。以下讨论这个问题。式积分方法计算差分方程式。以下讨论这个问题。三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二)kipkkikiapJTsTeTrTaT3.3.1. 隐式积分法隐式积分法 在数值计算方法中已经介绍过隐式积分法，这里在数值计算方法中已经介绍过隐式积分法，这里结合求解电动机的转子运动方程式说明在电力系统结合求解电动机的转子运动方程式说明在电力系统暂态稳定过程计算中使用隐式积分法的基本方法。暂态稳定过程计算中使用隐式积分法的基本方法。 在端电压不变，且不计转子回路的在端电压不变，且不计转子回路的电磁电磁暂态过程时

41、，暂态过程时，电动机的机械电动机的机械转矩转矩 和电磁转矩和电磁转矩 都只与转差率有都只与转差率有关。因此，关。因此，电动机的转子运动方程式可写成电动机的转子运动方程式可写成 （3-18） 在瞬间在瞬间 的的转差率转差率 已知时，由已知时，由（3-18）式可得瞬）式可得瞬间间 的的转差率为：转差率为： （3-19）三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二)kipkkikiapmMeM ssesmJfMMTdtds1t tstt ttttttdtsfss 当当 足够小时，从足够小时，从 到到 之间之间 的变化曲线可的变化曲线可近似以直线代替。这样，（近似以直线代替。这样，（

42、3-19）式则可改成）式则可改成 （3-20） （3-20）式就是计算）式就是计算转差率转差率 的的差分方程式。差分方程式。 由于（由于（3-20）式中等号右侧也有待求的函数值）式中等号右侧也有待求的函数值 ，因此不能简单地用递推公式求取，因此不能简单地用递推公式求取 ，只能，只能用解代数方程式的方法求解。如：设已知用解代数方程式的方法求解。如：设已知 时的时的转差率转差率 ，由，由式（式（3-20）可列出第一个时间段的差）可列出第一个时间段的差分方程式分方程式 。式中只有一个未。式中只有一个未知量知量 ，因此可以用解代数方程式的方法解得，因此可以用解代数方程式的方法解得 。三多机电力系统暂态

43、稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二)kipkkikiapt ttt sf 2/ttttttsfsftss tsttstts0t 0s 2/00ttsfsftsststs 而后又可列出第二个时间段的差分方程式而后又可列出第二个时间段的差分方程式 ，再再解得解得 。 隐式积分法的优点在于可以取较长的计算步长和隐式积分法的优点在于可以取较长的计算步长和有较高的精确度。但如果微分方程式，从而对应的有较高的精确度。但如果微分方程式，从而对应的差分方程式是非线性方程式时，则其计算过程较显差分方程式是非线性方程式时，则其计算过程较显式积分要复杂。下面先介绍用于暂态稳定计算的差式积分要复杂。下面先介

44、绍用于暂态稳定计算的差分方程式的形成，然后再介绍它们的解算。分方程式的形成，然后再介绍它们的解算。三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二)kipkkikiap2/22ttttsfsftssts2三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二)3.3.2. 用于暂态稳定计算的发电机组差分方程式用于暂态稳定计算的发电机组差分方程式 本节仅讨论与发电机组本身有关的微分方程式的转本节仅讨论与发电机组本身有关的微分方程式的转化，即讨论转子运动方程式和转子回路电磁暂态过程化，即讨论转子运动方程式和转子回路电磁暂态过程方程式的转化。方程式的转化。 发电机组的转子运动方

45、程式为：发电机组的转子运动方程式为： 仿照（仿照（3-20）式可列出相应的差分方程式：）式可列出相应的差分方程式： （3-21） （3-22）NsdtdemJMMTdtds1 ttettmtetmJtttMMMMTtss2 2/tttNtttsst三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二) 将式（将式（3-22）代入（）代入（3-21），消去变量），消去变量 ，得，得令令 （3-23） （3-24）则上式改为：则上式改为： （3-25） 式（式（3-23）中的）中的 在在 确定后为一个常数，这种常确定后为一个常数，这种常数称为差分常数。式（数称为差分常数。式（3-24）的

46、）的 是一个已知数，因是一个已知数，因求取求取 时的功率角时，该式的所有变量都已知。从时的功率角时，该式的所有变量都已知。从而，它对式（而，它对式（3-25）而言也是一个常数。但这个常数）而言也是一个常数。但这个常数在不同的时间段有不同的值。这是后面将差分方程式在不同的时间段有不同的值。这是后面将差分方程式和代数方程式联立求解时这两种方程式的主要区别。和代数方程式联立求解时这两种方程式的主要区别。tts ttettmtetmJNtNtttMMMMtTts 2222 tTJNJ tetmJtNtMMts00ttettmJttMMJt0tt三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(

