2020年三年全国各地中考数学真题分类汇编：等腰三角形

1、2020年全国各地中考数学真题分类汇编等腰三角形一. 选择题1. （2020肇庆）等腰三角形两边长分别为4和 8，则这个等腰三角形的周长为A 16B 18C20D16 或 20【解析】 先利用等腰三角形的性质 :两腰相等；再由三角形的任意两边和大于第三边, 确定三角形的第三边长, 最后求得其周长 .【答案】 C【点评】 本题将两个简易的知识点 :等腰三角形的两腰相等和三角形的三边关系组合在一起 .难度较小 .2（ 2020 江西） 等腰三角形的顶角为 80°，则它的底角是（）A 20°B 50° C 60° D 80°考点：等腰三角形的性质。分

2、析：根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数解答：解：等腰三角形的一个顶角为80°底角=（180° 80°）÷ 2=50°.故选 B 点评：考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单.3. （2020?中考）把等腰 ABC沿底边BC翻折，得到 DBC那么四边形 ABDC（）解答：解：等腰 ABC沿底边BC翻折，得到 DBC四边形ABDC是菱形，菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，四边形ABDC既是中心对称图形，又是轴对称图形.故选 C.点评：本题考查了中心对称图形，等腰三角形的性质，轴对称图形，判断出四边形AB

3、DC是菱形是解题的关键.4. （2020荆州）如图， ABC是等边三角形，P是 ABC的平分线BD上一点，PEAB于点E,线段BP的垂直平分线交 BC于点F,垂足为点 Q若BF= 2,则PE的长为（）A . 2 B .2.3 C .3 D . 3【解析】题目中已知了 ABC是等边三角形，联想到等边三角形的三边相等、三角相等、三线合一的性质。本题中，有含有30°角的直角三角形，要想到30°角的直角边等于斜边的一半。第9题图 ABC是等边三角形，BD是 ABC勺平分线，1 所以 ABD CBD= ABC=30。2在直角 QBF中, BF= 2, CBD=30 ,所以 BQ= 3

4、 .FQ是 BP的垂直平分线,所以BP=2BQ=2 3在直角 PBE中,BP=23, ABD =30 ,1所以 PEd BP= 3 .2【答案】C【点评】题目中已知了 ABC是等边三角形，联想到等边三角形的三边相等、三角相等、三线合一的性质。本题中，有含有30°角的直角三角形，要想到 30°的角所对的直角边等于斜边的一半。5. （2020铜仁）如图，在 ABC中， ABC和 ACB的平分线交于点 E,过点E作MN/ BC交AB于M 交AC 于N,若BM+CN=9则线段 MN的长为（）A. 6 B. 7 C. 8D. 9考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质。解答：解：

5、ABC ACB的平分线相交于点 E, MBE EBC ECN ECB MN/ Bq EBC MEB NEC ECB MBE MEB NEC ECN BM=ME EN=CN MN=ME+EN即 MN=BM+CN BM+CN=9 MN=9故选 D6.（2020?资阳）如图， ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点， ADE DACDE=AC运 用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（）A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B 有一组对边平行的四边形是梯形C. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D 对角线相等的四边形是矩形考点： 平行四

6、边形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定；梯形；命题与定 理。分析： 已知条件应分析一组边相等， 一组角对应相等的四边不是平行四边形， 根据全等三角形判定方法得 出 B= E, AB=DE进而得出一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，得出答案即 可解答：解：A. 组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，根据等腰梯形符合要求，得出故 此选项错误；B. 有一组对边平行的四边形是梯形，若另一组对边也平行，则此四边形是平行四边形，故此选项错误；C. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形， ABC是等腰三角形， AB=AC B= C,TDE=AC A

7、D=AD ADE DAC即， ADE DAC E= C， B= E， AB=DE，但是四边形ABDE不是平行四边形，故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，因此C符合题意，故此选项正确；D. 对角线相等的四边形是矩形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；故选： C点评： 此题主要考查了平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定，结合已知选项， 得出已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形是解题关键7（2020 攀枝花） 已知实数 x， y 满足，则以 x， y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A 20 或 16 B 20 C 16 D 以上答案均不对 考点

