第二章 地图的数学基础2

1、3.2 地图投影的基本概念地图投影的基本概念一、问题的提出：一、问题的提出： 地图的数学基础地图的数学基础 是指使地图上各种地理要素与相应的地面景物是指使地图上各种地理要素与相应的地面景物之间保持一定对应关系的数学基础。包括：之间保持一定对应关系的数学基础。包括：经纬网经纬网、坐标网、大地控制点、比例尺等。、坐标网、大地控制点、比例尺等。两个矛两个矛 盾：盾： 球面与平面之间的矛盾球面与平面之间的矛盾 大与小的矛盾大与小的矛盾 将椭球面上的客观世界表现在有限的平面上,首先要实现由球面到平面的转换.如何转换如何转换?沿经线直接展开?沿纬线直接展开?沿经线直接展开沿经线直接展开?沿经线直接展开?

2、可见,地球椭球面是不可展开的面.无论如何展开都会产生褶皱,拉伸或断裂等无规律变形,无法绘制科学,准确的地图.因此解决 球面与平面之间的矛盾球面与平面之间的矛盾 将地球椭球面上的点转换成平面上的点。将地球椭球面上的点转换成平面上的点。 大与小的矛盾大与小的矛盾地图投影地图投影比例尺比例尺二、投影方式：二、投影方式：1.平行投影平行投影2.透视投影透视投影3. 3. 广义投影广义投影三、地图投影实质三、地图投影实质： 建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐标表示）和地球表面上的点（用纬度和经度标表示）和地球表面上的点（用纬度和经度表示）之间的函数关系，用数学式表达

3、这种表示）之间的函数关系，用数学式表达这种关系，就是：关系，就是： ),(),(21fyfx四、地图比例尺解决大与小的解决大与小的矛盾矛盾.1. 地图比例尺的含义 当制图区域比较小、景物缩小的比率也比较小时：图上长度与相应地面之间的长度比例。 当制图区域相当大、景物缩小的比率也相当大时：对地球半径缩小的比率，为主比例尺。在地图上体现为个别的点或线。因此，用图者不可随意量算。图上也不可绘制直线比例尺。 2. 地图比例尺的表示（1）数字式比例尺：写成比的形式。 1：10000，1/10000（2）文字式比例尺：“一万分之一”，“图上1厘米等于实地1公里”（3）图解比例尺： 直线比例尺 斜分比例尺

4、复式比例尺直线比例尺： 以直线线段形式标明图上线段长度对所对应的地面距离。斜分比例尺：微分比例尺。根据相似三角形原理制成。可以量取比例尺基本长度单位的百分之一。 复式比例尺：投影比例尺，小比例尺地图上使用。根据地图主比例尺和地图投影长度变形分布规律设计的一种图解比例尺。通常是对每一条纬线单独设计一个直线比例尺，再组合起来。（4）特殊比例尺 变比例尺：将主区以外部分的距离按适当比例相应压缩，而主区仍按原规定的比例表示。 无级别比例尺：因数字制图而出现。 可以把存贮数据精度和内容详细程度都比较高的地图数据库，称为无级别比例尺地图数据库。成都理工大学测量工程系1. 投影变形的概念 比较地图上和地球仪

5、上的经纬线网特征地球仪上的经纬网特征：长度：经线，纬线、同一纬线上相同经差的纬线长度，同一经线上相同纬差的经线长度面积：同一纬度带，相同经差构成的球面梯形、不同纬度带，相同经差构成的球面梯形角度：经纬线的夹角成都理工大学测量工程系成都理工大学测量工程系成都理工大学测量工程系成都理工大学测量工程系 成都理工大学测量工程系可以发现，变形表现在长度、面积和角度三个方面。成都理工大学测量工程系 1. 和：长度比长度比是是 投影面上一微小线段ds和球面上相应微小线段ds之比。 m表示长度比长度比，Vm表示长度变形长度变形d dssm1Vmm长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。描述投影变形的相关概念描

