抛物线的弦中点与弦长的相关性质及运用22

1、抛物线的弦中点与弦长的相关性质及运用22抛物线的弦中点与弦长的相关性质及运用龙胜(吉首大学数学与计算机科学学院，湖南吉首416000)摘 要：本文总结并证明了抛物线的焦点、弦中点、弦长以及弦所在 直线的方程的一些相关性质，比如利用抛物线中有一弦过焦点,且弦长已知, 求此弦中点坐标而本文避开了要将直线方程代入抛物线方程，得出一个一 元二次方程,再应用韦达定理求出xl?x2所带來的麻烦.关键词：抛物线;焦点;弦长;弦所在直线方程.the midpoint and string string parabola related propertiesand application. longlong s

2、he ng(department of mathematics and computer science jishou hunan 416000)abstract: in this paper we summarizes and prove some property of the focus of a parabola,median point of the chord,the length of the chord and the equation of the straight line which the chord inn order to get the median point

3、of chord,we substitute the equation of the straight line into the eauation of the parabola, then get a quadratic equation of one variable.with the help of vieta theorem we can get the anser. here we attempt to avoid such troublekey words:parabola; focus; chord;linear equation一、过焦点的弦的性质为了行文方便，我们假定用a表

4、示一元二次方程的判别式且p>0.定s1设抛物线y2?2p(x?), (?r)中有一弦过焦点，且弦长为m,则弦的中点坐标(m?p?2?22 或(m?p?2?2,?2.证设过焦点f(p?2?2,0)jbl弦长为m的弦的中点为c (xo,yo),弦的端点分别为 a(xl,yl). b (x2,y2).1(i)当(xl?x2)时贝j弦ab与x轴垂直，此时弦长ab为最短将x?p?2?2代入 y2?2p(x?)得，y2?p2,y?p, ?2p,故 m?2p 当 m=2p 时，过焦点的眩的中点即为焦点卩(p?2?26于是定理成立(11)不失一般性，设xl?x2,yl?y2?于是(xl,yl),(x2y

5、2)应满足y?2p(x?)?1?v?xo?yop?2?2(x?p?2?2)?m(3)由得x?2xo?p?2?2y0y?p2y?p?2?2)(2)由、(2,)得y?2p(2xo?p?2?)y0即 y2?p(2x0?p?2?)y0 y?p?0.(4)由得yl?y2?p(2xo?p?2?)yo,2yo2?(2xo?p?2?)p.(5)于是方程(4)化为 y2?2yoy?p2?0-(4, )?4(yo?p),y2?yl?x2?xl?(2xo?p?2?)p2yop22222?由(2)及得(y2?yi)?(x2?xl)?(y2?yl)?yo?pp24(yo?p)p222?m722(y0?p)?mp,y0?

6、222p(m?2p)2$o,yo?2'由式得xo?m?p?2?29所以弦中点的坐标为(m?p?2?2图1注：1 在上面弦的1+1点坐标公式屮，易见当m?2p (即弦过焦点且与x轴垂 直时)中点坐标就变为(p?2?2,0),中点即为焦点，因此(i)是(ii)的特殊情形.2 从图1中可以看出，当m>2p时，长为m的弦有两个中点.3 在定 理1中，如果将方程y2?2p(x?)改为y2?2p(x?),则结论改为(p?2?m22-,?定理2如果抛物线y2?2p(x)中有一弦的中点坐标是 m?p?2?22 或(m?p?2?22(,?.则此弦必过抛物线的焦点jl弦长为m.证明我们仅讨论抛物线y

7、2?2p(x?)的情形,y2?2p(x?)类似讨论设 此弦的端点坐标分别为a(xl,yl), b(x2,y2)我们仅就c点坐标为3 m?p?2?2加以证明,(p?2?m2,?2类似可证.由假设有xl?x2?m?p?2,yl?y2 (i)当 m?2p 时由y2?yl?2p(x2?xl)得/22y2?ylx2?xl?(6)由此得弦ab的方程为y?m?2p22x?m?p?2?2)-(7).令 y?0,得?x?m?p?2?2/x?p?2?2，即弦ab必过焦点卩(mm?2pp?2?2,0).由式得(y2?yl)2?(x2?xl)2?(2p(m?2p)42pm?2p2pm?2p?l)(x2?xl)?m写兩