8、：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系。 分析：根据非负数的意义列出关于x、y 的方程并求出 x、y 的值，再根据 x 是腰长和底边长两种情况讨论求解解答：解：根据题意得解得，（1）若 4 是腰长，则三角形的三边长为： 4、4、8，不能组成三角形；（2） 若 4 是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8， 能组成三角形，周长为 4+8+8=20故选 B 点评：本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质， 分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断根据题意列出方程是正 确解答本题的关

9、键& （2020广安）已知等腰厶ABC中，AD BC于点D,且AD=BC则厶ABC底角的度数为（）A45°B 75°C 45°或 75°D60°考点： 等腰三角形的性质；含 30度角的直角三角形；等腰直角三角形。分析：首先根据题意画出图形，注意分别从BAC是顶角与 BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案.解答：解：如图1 : AB=AC AD丄 BC BD=CD=BC ADB=90 , AD=BC AD=BD B=45,即此时 ABC底角的度数为45°女口图 2, AC=BC AD丄 Bq AD

10、C=90 , AD=BC AD=AC C=30 , CAB=/ B=75 ,即此时 ABC底角的度数为75°综上， ABC底角的度数为45°或75°.故选C.点评：此题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理此题难度适中，注意数 形结合思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键.9. （2020 孝感）如图，在 ABC中，AB=AC A =36°, BD平分 ABC交 AC于点 D,若 AG2,贝U AD的长A.D.51【解析】根据三角形特点，先求出角的度数，从而得到三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例即可求得.在 ABC中，ABAC

11、, A=36°, ABC ACB72° BD平 ABC ABD CBD36°, BD=AD=BC, BDC72 ABC BCD故：AB： BC=BC： CD设 AD=X,贝U BC=x, CD=2-x, 2 : X= X : (2- x)解得X= 5 1或X=.、5 1 > AC (舍去)【答案】C【点评】题考查了相似三角形的证明和性质，本题中求证三角形相似是解题的关键.10. （2020潜江）如图， ABC为等边三角形， 点E在BA的延长线上， 点D在BC边上，且ED=EC若厶ABC 的边长为4, AE=2,则BD的长为（）A.2B-3CD.+ 1考点：平

12、行线分线段成比例；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。分析：延长BC至F点，使得CF=BD证得 EBD EFC后即可证得 B= F,然后证得 AC/ EF,禾U用平 行线分线段成比例定理证得CF=EA后即可求得BD的长.解答：解：延长BC至F点，使得CF=BD ED=EC EDB ECF EBD EFC B=F ABC是等边三角形， B= ACB ACBF AC/ EF AE=CF=2 BD=AE=CF=2故选A.点评：本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线.11. （ 2020孝感）如图，在菱形 ABCDh A=60°, E, F分别是AB AD的中点

13、，DE BF相交于点G连 接BD CG有下列结论： BGD120。：BGDGCG BDF CGBSABD 昱 AB2 其中正确4的结论有（）A 1个B 2个 C 3个D 4个【解析】根据题意， ABD是等边三角形，由此可推得 BG=DG EBG GCB30° , GBC90° ;1因为直角三角形中 30°角所对的边等于斜边的一半，所以BG=IGC显然COBD BDFn CGBF可能全2等；故，正确.【答案】C【点评】考查菱形的性质和轴对称及等边三角形等知识的综合应用.根据A=60°得到等边三角形厶 ABD是解本题的关键.二.填空题12. （2020广元）

14、已知等腰三角形的一个内角为80°,则另两个角的度数是【答案】50°, 50° 或 80°, 20°。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】分情况讨论:（1）若等腰三角形的顶角为80°时，另外两个内角 =（180° 80°）÷ 2=50°（2）若等腰三角形的底角为80°时，顶角为 180° 80° 80° =20°。等腰三角形的一个内角为80°,则另两个角的度数是50°, 50°或80°, 20