6、述投影变形的相关概念成都理工大学测量工程系 面积比：面积比：投影平面上微小面投影平面上微小面积（变形椭圆面积）积（变形椭圆面积）dF与与球面上相应的微小面积（微球面上相应的微小面积（微小圆面积）小圆面积）dF之比。之比。P 表示面积比表示面积比Vp 表示面积变表示面积变形形 1pVpsinmnpabrabrFddFp22成都理工大学测量工程系： 投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以表示角度最大变形。 设A点的坐标为（x、y），A 点的坐标为(x 、y )，则最大角度变形可用极值长度比最大角度变形可用极值长度比a,b表示表示sin2abab实用上常以下公式

7、求得：实用上常以下公式求得：tan(45)2ba长度变形是各种变形的基础！长度变形是各种变形的基础！成都理工大学测量工程系标准点、标准线和等变形线标准点、标准线和等变形线标准点：标准点：指地图投影面上没有任何变形的点。即投影面与地指地图投影面上没有任何变形的点。即投影面与地球椭球体面相切的点，离标准点越远，变形越大球椭球体面相切的点，离标准点越远，变形越大标准线：标准线：指地图投影面上没有任何变形的线，即投影面与地指地图投影面上没有任何变形的线，即投影面与地球椭球体面相切或相割的那一条或两条线（标准经线或标准纬球椭球体面相切或相割的那一条或两条线（标准经线或标准纬线），离标准线越远，变形越大。

8、线），离标准线越远，变形越大。等变形线：等变形线：指投影面上变形值相等的各点的连线。不同等变指投影面上变形值相等的各点的连线。不同等变形线形状的投影适合不同形状的制图区域，形线形状的投影适合不同形状的制图区域，这是选择地图投影这是选择地图投影要考虑的因素之一要考虑的因素之一。成都理工大学测量工程系地球仪上的微分圆投影到平面上，投影后大多变为椭地球仪上的微分圆投影到平面上，投影后大多变为椭圆（极个别为圆），即圆（极个别为圆），即变形椭圆变形椭圆。XYMy122 yx122nymxXYMy2. 变形椭圆变形椭圆成都理工大学测量工程系用变形椭圆表示投影变形：用变形椭圆表示投影变形：rrrbaab=r

9、2ar,b=rar;bra，b表示椭圆的长半轴与短半轴表示椭圆的长半轴与短半轴成都理工大学测量工程系五五. 投影分类按投影的变形性质投影分类按投影的变形性质分类分类可分为等角投影、等积投影和任意投影。可分为等角投影、等积投影和任意投影。任意投影：任意投影：长度、角度、长度、角度、面积三种变形面积三种变形同时存在。同时存在。等距投影等距投影:a=1或或 b=1等积投影等积投影:P=a.b= 1等角投影：等角投影：=0a=br1成都理工大学测量工程系成都理工大学测量工程系成都理工大学测量工程系 （1）: 将椭球面上的经纬线网投影到几将椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面。何面上，

10、然后将几何面展为平面。 方位投影方位投影: 以平面作投影面，使平面与球面相切或相以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。 圆柱投影圆柱投影: 以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。柱面展为平面而成。 圆锥投影圆锥投影: 以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，

11、然后将圆锥面展为平面而成。锥面展为平面而成。成都理工大学测量工程系 方位投影方位投影:以平面作投影面，使平面与球以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。面上而成。 根据球面与投影面的相对部位不同，分为正轴根据球面与投影面的相对部位不同，分为正轴投影，横轴投影，斜轴投影投影，横轴投影，斜轴投影: 正轴方位投影，投影面与地轴相垂直；正轴方位投影，投影面与地轴相垂直； 横轴方位投影，投影面与地轴相平行；横轴方位投影，投影面与地轴相平行； 斜轴方位投影，投影面与地轴斜交。斜轴方位投影，投影面与地轴斜交。 圆柱投影圆柱投影:以圆柱面

12、作投影面，使圆柱面以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。 正轴：圆柱轴与地轴重合；正轴：圆柱轴与地轴重合； 横轴：圆柱轴与地轴垂直；横轴：圆柱轴与地轴垂直； 斜轴：圆柱轴与地轴斜交；斜轴：圆柱轴与地轴斜交； 圆锥投影圆锥投影:以圆锥面作投影面，使圆锥面以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。 正轴：圆锥轴与地轴重合； 横

