南大复变函数与积分变换课件(PPT版)1.3 平面点集的一般概念

1、1第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 1.3 平面点集的一般概念平面点集的一般概念一、平面点集一、平面点集二、二、区域区域三、三、平面曲线平面曲线2第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 一、平面点集一、平面点集1. 邻域邻域设设 为复平面上的一点，为复平面上的一点，定义定义0z,0 z0 z0(1) 称点集称点集 为为 点的点的 邻域邻域；| :0 zzz0z (2) 称点集称点集 为为 点的点的 去心邻域去心邻域。|0:0 zzz0z 3第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 内点内点一、平面点集一、平面点集2. 内点、外点与边界点内点、外点与边界点

2、;0gz (1)内点内点外点外点边界点边界点考虑某平面点集考虑某平面点集 g 以及某一点以及某一点 ，0z,| :0 zzz(2),0 有有.gz 外点外点;0gz (1),| :0 zzz(2),0 有有.gz 边界点边界点0z(1)不一定属于不一定属于 g ；在在 中，中， |0zz(2),0 既有既有,gz 又有又有.gz 边界边界 g 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 g 的的边界边界。4第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 3. 开集与闭集开集与闭集开集开集 如果如果 g 的每个点都是它的内点，则称的每个点都是它的内点，则称 g 为为开集开集。一、平面点集一、平面点

3、集闭集闭集 如果如果 g 的边界点全部都属于的边界点全部都属于 g ，则称，则称 g 为为闭集闭集。4. 有界集与无界集有界集与无界集定义定义 若存在若存在 ，使得点集，使得点集 g 包含在原点的包含在原点的 邻域内，邻域内，0 则则 g 称为称为有界集有界集，否则称为否则称为非有界集非有界集或或无界集无界集。5第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 二、二、区域区域1. 区域与闭区域区域与闭区域区域区域 平面点集平面点集 d 称为一个称为一个区域区域，如果它满足下列两个条件，如果它满足下列两个条件:(1) d 是一个开集；是一个开集；(2) d是是连通连通的，的，闭区域闭区域 区

4、域区域 d 与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域或或闭域闭域, 记作记作 d。不不连连通通的一条折线连接起来。的一条折线连接起来。即即 d 中任何两点都可以用完全属于中任何两点都可以用完全属于 d连通连通6第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 二、二、区域区域2. 有界区域与无界区域有界区域与无界区域 ( (顾名思义顾名思义) )3. 内区域与外区域内区域与外区域（如何围出面积最大的区域）定义定义 一条一条“简单闭曲线简单闭曲线( (?) )”把整个复平面分成两个区域，把整个复平面分成两个区域， 其中其中有界有界的一个称为该的一个称为该简单闭曲线的简单闭曲线的内部内部

5、( (内区域内区域) )，称为该简单闭曲线的称为该简单闭曲线的外部外部( (外区域外区域) )。4. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域定义定义 设设 d 为区域，如果为区域，如果 d 内的任何一条简单闭曲线的内的任何一条简单闭曲线的内部内部仍仍属于属于 d，则，则 d 称为称为单连通域单连通域， 多连通域多连通域又可具体分为又可具体分为二连域二连域、三连域三连域、 。另一个另一个否则称为否则称为多连通域多连通域。7第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 a 省省( (二连域二连域) )( (三连域三连域) )二、二、区域区域4. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域a 省省(

6、(单连域单连域) )b 省省( (单连域单连域) )b 省省( (非区域非区域) )举例举例( (杜撰杜撰) )飞地飞地8第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 ;1| )2(| iz区域区域1 2 + i闭区域闭区域3/( (角形角形) )区域区域;0 x9第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 三、三、平面曲线平面曲线1. 方程式方程式 在直角平面上在直角平面上.0),( yxf 在复平面上在复平面上.0)( zf 如何相互转换如何相互转换？( (比较熟悉比较熟悉) )( (比较陌生比较陌生) )(1)0),( yxf2/ )(zzx )2/()(izzy .0)(

7、 zf(2)0)( zfyixz .0),( yxf( (建立方程建立方程) )( (理解方程理解方程) )10第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 .4)1(22 yx.0 y.xy .1)3(22222 yx.122 yxi i(1)i i(2)2i 2(3)1 12 2i3i3 (4)1 1(5)11第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 三、三、平面曲线平面曲线2. 参数式参数式 , )(, )(tyytxx 在直角平面上在直角平面上. )( t, )()()(tyitxtzz 在复平面上在复平面上. )( t例如例如 考察以原点为圆心、以考察以原点为圆心、以

8、 r 为半径的圆周的方程为半径的圆周的方程。)()()( yixzz (2) 在复平面上在复平面上 ,sin)(,cos)( ryyrxx(1) 在直角平面上在直角平面上. )20( , )sin(cos ir . )20( ,e irz 12第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 三、三、平面曲线平面曲线3. 曲线的分类曲线的分类, )()()(tyitxtzz 考虑曲线考虑曲线. )( t简单曲线简单曲线当当 时，时，, ,2 t. )()(21tztz 21tt , ),(1 t简单闭曲线简单闭曲线. )()( zz 简单曲线且简单曲线且光滑曲线光滑曲线.0)( tz在区间在

9、区间 上，上，和和 连续且连续且, )(tx )(ty 简单、不闭简单、不闭简单、闭简单、闭不简单、闭不简单、闭不简单、不闭不简单、不闭13第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 三、三、平面曲线平面曲线4. 有向有向曲线曲线定义定义 设设 c 为平面上一条给定的光滑为平面上一条给定的光滑( (或分段光滑或分段光滑) )曲线曲线，指定指定 c 的两个可能方向中的一个作为正向的两个可能方向中的一个作为正向，则则 c 为带有为带有方向的曲线，称为方向的曲线，称为有向曲线有向曲线，仍记为，仍记为 c。代表与代表与 c 的方向相反的方向相反( (即即 c 的负方向的负方向) )的曲线。的曲线。如果如果 c相应地，相应地， 则则14第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 逆时针方向。逆时针方向。区域区域区域区域三、三、平面曲线平面曲线4. 有向有向曲线曲线 简单闭曲线的正向一般简单闭曲线的正向一般约定约定为为：当曲线上的点当曲线上的点 p 顺此方向沿曲线顺此方向沿曲线前进时前进时, 区域边界曲线的正向一般区域边界曲线的正向一般约定约定为为：当边界上的点当边界上的点 p 顺此