15、°。13. （ 2020绥化）等腰三角形的两边长是3和5,它的周长是 【解析】 解：题中给出了等腰三角形的两边长，因没给出具体谁是底长，故需分类讨论：当3是底边长时，周长为5+5+3=13;当5是底边长时，周长为 3+3+5=11.【答案】11或13.【点评】 本题考查了等腰三角形中的常见分类讨论思想，已知两边求第三边长或周长面积等，解决本题的关键是注意要分类讨论，但注意有时其中一种情况不能构造出三角形，考生稍不留神也会写出这种不合 题意的答案.难度中等.14. （ 2020哈尔滨）一个等腰三角形静的两边长分别为5或6,则这个等腰三角形的周长是 _.【解析】 本题考查等腰三角的性质、

16、三角形三边关系因为等腰三角两腰相等，所以其三边可能是5、5、6或6、6、5 ,经检验两种可能都能组成三角形，所以这个三角形周长是16或17.【答案】16或17【点评】本题易忽略检验能否组成三角形，注意分类讨论思想的运用15. （ 2020遵义）一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm,则这个三角形的周长为解析：由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为4cm;（2）当等腰三角形的腰为 8cm;两种情况讨论，从而得到其周长.解: （1）当等腰三角形的腰为 4cm,底为8cm时，不能构成三角形.（2）当等腰三角形的腰为 8cm,底为4cm时，能构成三角形，周长为 4+8+8

17、=20cm.故这个等腰三角形的周长是20cm.故答案为：20cm.答案：20cm点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目 定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行答 案，这点非常重要，也是解题的关键.16. （ 2020随州）等腰三角形的周长为 16,其一边长为6,则另两边为 。解析：当边长为6的边为腰时，则底时，则另两边分别为5、5,根据三角形三边关系可知，三边也可以构 成三角形。所以两种情况均成立。答案：6和4或5和5点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的边角关系。在题中没有明确所给边为底边还是腰时，要分类讨论，分别求解

18、。且对于求出的边长要根据三角形边角关系进行验证，以防止三边不能构成三角形。17. （ 2020黄冈）如图，在 ABC中，AB=AC A=36° AB的垂直平分线交 AC点E,垂足为点D,连接BE则 EBC的度数为 ° .【解析】在厶ABC中，AB=AC A=36°得： ABC C=72° .由AB的垂直平分线交 AC得AE=BE ' ABE= A=36°, EBC=72 -36 ° =36° .【答案】36°【点评】本题主要考查等腰三角形和线段中垂线的性质难度中等18. （ 2020?宁波）如图，AE/ B

19、D C是 BD上的点，且 AB=BQ ACD110°,则 EAE=40 度.考点：等腰三角形的性质；平行线的性质。分析：首先利用 ACD110。求得 ACB与 BAC的度数，然后利用三角形内角和定理求得B的度数，然后利用平行线的性质求得结论即可.解答： 解： AB=BC ACB BAC ACD110° ACB BA（=70° B= 40°, AE/ BD EAB=40°,故答案为40°.点评：本题考查了等腰三角形的性质及平行线的性质，题目相对比较简单，属于基础题.19. （ 2020 淮安）如图， ABC中，ABAC ADL BC 垂

20、足为点 D,若 BAC70o,贝U BAD=0.【解析】根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合（三线1合一），可得 BAD=丄 BA（=35o.2【答案】35o【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用三线合一是正确解答本题的关键.20. （ 2020 滨州）如图，在 ABC 中，AB=AD=DC BAD=20 ,则 C=【解析】I AB=AD BAD=20 ,' B=80 , ADC是厶 ABD的外角， ADC B+ BAD=80 +20° =100° , AD=DC C=40 .【答案】40°.【点评】 本题考查三