13、轴：圆锥轴与地轴垂直； 斜轴：圆锥轴与地轴斜交； 正轴投影的经纬线形状正轴投影的经纬线形状 a.正轴方位：经线为放射状直线，纬线为同心圆正轴方位：经线为放射状直线，纬线为同心圆； b.正轴圆柱：经纬线均为一组平行且间隔相等的正轴圆柱：经纬线均为一组平行且间隔相等的直线，直线， 纬线与经线垂直；纬线与经线垂直； c.正轴圆锥：经线为放射状直线束，纬线为同心正轴圆锥：经线为放射状直线束，纬线为同心圆。圆。 正轴投影的变形特点正轴投影的变形特点 （1）方位投影变形特点方位投影变形特点： 等变形线与纬圈一致；等变形线与纬圈一致；在切方位投影中，切点上无变形，随着远离切点，在切方位投影中，切点上无变形，

14、随着远离切点，变形增大；变形增大； 在割方位投影中，在所割小圆上在割方位投影中，在所割小圆上 ，角度，角度变形与变形与“切切”的情况一样，其他变形（长度变形与的情况一样，其他变形（长度变形与面积变形）则自所割小圆向内与向外增大。面积变形）则自所割小圆向内与向外增大。12m（a）切方位（b）割方位图04-14 方位投影等变形线 （2）圆柱投影变形特点：）圆柱投影变形特点： 变形随纬度变化，与经差无关；变形随纬度变化，与经差无关； 在切圆柱投影中，赤道无变形，变形自赤道在切圆柱投影中，赤道无变形，变形自赤道向两侧随纬度的增加而增大；向两侧随纬度的增加而增大；在割圆柱投影中，在两条标准纬线上无变形，

15、在割圆柱投影中，在两条标准纬线上无变形，变形自标准纬线向内和向外增大。变形自标准纬线向内和向外增大。 适宜于低纬度沿纬线伸展的地区。适宜于低纬度沿纬线伸展的地区。 （3）圆锥投影变形特点）圆锥投影变形特点:变形只与纬度有关，与经差无关，同一纬线上的变变形只与纬度有关，与经差无关，同一纬线上的变形是相同的；形是相同的； 切圆锥投影中，标准纬线上长度比等于切圆锥投影中，标准纬线上长度比等于n。=1，其，其余纬线上长度比均大于余纬线上长度比均大于1，并向南、北方向增大；，并向南、北方向增大；在割圆锥投影中，标准纬线在割圆锥投影中，标准纬线n1=n2=1,变形自标准纬变形自标准纬线线 向内、向外增大，

16、在向内、向外增大，在 之间之间n1. 适合中纬度处沿纬线伸展的制图区域之投影适合中纬度处沿纬线伸展的制图区域之投影21、21、成都理工大学测量工程系 （2）根据某些条件，用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。伪方位（圆柱、圆锥）投影是在方位（圆柱、圆锥）投影的基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。成都理工大学测量工程系成都理工大学测量工程系2. 经纬线形状

17、经纬线形状纬线是以极点为圆心的同心圆，经纬线是以极点为圆心的同心圆，经线是同心圆的半径，经线夹角等于线是同心圆的半径，经线夹角等于相应的经差。相应的经差。等角：等角：纬线间距自投影中心向外逐纬线间距自投影中心向外逐渐增大。渐增大。等积等积：纬线间距自投影中心向外逐：纬线间距自投影中心向外逐渐减小。渐减小。等距等距：纬线间距自投影中心向外保：纬线间距自投影中心向外保持不变。持不变。六六. 常用地图投影常用地图投影正轴切方位投影正轴切方位投影1.投影条件投影条件投影面为平面，切于极点投影面为平面，切于极点成都理工大学测量工程系3.变形分布规律：变形分布规律：投影中心无变形，等变形线为以投影投影中心

