两类抽象函数的周期性与对称性探究

1、    两类抽象函数的周期性与对称性探究    徐永贤【摘要】抽象函数不仅是高中数学教学的难点，也是高考的热点，特别是抽象函数中的周期型抽象函数和对称型抽象函数问题，是绝大多数学生最困惑、最难以解决的问题，因此，熟练掌握这两类抽象函数是非常重要的.【关键词】周期型;对称型;抽象函数在日常学习中，抽象函数是经常困扰学生学好函数的拦路虎，要想学好抽象函数就得熟练掌握两种类型的抽象函数：周期型抽象函数和对称型抽象函数，下面就这两类抽象函数做一些探究，供大家参考学习.一、周期型抽象函数（一）f（x）=f（x+t）型周期函数周期函数定义：对于函数f（x），如果存在

2、一个非零常数t，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+t）=f（x），那么函数f（x）就叫作周期函数，非零常数t叫作这个函数的周期.例1设f（x）是定义在r上的偶函数，图像关于x=1对称，任给的x1，x20，12都有f（x1+x2）=f（x1）f（x2）且f（1）=a>0.求证：f（x）是周期函数.证明f（x）的图像关于x=1对称，f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），xr.又由f（x）是偶函数知f（-x）=f（x），xr，f（-x）=f（2-x），xr，将上式中-x以x代换得f（x）=f（x+2），f（x）是r上的周期函数，且2是它的一个周期.（二）f（x+a）=

3、f（b+x）型周期函数若f（x+a）=f（b+x），则函数f（x）的周期为t=|b-a|.证明令x=x-a，则f（x）=f（x+b-a）.例2偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x0，1时，f（x）=x2，则关于x的方程f（x）=110x在0，103 上根的个数是（）a.1个b.2个c.3个d.4个解由已知条件f（x-1）=f（x+1）得周期为t=2，又在x0，1时，f（x）=x2，且f（x）是偶函数，f（x）=x2，x-1，1，f103=f103-4=f-23=f23，由图知f（x）=110x在0，3上根的个数是3个，y=1103=11000<f23=49，f（x）=11

4、0x在3，103上根的个数是0个.故关于x的方程f（x）=110x在0，103上根的个数是3个.因此，选c.（三）f（x+a）=-f（x+b）型周期函数若f（x+a）=-f（x+b），则函数f（x）的周期t=2|b-a|.证明令x=x-a，f（x）=-f（x+b-a）.令x=x-b，f（x+a-b）=-f（x）.由得-fx+（a-b）=-fx+（b-a），fx+（a-b）=fx+（b-a），t=2|b-a|.例3设f（x）是定义在r上的函数，对任意的xr均有f（x）+f（x+2）=0，当-1<x1时f（x）=2x-1，求当1<x3时，f（x）的解析式.解由任意的xr有f（x）=-f

5、（x+2），得t=2|2-0|=4.設x（1，3，则（x-2）（-1，1，于是f（x-2）=f（x-2+4）=f（x+2）=-f（x），f（x）=-f（x-2）=-2（x-2）-1=-2x+5，故当1<x3时，f（x）=-2x+5.二、对称型抽象函数f（a+x）=f（b-x）（或f（2a-x）=f（x）或f（2a+x）=f（-x）型对称函数 若f（a+x）=f（b-x），则函数f（x）图像的对称轴为x=a+b2. 若f（2a-x）=f（x），则函数f（x）图像的对称轴为x=a. 若f（2a+x）=f（-x），则函数f（x）图像的对称轴为x=a.下面仅对结论进行证明，可类似证明.证明要证函数f（x）图像的对称轴为x=a+b2成立，只需证fa+b2+x=fa+b2-x.令x=b-a2+x，代入f（a+x）=f（b-x），则fa+b2+x=fa+b2-x.抽象函数的学习，必须灵活把握两类函数中a，b的不同取值，以及注意函数f（x）前正负号的差异，并通过不断的学习积累，对抽象函数的学习才能达到事半功倍的效果.数学学习与研究2018年18期数学学习与研究的其它文章创设教学情境，提高教学效率初中数学教学中对学生直觉思维的培养