21、角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，AB=AD又已AD=D C由三角形内角和定理可得C的大小.CAO 25 . BCO 35 ,则知 BAD的大小，可求出 B>ADB的大小.又已知21.（2020?吉林）如图，代B,C是e O上的三点,AOB度.120.（圆周角定弧所对的圆等腰三角形的性质；圆：圆内同弧所对的圆周角与圆心角的关系 理）.利用等腰三角形两底角相等， 圆内同弧所对的圆周角都等于这条 心角的一半，即可求解解：如图，在 AOC 中，AO CO , CAO ACO 25 ,CAO ACO 25 . ACB 253560又 ACB是 AC 对的圆周角， AO

22、B是 AC 对的圆心角AOB 2 ACB 2 6012022. （ 2020莱芜）在厶ABC中,AB=AC=5 BC=6若点P在边AC上移动，则 BP的最小值是【解析】过点 A作ADL BC于点D,因为 AB=AC=5 BC=6 所以 BD=3 所以 AD=4,根据垂线段最短，当 BP AC时，BP有最小值.根据 AD?BC BP?AC 得到，4 6 5BP, BP=【答案】5245【点评】本题考察了勾股定理、等腰三角形三线合一的性质、等面积法。考察了学生解决等腰三角形解决 等腰三角形问题常加的辅助线。本题综合性强，难度中等。三.解答题23. （ 2020 肇庆）如图 5 ,已知 ACLBC

23、BDLAD AC 与 BD 交于 O, AC=BD求证：（1） BC=AD（2） OAB是等腰三角形【解析】 通过观察不难发现 ACB2 BDA从而得出BC=AD及 C AB= D BA进而推出厶OAB是等腰三 角形.【答案】 证明：（1 ） ACL BC, BDL AD D = C=90（1 分）在 Rt ACB和 Rt BDA中，A宙 BA , AC=BD - ACB BDA（ HD（4 分） BCAD（5分）（2）由厶 AC匪 BDA得 C AB = D BA OAB是等腰三角形.【点评】本题考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定,（6分）（7 分）考察了学生简单的推理能力。难度较

24、小。24. （ 2020益阳）如图，已知 AE/ BC AE平分 DAC求证：AB=AC第15题图【解析】 由AE平分 DAC得到仁 2又由两直线平行，内错角相等同位角相等，得到 仁 B, 2= C.所以有： B= C在 VABC中等 角对等边，即得到 AB=AC【答案】证明： AE平分 DA（C 仁 2. AE/ BC 仁 B, 2= C. B= C, AB=AC【点评】此题考查了角平分线的性质、平行线的性质和在三角形中等角对等边的应用，考查了学生综合运用知识来解决问题的能力，设问方式较常规，为学生熟知，能让学生正常发挥自己的思维水平，难度不大。25. （2020 济南）（2）如图 2,在厶

25、 ABC中，AB=AC A=40°,BD是 ABC的平分线，求 BDC的度数.【考点】等腰三角形的性质.【专题】证明题.【分析】（2）首先根据AB=AC利用等角对等边和已知的A的度数求出 ABC和 C的度数，再根据已知的BD是 ABC的平分线，利用角平分线的定义求出DBC的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出 BDC的度数.【解答】(2)解： AB=AC A=40°,1 ABC玄 C=_ (180° -40 ° ) =70° ,2又BD是 ABC的平分线，1 DBC= ABC=35 ,2 BDC=180 - DBC- C=75°.

26、【点评】此题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义以及全等三角形的性质与 判定，熟练掌握定理与性质是解本题的关键26. ( 2020 广东)如图，在 ABC 中，AB=AC ABC=72 .(1) 用直尺和圆规作 ABC的平分线BD交AC于点D (保留作图痕迹，不要求写作法)；(2) 在(1)中作出 ABC的平分线BD后，求 BDC的度数.考点：作图一基本作图；等腰三角形的性质。解答：解：(1)一点B为圆心，以任意长长为半径画弧，分别交 AB BC于点E F;分别以点 E F为圆心，以大于 EF为半径画圆，两圆相较于点 G连接BG角AC于点D即可.(2) 在厶 ABC 中，

