例谈回避分类讨论的优化策略(中学理科)

1、例谈回避分类讨论的优化策略浙江省诸暨市学勉中学 （311811）郭天平分类讨论是一种重要的数学思想方法和解题策略，渗透到整个中学数学每个章节，一直是 高考屮的热点和重点，由于这类题目综合性强，逻辑性严，探索性开放，自然也是高考的难点. 我们在重视分类讨论思想应用的基础上，也要注意克服动辄加以讨论的思维定势，要充分挖掘 数学问题中潜在的特殊性和简单性，尽力打破常规，避免不必要的分类讨论.下面通过举例谈谈 如何避免分类讨论的优化策略.一、巧用公式，回避讨论由于三角函数部分公式繁多，解题屮要尽量避免由于角的条件去讨论三角函数的符号，因 此选择恰当的公式，可冋避讨论，化繁为简.例1已知ctga = i

2、n, a g （龙,2龙）,求cos a的值.< 3兀、3)ae71.和qw2兀< 2丿< 2 )分析 若选用公式tga = ,cos = ± . 1 来求，必须对aw （龙,2龙）分两部分 ctga+分别讨论cosa及加的符号；若根据azm 的范围，直接选用恰当的平方关系式，则可有效地避开讨论.解 a w (龙,2兀)， sin a v 0，故 cos a = ctga sin =vl + m2二、引参换元，回避讨论引入参变量，作为揭示变量间的内在联系的媒介，能帮助对运动变化过程作出定量的刻画, 消化难点，化难为易.x兀$例2解不等式>兰一 7177 宀 1

3、分析本题按常规解法是去分母，两边平方去根号，而且需要讨论左右的正负情况，若我们 注意观察原不等式，引入参数，进行三角换元，可避免繁琐的解题过程.（兀兀、解 令x = tan a , ae，,则原不等式可化为：2sin2 a-sina- < 0 ,解得i 2 2；丄vsinavl,故 sa 拦,tan6r>-,所以原不等式的解集为（3,+oo）.2 6233三、分离参数，反客为主，回避讨论在含参数的方程或不等式中，若能通过适当的变形，使方程或不等式的一端只含有参数的 解析式，另一端是无参数的的主变元函数，从而分离参数，反客为主，接下去需解有关主变元 函数的有关问题，往往可以回避讨论.

4、例3若/(兀)=(a-dlog；jt+o+i在cig 0,1时恒为正数，求实数无的取值范围.分析 本题形式上是关于log3x的二次函数，如果用换元的方法去讨论，明显较繁.若能 变更主元把原函数看成是关于。的一次函数，问题便迎难而解了.解 设关于° 的函数 g(a)= (a-dlog j r-6slogs x+alqog3j x6kg,r + l 当gw 0,1时 g)> 0恒成立.|-6fcg5x-i-2>0“33评注：本题的解法侧重于对题意等价地“改头换面”，更直截了当地把握了问题的本质.即只须满足g(0)>0 g(l)>0-khao n iv log3x&

5、lt;- n_vxv羽.四、消除参数，回避讨论例 4 设0<x <1, a >0, aho,试比较|loga(1 -x)|-|logfl(1 + x)| 的大小.分析一般情况下比较大小我们采用作差 = |log“(l-x)|-|k)g“(l + x)|,对底数g的取值范围加以讨论脱去绝对值符号，因q是讨论因素，若能消去参数q，则可避免讨论，何乐而不 为呢！为此作商，运用换底公式，可得到明显的效果.|log“(l-x)|iog°(i + q|=10g(z)(l-x)tog(i+*)(1 一兀)iog(t又 0 v兀v 1时，> 1 + 兀 log(g)亠 >

6、; l°g(g)(1 + x)= 1 ' |log“(i 兀)| >1 x1 x五、整体化归，回避讨论例5(2002年高考题)函数y = q”在0,1上的最大值与最小值的和为3,则a =.分析 此题的常规思维是刈底数分0 vgv1,g> 1来讨论确定函数y = ax的单调性，再分 别求岀y = 在0, 1上的最大值与最小值后求。值；若从整体思维出发，单调函数在闭区间 上的最值总是在端点处达到，则可回避讨论，直接求解.解rh题设得xnax + >nin =+ r = 1 + ° = 3 ,故 cl = 2说明：将数学问题分成若干问题，逐个击破，分而治

7、z固然重要，但有时若能有意识的放 大看问题的视线，将问题视为整体，去研究整体的形式与结构，可能会起到意想不到的效果.六、数形结合，回避讨论利用函数图像、几何图形的直观性能巧妙地将数量关系与空间图形有机的结合起来，有时 也可以回避问题的讨论.例 6 已知集合 a = x| lg(x2 -2ax + a2 +1) < lg2 , b = x(x-a)x- 2)> 0,若ajb = rf求a的范围.而用数形结合来解就解析 按照不等式知识须分a>o,a = o,a<o分类讨论求出集合b ,不必讨论.由 a = x lg(x2 一 2ax + a2 +1) < lg2,解得

8、 a = (a - l,a +1)卩(a + l)>0 仇-1)>o令 fx) = (x- ax - 2)> 0 ,如图，不论 y = f(x)a>o,a = o,a<o,由 aub = 7?u>七、巧用补集思想，不正则反，回避讨论有些问题，分类讨论比较麻烦，若用补集法去考虑问题的对立面，即从结论的反面去思考 和探索，得出反面结论，结合集合性质ajcua = u ,可以将题目化难为易，化繁为简，开拓 解题思路.例7如果二次函数y =+(加-3)兀+1的图像与兀轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求加的取值范围.解析若从正面求解，必须要对“两交点均在原点右侧”，“一个交点在原点右侧另一个交 点在原点左侧”等情况进行分类讨论；若从反面考虑问题，即先考虑两个交点都在原点左侧时加 的取值范围，则由一元二次方程/2+(m-3)x + l = 0有两负根得：a = (m 一 3)2 一 4m > 03 加< <0m丄&g