47、二二) 再讨论转子回路电磁过程方程式。再讨论转子回路电磁过程方程式。励磁绕组方程式：励磁绕组方程式：直轴阻尼绕组方程式：直轴阻尼绕组方程式：交轴阻尼绕组方程式：交轴阻尼绕组方程式：将这三个方程式改写为：将这三个方程式改写为： （3-26） （3-27） （3-28）式中：式中： 。,qqqddddddxxxxxxxxx0.qdqqdTEIxE0.dddqqqqTIxEEEE0.dddqqeqTIxEEE.0qqqddqxxIEET.0.0qdqdddqqdETExxIEET.0dddqqeqdxxIEEET三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二) 仿照（仿照（3-20）

48、式列出相应的差分方程式。由式）式列出相应的差分方程式。由式（3-26）有：）有： 将式中等号右侧的移至等号左侧，并令将式中等号右侧的移至等号左侧，并令 （3-29） （3-30）可得：可得： （3-31）由式（由式（3-27）可列出：）可列出： tddtqtqttddttqttqdtqtqttqttqIxEEIxEETtEEEE020qttddttqedttqEIxEE 02tqtddtqedtqqEIxEEEtTtdd02 ttddttqttqetddtqtqedtqttqIxEEIxEETtEE02三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二)tTtdd0212ddddd

49、xx 120221tqddtqdtddtqedqEEIEE012qttddttqedttqEIEEtTtqq02 02tdtqqqtddEIxEE0dttqqqttdEIxE三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二) 下面引入自动调速系统和自动调节励磁系统的差分下面引入自动调速系统和自动调节励磁系统的差分方程式：方程式： （3-39） （3-40）式中：式中： 都是差分常数，而都是差分常数，而 则是差分方程式则是差分方程式的常数项。的常数项。 为机端电压的模。导出（为机端电压的模。导出（3-40）式时，）式时，认为励磁调节器除按发电机机端电压的偏移调节外，认为励磁调节器除

50、按发电机机端电压的偏移调节外，还按功率角的导数调节。还按功率角的导数调节。21,eembbb00,qeEMgU021qettettgettqeEbUbE0MbMttmttm三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二) 发电机的两个定子回路方程式在不计定子回路中的发电机的两个定子回路方程式在不计定子回路中的电磁暂态过程时转化为代数方程式：电磁暂态过程时转化为代数方程式： （3-41） （3-42） 以后，为书写方便，将下标略去。以后，为书写方便，将下标略去。 电磁转矩电磁转矩 ，将，将 代入代入 ： （3-43） 将上式和式（将上式和式（3-39）代入（）代入（3-25）式，

51、可得：）式，可得： （3-44）ttddttqttqttqIxrIUEttqqttdttdttdIxrIUEdqqdeIIMdqqddqqdIIxxEE00qddqddqqeIIxxIEIEM00MIIxxIEIEbJqddqddqqmJ三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二) 将式（将式（3-40）代入（）代入（3-35）式，可得：）式，可得： （3-45） 将式（将式（3-41），（），（3-42），（），（3-44），（），（3-45）和）和式（式（3-38）中的）中的 都转换为用都转换为用 表示表示 ，使发电机组方程式与网络方程式相配合，并与其，使发电机组方程式

52、与网络方程式相配合，并与其它发电机组方程式联立。它发电机组方程式联立。 将等号右侧各项移至等号左侧，有：将等号右侧各项移至等号左侧，有：001221qedqddegedqEEIbUbEdqdqIIUU,yxyxIIUU,三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二) （3-46） （3-46）式就是用来计算暂态稳定的发电机组差分）式就是用来计算暂态稳定的发电机组差分方程式。方程式。0sincos0cossin02cos22sin21cossinsincos10sincoscossincossin0cossinsincossincos0001222210022dyxqqdqed

53、qyxdeyxedqJyxyxdqyxdyxqJmJyxdyxyxdyxdyxyxqEIIxEEEIIbUUbEMIIIIxxIIEIIEbIIxIIrUUEIIxIIrUUE三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二) （3-46）式中的第一，二式为定子回路方程式，）式中的第一，二式为定子回路方程式，第三式为转子运动方程式，第四，五式为转子回路第三式为转子运动方程式，第四，五式为转子回路电磁暂态过程方程式，而且已反映了自动调速系统电磁暂态过程方程式，而且已反映了自动调速系统和自动调节励磁系统的作用。和自动调节励磁系统的作用。 在以后的推导中，（在以后的推导中，（3-46）