27、AB=AC ABC=72 , A=180° - 2 ABC=180 - 144° =36°, AD是 ABC的平分线， ABD ABC× 72° =36°, BDC是厶ABD的外角， BDC A+ ABD=36 +36° =72°.27. ( 2020?湘潭)如图， ABC是边长为3的等边三角形，将 ABC沿直线BC向右平移，使 B点与C点重 合，得到 DCE连接BD,交AC于 F.(1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论;2)求线段 BD 的长考点： 等边三角形的性质;勾股定理;平移的性质。专题： 探究型。

28、分析： (1)由平移的性质可知 BE=2BC=6 DE=AC=3故可得出 BDLDE由 E= ACB=6O可知 ACll DE故可得出结论;(2)在Rt BDE中利用勾股定理即可得出BD的长.解答：解：(1) ACL BDA DCE由厶ABC平移而成， BE=2BC=6 DE=AC=3 E= ACB=60 , DE=BE BDL DE， E= ACB=6O°， ACl DE， BDL AC;(2)在 Rt BED中， BE=6， DE=3， BD=3.点评： 本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质， 熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键.2O2O 年全国各地中考数

29、学真题分类汇编第 23 章 等腰三角形一、选择题 http:/ /1. （ 2020浙江省舟山，7, 3分）如图，边长为 4的等边 ABC中，DE为中位线，则四边形 BCED勺面积为()(A) 2.3(B) 3.3(C) 4 3(D) 6 3（第 7题）【答案】B2. （ 2020四川南充市，10, 3分）如图，"ABC和"CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上,BC点M是AE的中点，下列结论：tan AEC=;S abc+S"cdeS "ace ;BMLDMBM=DME确结论的个CD数是（）（A） 1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）

30、4 个【答案】D3.（ 2020浙江义乌，10, 3分）如图， ABCn ADE都是等腰直角三角形， BAC DA匡90° ,四边形ACDEI平行四边形，连结 CE交AD于点F,连结BD交CE于点G连结BE下列结论中：CE=BD ADC是等腰直角三角形； ADB AEB CD AE=EF- CG一定正确的结论有A. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个【答案】D4. （ 2020台湾全区，30）如图（十三）， ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交 AC、AB于D E两点，并连接 BD、DE .若 A=30°, AB = AC ,则 BDE的度数为何？A.

31、 4552 . 5 C . 67 . 575【答案】C5. （ 2020台湾全区，34）如图（十六），有两全等的正三角形 ABC DEF且D A分别为 ABC DEF的重心固定 D点，将 DEF逆时针旋转，使得 A落在DE上，如图（十七）所示求图（十六）与图（十七）中，两个三角形重迭区域的面积比为何？A. 2： 1 B . 3 : 2 C . 4 : 3 D . 5 : 4【答案】C6.（2020山东济宁，3, 3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm,那么此三角形的周长是A . 15cmB. 16cmC. 17cmD. 16cm 或 17cm【答案】D7. （2020四川凉山州，

32、8, 4分）如图，在 ABC中，AB AC 13, BC 10,点D为BC的中点，DE DE AB ,垂足为点E ,则DE等于（）A 10O 15C6075A.B .C.D .13131313【答案】C8.二、填空题1. （ 2020山东滨州，15, 4分）边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为 .【答案】3 3 Cm2. （ 2020山东烟台，14,4分）等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么，它的底边为.【答案】4或63. （2020浙江杭州，16,4）在等腰Rt ABC中，C=90°,AC= 1,过点C作直线I / AB,F是I上的一点，且AB= AF,则点F到直线

33、BC的距离为.【答案】 2或色2 24. （ 2020浙江台州，14,5分）已知等边厶 ABC中，点D,E分别在边 AB,BC上，把 BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DBX ,EB'分别交边 AC于点F, G 若 ADF=8（0 ,则 EGa的度数为 【答案】80o5. （2020浙江省嘉兴，14,5分）如图，在 ABC中，ABAC A 40 ,则 ABa勺外角 BCD=（第14题）【答案】1106. （ 2020湖南邵阳，11, 3分）如图（四）所示，在 ABC中，AB=AC B=50°,则 A=.【答案】80°。提示： A=180°