8、卑由泄何dziuj斥(ll)u丄t乙咬乙(“比人)比(v辽x)趨¥(8)y#'(d衣山)山&2乙("辽x)勖聊甲(dzeoi)uje(eideuj)evzzedeuzedeuj)eezoduddiuj)eeex(ezedeuj)ex 割凰刑'(&x)d 汝乙zp)d 乙c(z2x)2z勖¥仏)甲(8)("比x)乙(p?2p2,yl),(,0-)yl?y2?p22?o,bp yi?y2z此时弦ab垂直于x轴，将(,?yl)代入 y?2px 得 yl2?p2,yl?p,从而?2p?m 注 从定理2、3的证明过程中不难看出，屮点

9、坐标屮只需取一个，定理 便成立，下面出现的类似性形,按此注理解.2p(x?)中有一弦的中点坐标是定理3如果抛物线y2?p?2?m22p?2?m2(或,? 则此弦必过抛物线的焦点，且弦长为m.由定理1、2、3可得定理 4 在抛物线(y2?2p(x?)或 y2?2p(x?) 中为4m(m22p)的必要且充分条件是此弦的中点坐标 为2)p?2?m亿22(m?p?2?2则此弦必过抛物线的)焦点，月-弦长为m.仿定理1和定理2、3易证 定理5在抛物线x2?2p(y?)中,过焦点口弦长为m(m$2p)的必要口充分条件是此弦的屮点坐标为m?p?2?)或(-222p?m?2?)2定理6在抛物线x2?2p(y?

10、)中，过焦点且弦长为m(m22p)的必要口充分条件是此弦的中点坐标为m?p?2?)或(-222p?m?2?)2二、求抛物线的弦长和己知弦长求弦所在直线方程问题?？2除用一般的常规解法外，不少资料屮又给出了弦长公式d?l?x2.然而耍求公式中的xl?x2,还是避开不了要将直线方程代入抛物线方程，得出一个 一元二次方程，再应用韦达定理求出xl?x2所带来的麻烦为了解决这一问题.设直线y?kx?b (k是常数，且k?0)与抛物y2?2p(x?)(p>0)相交于a,b两点则ab?证明设点a、b的坐标为(xl?yl)> (x2,y2), y?kx?b代入抛物线方程y?2px,消 y2整理得k

11、2x2?2(bk?p)x?b2?2?0.因为直线与抛物线有两个不同的交点.?>0,即 4(bk?p)2?4k2b2?8p?k2>0,得p?2pbk?2p?k>0.221 xl?x2?2(bk?p)k2,xlx2?b?2p?k2?xl?x2?故?？同理可得:？当抛物线方程为y2?2p(x?) (p>0)时,?当抛物线方程为x2?2p(y?) (p>0)时7?py?)当抛物线方程为x2?2 (p>0)时/?若直线y?kx?b (k是常数，且k?0)过抛物线的焦点，或顶点时应用公式、(2)、(3)、(4)易分别得出如下推论：推论7过抛物线y2?2px(p>0

12、)的焦点f,与抛物线相交于ab两点，则?2p(l?lk2)推论8过抛物线x2?2py (p>0)的焦点f,且与抛物线相交于ab两点'则?2p(l?k2)推论9过抛物线y2?2px (p>0)的顶点，且与抛物线交于另一点a,则?推论10过抛物线x2?2py (p>0)的顶点，且与抛物线交于另一点a,则?2pk例1在抛物线x2?6(y?l)中，有一长为8的弦'求:若此弦过焦点'求此弦的中点坐标(2)若此弦的中点是(4,3),问此弦是否过焦点? 解由己知p?3mz?2设8中点为(xo“o)由定理?3.5,即中点为(3.5)4得x0?zy0?8?3?2?2(2

13、)由知(4,3)?(3.5),由定理4知，此弦不过焦点.例2已知直线y?x?l与抛物 线y2?2x (p>0)相交于a,b两点，且|ab|二8,求抛物线方程.解由已知条件可知k?l,b?l.应用推论，可得?&解方程得p?2,p?4 (舍去)所以抛物线方程为y2?4x.例3已知直线i过点(0厂3)与抛物线x2?12y相交于a、b两点，且 |ab|=36,求直线i程.解 由已知条件易得p?6,因为直线i过(0,3),设直线i方程为y?kx?3,应 用推论,可得?36,解方程得k?故直线i方程为v?3 或 y?3.1三、不过焦点的弦的性质?？定理11在抛物线y2?2p(x?)(相应地y

