微分几何期末复习题

1、微分几何复习题一、填空题1. 向量具有固7(t) =(t,3t,a)定方向，贝U a=。2. 非零向量满r(t)足的充要条r,r ,r =0件是。3. 若向量函数r(t)满足,(t)卜(t)=0,则具有固定r(t)。4. 曲线的正常r二点是指满足的点.5. 曲线在任意?(t(2t,t10. 曲线在点的r =,(t)：(t0)单位切向量是？，则曲线在点r(t°)的法平面方程是。11. 一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率，。12. 曲线r邛在t=i点处有申=2，贝u曲线在t=i对应的点处其挠率(1)=。13. 曲线x=cost，y=sint, z=t在t=0处的切线方程是。14.

2、曲线的主法向量的正向总是指向。 15. 空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量。 2216. 曲线r(t)=t -t -t, t -2t+2, 2上的点不是正常点的是t=。17. 曲线的曲率r=(t)是。18. 曲线的挠率r二，是。19. 一般螺线的曲率和挠率的关系是20. 曲率为0的曲线是,挠率为0的曲线是。21. 设有曲线C : x二，y re： z =t2，当时的切线t =1方程为,et)点的切向量为。6. 曲线在点的 7(t) = (acosht,asinht,at)t=0切向量为。7. 曲线在点的 7(t) = (a cost, asi nt,bt)t = 0 切向量为。&

3、;设曲线在P点的切向量为，主法向量为=,则过P由确:定的平面 是曲线在P点的。9.若是曲线的r(t°)7=,(t)正则点，则曲线在的r=r(t)r(t°)密切平面方程22. 设有曲线x = etcotsy=etsihz = et ,当时 的切线t=0方程为。23. 曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面 积等都是的的不变量。24. 在旋转曲面r = : (t)cos比(t)sin叫(t)?中，是旋转曲面 的经线。25. 若点(uo, vo)为曲面的正则点，则賈rV在(uo, vo)满足。26. 曲面在点的z =z(x,y) (xo, yo,zo)法线方程是。27. 直纹面的参数

4、表示总可以写成：二。28. 如果曲线族u -和曲线族处v -处不相切，则称相应的坐标网为。29. 曲面上一族 坐标曲线是 测地线，另一族为它 的正交轨线 的坐标网是?。31. 已知曲面的：=r(u,v)第一类基本量为E、F、G,则两方向du:dv与垂直' u : v 的充要条件 是。32. 对曲面 r =：(u,v)有d'2 =4du2 3dv2,则曲面上曲 线 u=u(t),v=v(t)从to 到 t(t >to)的弧长 s = 。33. 若曲面r r (u, v)在(0，1)点处的第二基本形式- -du2 3dv2，则在(0，1)点处，；£ =。其中为曲面n

5、的单位法向量。34. 已知曲面的? =r(u,v)第二类基本量L、M、N,则曲面上渐近曲线的微分方程是。35. 若曲面的第r = r (u,v) 一基本形式为ds Edu2 Gdv2，曲面在一点的切向与ud?-线的夹角为二,则曲面在这点沿切方向dr的测地曲率kg=。36. 挠率的曲线其副 法向量是常向量。37. 曲线在点的；-r(t) P(to)主法向量是，贝U曲线在P点的从切平面方程是。38. 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是39. 曲面上一曲 线，如果它每一 点的切方向 都是主方向，则称该曲线为。40. 半径为R的球面的高斯曲率K=。41. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的恒等

6、于零。42. 在可展曲面上，测地三角形的三内角之和。43. 球面'二 Rcoscosv,Rcossi nv,Rs in：:上，线是球面上的纬圆。44. 在曲面上圆点，其第一、第二类基本 量满足关系。45. 曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是。38.曲面上的曲纹坐标网为正交网的充？要条件是。46. 极小曲面是指的曲面。47. 曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的的最大值和最 小值48. 两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是。49. 设曲面在点P处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的。50. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率，使法曲率达到最大值和最小值

7、的方向是曲面的方向51 .距离单位球面球心距离为d (0<d<1)的平面与球面的交线的曲率 为，法曲率为。52. 在脐点处曲面的第一、第二类基本量满足,把第二类基本量L=M=N=0的脐点称为 。53. 法曲率的最大值和最小值正好是,使法曲率达到最大值和最小值的方向是方向54. 平面的第一 r =(u,v,0)基本形式为。55. 悬链面的第 r = (cosh u cosv,cosh us in v,u) 一类形式是56. 曲面上坐标z =axy曲线x = x0, y - y0的交角的余弦值是57. 正螺面的第：=(ucosv,usinv,bv) 基本形式是。58. 双曲抛物面r =

8、(a(u v), b(u - v),2 uv)的第一基本形式是59. 正螺面的平,=(ucosv,usi nv,bv)均曲率。60. 函数是主曲'n率的充要条件是。61. 方向是主方(d) =du:dv向的充要条件是 。62. 根据罗德里格定理，如果方向是(d) = (du : dv)主方向，则其中是曲面？二-kn沿方向(d)的法曲率。63. 旋转曲面中的极小曲面必是平面 ？一64. 空间曲面的 基本 式中？的Gauss式是 是065.设曲面S上？的曲线C在？P点的曲率？为k,测地曲率为？耐法曲率为？n则它 之间 ？手关系是。66设曲面S上？的曲线C在？P点的曲率？为K测地曲率为？也切