54、式这五个方程式等号）式这五个方程式等号左侧的函数依次用左侧的函数依次用 表示。表示。 （3-46）式共有）式共有 等七个变量。为了等七个变量。为了求解还要补充两个方程式，即发电机节点的网络方求解还要补充两个方程式，即发电机节点的网络方程式。由于不计定子侧的电磁暂态过程，上列七个程式。由于不计定子侧的电磁暂态过程，上列七个变量中，变量中， 在运行状态突变时将发生突变。其在运行状态突变时将发生突变。其它三个变量则保持运行状态突变前的值。它三个变量则保持运行状态突变前的值。54321,fffff,dqyxyxEEIIUUyxyxIIUU,三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二

55、)3.3.3. 用于暂态稳定计算的非线性网络方程式用于暂态稳定计算的非线性网络方程式 如负荷用如负荷用3.2.1.节的方式表示，则计及自动调节系节的方式表示，则计及自动调节系统作用的统作用的网络方程式与网络方程式与（3-9）式的模式，除发电）式的模式，除发电机节点略有不同外，其它部分都相同。而且这时的机节点略有不同外，其它部分都相同。而且这时的网络方程式仍属线性方程式。但如网络方程式仍属线性方程式。但如负荷用其端电压负荷用其端电压的非线性函数表示，则这种的非线性函数表示，则这种网络方程式就是网络方程式就是非线性非线性方程式。方程式。 以下以图以下以图3-2的系统为例，说明这种非线性的系统为例，

56、说明这种非线性网络网络方程式的建立。方程式的建立。三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二)发电机的接入发电机的接入 由于由于这时发电机的定子回路方程式，除坐标变换这时发电机的定子回路方程式，除坐标变换外没作任何处理。所以这时发电机节点的注入电流外没作任何处理。所以这时发电机节点的注入电流就是发电机的定子电流。因此，发电机节点的就是发电机的定子电流。因此，发电机节点的网络网络方程式应如式（方程式应如式（3-5），将该式），将该式等号右侧各项移至等号右侧各项移至等号左侧，并以等号左侧，并以 表示相应的函数，可得：表示相应的函数，可得： （3-47）ygxgII,01njjy

57、jxjgjgjgjgjygxgygxgUUGBBGIIII三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二)负荷负荷的接入的接入 负荷以负荷以3.2.1.节的方式表示时，负荷节点的节的方式表示时，负荷节点的网络网络方程式就如式方程式就如式（3-9）所示。但在计及电动机转子）所示。但在计及电动机转子回路电磁暂态过程时，还要补充反映转子运动和转回路电磁暂态过程时，还要补充反映转子运动和转子回路电磁暂态过程的差分方程式组，但这并不影子回路电磁暂态过程的差分方程式组，但这并不影响响网络方程式本身。网络方程式本身。 负荷以其端电压的非线性函数表示时，负荷节点负荷以其端电压的非线性函数表示时

58、，负荷节点的电流平衡关系仍为：的电流平衡关系仍为： 仿照仿照式式（3-47），负荷节点的），负荷节点的网络方程式为：网络方程式为： （3-48）njjyjxjljljljljylxlUUGBBGII1njjyjxjljljljljylxlylxlUUGBBGIIII1三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二) 所不同的只是式中的所不同的只是式中的负荷节点注入电流负荷节点注入电流 现在现在为该节点电压的非线性函数。为该节点电压的非线性函数。 设负荷功率与其端电压有如下关系：设负荷功率与其端电压有如下关系： （3-49） 而负荷节点注入电流而负荷节点注入电流 与该节点电压与该

59、节点电压 间的关系，间的关系，由由 ，可得：，可得：ylxlII ,QiQiQlPiPiPlCUBUAQCUBUAP22lIlU*.lllUSI2222;ylxlxllyllylylxlyllxllxlUUUQUPIUUUQUPI三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二) 计及负荷功率与其端电压的关系，可得：计及负荷功率与其端电压的关系，可得： （3-50a） （3-50b） 显然，上式为非线性关系式。而显然，上式为非线性关系式。而网络方程式的网络方程式的节节点注入电流列向量中出现上式所示元素，因此它点注入电流列向量中出现上式所示元素，因此它也是非线性的。也是非线性的。0

60、222122xlxlxlylxlylQxlPylxlylQxlPylQxlPxlIIIUUUCUCUUUBUBUAUAI0222122ylylylylxlxlQylPylxlxlQylPxlQylPylIIIUUUCUCUUUBUBUAUAI三多机电力系统暂态稳定性计算三多机电力系统暂态稳定性计算(二二) 式（式（3-49）所示的负荷功率表示式实际上是一种）所示的负荷功率表示式实际上是一种常用的负荷静态电压特性的函数表达式。因此，常用的负荷静态电压特性的函数表达式。因此，负荷节点按上述方式处理时，实际上是认为在急负荷节点按上述方式处理时，实际上是认为在急剧变动的暂态过程中，负荷功率与其端电压的