14、2?2p(x?)中若一弦被点m(st)或m' (s厂t)所平分，则此弓玄必过点(s?t2q)湘应地(s?t2p,0),且弦长为p(p*设弦的端点证明 我们仅就y2?2p(x?)证明(y2?2p(x?)类似可证) 分别为 a(xl,yl)> b(x2,y2).s(i)当 t =0 时，则xl?x2?2syl?y2?07于是 yl?y2,y2?yl?2p(x2?xl)?0,即 xl?x2,2xl?2s,xl?s?s?22t2p'此时?？丄x 轴,yl2?2pxl?2ps,yl?y2?y2?yl 即定理成立(11)设t >0,我们仅证弦过点m(s,t)的情形(点m'

15、; (s,t)的情形类似可证)，则xl?x2?2syl?y2?2tpt.y22?yl2?2p(x2?xl),pty2?ylx2?xl2py2?ylpt则弦ab的方程为t2y?t?(x?s) 用y?(x?s)?t(9)又令y =0侧x?s?p，即弦过点(s?p/)?2?xl .(10) y?2pt22(x?2sx?s)?2p(x?s)?t?2px,22 2化简得x?2sx?(2ps?tp2)?0-(11)记?(?2s)?4( ps?tp)?24tp2(2ps?t),2vt >0,则 xl?x乙于是 2ps?t>0.由(11)式得x2?xl?2p由(10)式 得 m?p2(12).t2

16、定理12设抛物线y?2p(x?)(相应地y?2p(x?)过点(s?t,0)相应地(s?poj且弦长为p2p(相应地t)p),则此弦必被点m(s,土t)所平分.p2s)证明 我们仅就y2?2p(x?)加以证明(y2?2p(x?)类似讨论)设此8弦的端点为 a(xl,yl). b(x2,y2) (?(xl?,yl?),?(x2?,y2?)类似讨论)湯见 s?0,即 t2<?ps(ps?t2<0)(i)当xl?x2时，则ab丄x轴于是xl?x2= s?t)?2ps?2t.yl,2?2p<t2p，将 x?s?t2p代入得y?2p(s?2p由?？pi,得 t2(p2?t2?2ps)?0

17、 vps?t2>0,s<0,.？2ps?t2>?ps?t2>0,从而 t2(p2?t2?2ps)>0,/.t?0,于是s?2p?s，此时(s,t)与(sq)重合(s,?t)即为(s,0),即弦ab的中点为(s,0)，因此xl?x2时定理成立.(h)xl?x2时，此时弦ab不垂直于x轴,设弦的中点为(a,b),其斜率为k,易 见kho,则ab的方程为y?k(x?s?k2t2p由y?k(x?s?y?2px2p 得,y?kx?(s?)22k)?2px,化简得, 2x?2(s?2t2pt2pkpk2)x?(s?2t2pt2?4(s?p?)?4(s?p)?24pk2(pk2

18、?2s?2tp2)，由于方程(14)有两个实根,a &gt；o,即t2pk2?2s?2tp2>0 由韦达定理和(13)式得xl?x2?2(s?ppk)?2a,yl?y2?kxl?x2?2(s?2p)?2pk?2b,于是9a?s?b?pkt2p?pk即 a?s?2ppk2<0.b?pk (15).x2?xl?y2?yl?pb22(x2?xl)?(y2?yl)?(l?k)?(l?222)?4pp2b2(pp?2s?2tp2)b?pb2224bp2?b?2ps?2t224(p?t)(?2ps?2t)2即有4(b?p)(b?2ps?2t)p222?由上式得b?2bps?2bt?pb

19、?2ps?2pt?2ps?pt?2pst?t222232224423224即2ps(t?b)?p(t?b)?(b?2bt?t)?(t?b)(2ps?p?t?b)?0,22222242222由 a?ps?t?b<o,s<oz得222ps?p?t?b2?ps?(ps?t2?b2)?p2<0,ab?t,若b?t,则由(15)式得a?s,此时(a,b)为(s,t),若b?t,由(15)式得a?s,此时心为”卩即弦ab被点(s,?t)所平分由定理11和定理12可得：定理13抛物线y2?2px (相应地y2?2px)中有一弦被点(st或)(s,-t) 所平分的充要条件是此弦必过点(s?22pq)(相应地(s?tp,0),)p(p).下面我们把过焦点的弦的性质与不过焦点的弦的性质做比较,我