9、方向上的？法曲 率为? n则它之间？手关系是67.68.69.70.如果曲面S上的 在直？线则此直线的测地曲率为? 测地线的方程为简单光滑闭曲线的Ga - 逐段光滑简单闭曲线的 单 题 ？1.下面各量中，不是内蕴量的是A.曲面上曲线的曲率；C.曲面上测地三角形的内角和;式是 t式是(B.D.)曲面上曲线的测地曲率； 曲面的高斯曲率。2.圆 螺线在=cost,y=sint,z=t点的切线为?1,0,0()A x1y zA.011C. 口/上；1 0 0B. y z = 0 ;3.圆 螺线的r =(cost,sin t,t)切线与z轴 ()A. 平行；C.有固定夹角;4B .垂直；D .有固定夹角

10、。34.设有平面曲线C：r=r(s) , s为自然参数，叙述错误的是:是曲线的基本向量.下列5.A. :-为单位向量;直线的曲率k为A.-1; B . 0;()C . 1; D.2。关于平面曲线的曲率C：rr(s),s为自然参数，不正确的是()%)|; C . k(s) = -，7 ;A. k(s)二B . k(s)=|半(s) , ®为的旋转角&(s)；D. k(s)=ir(s)i。D . :。7.设曲线在Pr r (s) (s)点的基本向量是，：，则下列 述 不正确的是()系为7.曲线在点的"X =a(t - sint), y = a(1 - cost), z

11、=4asin£)匕切线与轴关zB .平行； C.成的角；3&曲线F二F(s)在P(s)点的基本向量是：，1叫，曲率式(A )不正确。A. 丁 = / ； B.匸一k，“ ； C. T "；A.垂直;成-的角。k(s),挠率.(s)，则下D.9.过空间曲线C上点P(非逗留点)的切线和P点的邻近点Q的平面，当Q沿曲 线C趋于点 时，平面n的极限位置称为曲线C在P点的(); D.不在。()D.平面曲线。()D.垂直。A.法平面； B.密切平面；C.从切平面;10. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是A.直线； B.圆； C.圆螺线；11. 平面曲线的密切平面与曲线所在平面A.

12、相交； B.平行； C.重合； I 下面曲线中是一般螺线的是A.平面曲线；B.圆螺线； C.直线；曲线卩二N(t)在P(t)点的曲率为k ,挠率为， 户也-B k-2 ； .<3 ?12.13.14.对于向量函 数r (t)，若r (t) _ r (t)，则()a.r(t)是定长向量；C. F(t)是定向向量;15.16.A.C.空间曲线的形状由()决定A. 由曲率和挠率； C.仅由挠率； 曲率是常数的曲线 定是直线； 定是球面上的曲线；仃.圆螺线 r = (a cost, a si nt,bt)A .为 90 ; B. 0 ; C.()D.球面曲线。则下列式子()不正确。;D.。b.

13、r (t)定长向量;d. r(t)是定向向量。B. 仅由曲率；D.由参数的取.B. 一定是圆；D. 答案A,B,C都不对.在任一点的切线与轴的z夹角()与t有关;D.与b有关。2 2Z2 =1数表示为c2x18.椭球面的参'2a bA. (x, y, z) = (cos cos j,cos sin v,sin :);B. (x, y, z) = (acos :cosv,b cos :sin v,sin );C. (x, y,z) = (acos cosv,bcos sin v,csin );D. (x, y, z) = (acoscosbsin 'coshes in 2旳。2

14、2 219. 以下为单叶双曲面的参 笃爲-刍=1数表示的是 ()a b cA. (x, y, z) = (acoshu sin v,bcosh u cosv,sinh u);B. (x, y, z) = (cosh ucosv,cosh usin v,sinh u);C. (x, y, z) = (as in h ucosv,bs in h us in v,ccoshu);D. (x, y, z) = (acoshu cosv, bcoshu sin v, csinh u);2 2 220. 以下为双叶双曲面的参2y? -令-1数表示的是()a b cA. (x, y, z) = (as in

15、 h ucosv, bs in h us in v, ccoshu);B. (x, y, z) =(acosh ucosv,bsinh u sin v,ccoshu);C. (x, y, z) =(acosh ucosv,bcoshusin v,csinh u);D. (x, y, z)二(cosh u cosv,cosh u sin v,sinh u)。2 221. 以下为椭圆抛物面的参仔 每=2z数表示的是()a b2 2A. (x, y,z) = (u cosv,u sinv, ) ; B. (x, y, z) = (au cosv, bu sin v, );2 22C. (x, y,z