18、无变形，等变形线为以投影中心（极点）为圆心的同心圆。中心（极点）为圆心的同心圆。等角：等角：没有角度变形，但面积变形较没有角度变形，但面积变形较大，离投影中心越远，面积、长度变形大，离投影中心越远，面积、长度变形增大。增大。等积等积：没有面积变形，但角度变形较：没有面积变形，但角度变形较大，离投影中心越远，角度、长度变形大，离投影中心越远，角度、长度变形增大。增大。等距：等距：角度、面积变形都不太大，离角度、面积变形都不太大，离开中心愈远面积、长度、角度、面积变开中心愈远面积、长度、角度、面积变形增大。形增大。4.应用应用编绘两极地区国际编绘两极地区国际1：100万地形图。方位投影适合绘制区万

19、地形图。方位投影适合绘制区域轮廓大致为圆形的地图。域轮廓大致为圆形的地图。成都理工大学测量工程系横轴方位投影1投影条件投影条件投影面为平面，切点在赤道上。投影面为平面，切点在赤道上。2经纬线形状经纬线形状通过投影中心的中央经线和赤道投影后通过投影中心的中央经线和赤道投影后为直线，其他经纬线投影后都是对称于中为直线，其他经纬线投影后都是对称于中央经线和赤道的曲线。央经线和赤道的曲线。 等角、等积和等距等角、等积和等距中央经线上的纬线间距特征同正轴方位投中央经线上的纬线间距特征同正轴方位投影影3.变形分布规律变形分布规律投影中心无变形，等变形线为以投影中投影中心无变形，等变形线为以投影中心为圆心的

20、同心圆。心为圆心的同心圆。等角、等距和等积的变形特征同正轴方等角、等距和等积的变形特征同正轴方位投影。位投影。4应用应用常用于制作赤道附近地区和东西半球图常用于制作赤道附近地区和东西半球图。成都理工大学测量工程系斜轴方位投影斜轴方位投影1投影条件投影条件投影面为平面，切点位于两极投影面为平面，切点位于两极和赤道间的任一点上。和赤道间的任一点上。2经纬线形状经纬线形状中央经线投影为直线，其他经中央经线投影为直线，其他经线投影为对称于中央经线的曲线线投影为对称于中央经线的曲线，纬线投影为曲线，纬线为同焦，纬线投影为曲线，纬线为同焦点的椭圆弧。中央经线上的纬线点的椭圆弧。中央经线上的纬线间距特征同正

21、轴方位投影。间距特征同正轴方位投影。3.变形分布规律变形分布规律投影中心无变形，等变形线为投影中心无变形，等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。以投影中心为圆心的同心圆。等角、等距和等积的变形特征等角、等距和等积的变形特征同正轴方位投影。同正轴方位投影。4应用应用主要用于编制亚洲、欧洲、北主要用于编制亚洲、欧洲、北美等大区域地图。美等大区域地图。成都理工大学测量工程系方位投影变形性质的图形判别及应用方位投影变形性质的图形判别及应用判别时先看构成形式（经纬线网），判别是正轴、横轴、斜轴方位投影。然后根据中央经线上经纬线间隔的变化，判别变形性质。 成都理工大学测量工程系 圆锥投影按变形性质分为等角、

22、等积和等距圆锥投影三种， 正轴割圆锥投影正轴割圆锥投影成都理工大学测量工程系1投影条件投影条件投影面为圆锥面，圆锥与球体相割。投影面为圆锥面，圆锥与球体相割。2经纬线形状经纬线形状纬线呈同心圆弧，经线为交于圆心的直线束，为纬线呈同心圆弧，经线为交于圆心的直线束，为同心圆弧的半径，经线间的夹角与经差呈正比。同心圆弧的半径，经线间的夹角与经差呈正比。3.变形分布规律变形分布规律两条割线投影后没有变形，两条标准纬线向外为两条标准纬线向外为正变形，向里为负变形，正变形，向里为负变形，凡是距标准纬线越远，变形绝对值越大。距离相等的地方，变形数量相等，因此圆锥投影上等变形线与纬线平行。 等角、等积、等距的纬线间距特征同方位投影等角、等积、等距的纬线间距特征同方位投影4. 应用应用：中纬地区东西略长，南北稍宽地区的地图中纬地区东西略长，南北稍宽地区的地图成都理工大学测量工程系 新编国际百万分一地图采用新编国际百万分一地图采用 双标准纬线等角正双标准纬线等角正割圆锥投影割圆锥投影，自赤道起按，自赤道起按纬差纬差4分带，北纬