16、) = (aucosh v,bu sinh v,) ; D. (x, y, z) = (acosv,bsin v,v)。22 222. 以下为双曲抛物面的参 耸-十=2z数表示的是()a bA . (x, y, z) = (a coshu, bsinh u,u) ; B. (x, y,z) = (cosh u,sinh u,u);23. 曲面在点的r =(2u v,u2 v2,u3 v3) M (3,5,7)切平面方程为()A. 21x 3y -5z 20 =0 ;B. 18x 3y - 4z - 41 = 0 ;DDC. 7x 5y6z18 = 0 ;D. 18x 5y3z 16 = 0。2

17、4. 球面的第一 r = (Rcosu cosv,Rcosusinv, Rsinu)基本形式为()A. R2(du2 sin2udv2) ; B. R2(du2 cosh2udv2);C. R2 (du2 sinh2udv2) ; D. R2 (du2 cos2 udv2)。25. 正圆 面的r =(Rcosv,Rsinv,u)第一基本形 式为 ()2 2 2 2A. du dv ; B. du -dv ;26. 在第一基本形式为的曲曲u =v(w vv2)线段的弧长为A. coshv2 -coshw ；C. coshw -coshv2 ；2 2 . 2 2 2 . 2C. du R dv ；

18、 D du - R dv 0I = du2 sinh2 udv2面上，方程为的 ()B. sinh v2 -sinh v(;D. sinh w -sinh v2。27. 曲面的参数？曲线网为正交曲线网的充要条件是（）A. E = 0; B. F = 0 ; C. G=0 ; D. M =0。228. 为第一类 玄基本量，则gjg» =（）i, TA. 1; B. 0;C. 1; D. 2 o29. 为 Ch?- k fel 符号，贝k 二（）1 2A.gkl2 i斗角il+期|gjf jil(cucucuB.klSi-ugjii1 2k I klD. j g2 i d30. 曲面上直

19、线（如果有的话）的测地曲率等于 （）A. 0; B. 1 ; C. 2; D. 3o31. 当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（）A.1；:l n E2 * E ；:uB.C.D.1；:l n E 0厶G ju32. 如果测地线同时为渐进线，则它必为（）A.直线； B.平面曲线；C.抛物线；D.圆螺线。33. 在伪球面上（K三1），任何测地三角形的内角之和（）A.等于二； B.小于二； C.大于二； D.不能确定34. 曲面上一点处的两个主方向之间的夹角B为（）A. :1 _ 0 ； B.； C. 31 -二； D.不确定。235. 设曲面的第一、二基本形式？分别为I二Edu

20、2 Gdv2, II二Ldu2 Ndv2,则曲面的两个主曲率分?5是 L , N()B. k-rk-iN ；C.1:T n E2 ；G -VD.a. k1 =已,k2 =石；36. 曲面的坐标网是正交网的充要条件是（）A. M = 0； B. L = N = 0；C. M = F = 0； D. F = 0。37. 等距等价的两曲面上，对应曲线在 对应点具有相同的（）A.曲率； B.挠率； C.法曲率；D.测地曲率。38. 下面关于曲面上主方向的说法，不正确的一 是（）A.脐点处，任何方向都 是主方向；B.非脐点处，主方向垂直；C. 脐点处，无主方向；D.非脐点处，有且仅有两 个主方向。39.

21、 在 取曲率 线网作为参数曲线网时，曲面的两个主曲率k1, k2为（）C.D.k1N 丄在,k2飞。_()_B. - =. LN - M 2dudv ；DD. - -. M 2 - LNdudv40.设曲面的第 S:r ='（u,v）,（u,v） D 一、二类基本量 为 E, F,G 和 L,M , N，则曲面的面积为A.厂-.EG -F2dudv ；DC. F2 - EGdudv ；41. 下面各量中，内蕴量的是（）A.曲面上曲线的曲率；B.曲面上曲。线的法曲率;C.曲面的平均曲率；D.曲面的高斯曲率42. 在椭圆点处，曲面的第二类基本量满足（）2A. LN -M 0 ；2B. LN

22、 -M :：: 0 ；2C. LN - M 2 =0 ；D.43. 在不含脐点的曲面上，坐标曲线网 成为曲率线网的充要条件是（）A. M = 0； B. L = N = 0； C. M = F = 0； D. F = 0。44. 反映法曲率随方向而变化的变化规律的欧拉)式是 ()2 2 2 2 2 2 2A.kn=ki cos vk2sin二； B. kn =k1cos vk2sin ：；C. kn 二 k1 cost k2sin T ；D. kn 二 k； cos% k； sin2 r45. 对于曲面的第一基本形式I2 2 2= Edu2 2Fdudv Gdv2,EG-F2A. 0 ； B. : 0 ； C. _ 0 ； D. _ 0。46. 曲面上每一点处的主方向（）A.只有一个；B.至少两个；C.只有两个；D.也可能不 在。47. 下列曲面中，不是可展曲面的曲面是（）A.面； B.锥面；C. 一条曲线的切线曲面；D.正螺面。48. 曲面的第一 r二r（u,v）、第二基本形式分别为，曲面上曲线（C）在p点的曲率k、沿切