34、-2 × 50° =80 °。7.（2020山东济宁，15, 3分）如图，等边三角形ABC中, D E分别为AB BC边上的两个动点，且总FG 使AD=BE AE与CD交于点F, AGL CD于点G贝U AF1【答案】128. （ 2020湖南怀化，13, 3分）如图6,在厶ABC中，AB=AC BAC的角平分线交 BC边于点D, AB=5,BC=6 贝H AD=.【答案】49.( 2020四川乐山16,3分）如图，已知 AOB=,在射线 OA OB上分别取点OA1 =OB连结 AB在BA BB上分别取点 A、B,使B1 B= B A,连结A B按此规律上去， 记

35、 A B1 B= I, A 3B 2 B3 An+1 B n Bn 1 n则1 =n【答案】18°-2 2n 1 1802n10. ( 2020湖南邵阳,11, 3分）如图（四）所示，在 ABC中，AB=AC B=50°,则 A=【答案】80°。11.（2020贵州贵阳,15, 4分）如图，已知等腰 Rt ABC勺直角边长为1 ,以Rt ABC勺斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt ACD再以Rt ACD勺斜边AD为直角边，画第三个等腰 Rt ADE，依此类推直到第五个等腰Rt AFG则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为（第 15题图）【答案】3112.（2

36、020广东茂名,14, 3分）如图，已知 ABC是等边三角形，点 B、C D E在同一直线上，且 CG=CD DF= DE 贝UE=度.【答案】15三、解答题1. （ 2020广东东莞，21, 9分）如图（1）, ABC与 EFD为等腰直角三角形， AC与DE重合，AB=EF=9, BAC= DEF= 90° ,固定 ABC将厶EFD绕点A顺时针旋转，当 DF边与AB边重合时，旋转中止.不考 虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE DF （或它们的延长线）分别交 BC （或它的延长线）于 G H点， 如图（2）.（1） 问：始终与 AGC相似的三角形有 及;（2） 设CG= X, B

37、H= y ,求y关于X的函数关系式（只要求根据 2的情况说明理由）；【解】(HGAM HAB(2)由(1)可知 AG( HABCGAC BnX9,即ABBH9y所以，81 yX1(3)当 CG- BC 时， GAC H< HACAC<CH2TAG< AC,： AG GH又 AH> AG AH> GH此时， AGH不可能是等腰三角形；1当CGdBC时，G为BC的中点，H与C重合， AGH是等腰三角形;2此时，GC=92 ,即 X=922 21当 CG> BC 时，由（1）可知 AGC HGA2所以，若 AGH必是等腰三角形，只可能存在 AG=AH若 AG=AH

38、 贝U AC=CG 此时 x=9综上，当x=9或9、”2时， AGH是等腰三角形.22.（ 2020 山东德州 19,8 分）如图 AB=AC CDL AB于 D, BEIAC于 E, BE与 CD相交于点 Q(1)求证AD=AE (2)连接OA Bq试判断直线AOABC的关系并说明理由.D OOEOBC【答案】(1)证明：在厶 ACC与 ABE中,A A= A AD（= AEB=90°, AB=AC ACD ABE 3分 AD=AE4分DE(2)互相垂直5分O在 RtADO与AEO中，BC OA=OA AD=AE ADOAEO6 分 DAO EAO即OA是 BAC勺平分线.7 分又

39、 AB=AQ OALBC8 分3.( 2020山东日照，23, 10分)如图，已知点 D为等腰直角 ABC内一点， CAD= CBD= 15°, E为AD延长线上的一点，且 CE= CA(1)求证：DE平分 BD(C(2)若点 M在DE上，且DC=DM求证：ME=BD【答案】(1)在等腰直角 ABC中， CAD CBD15o, BAI= ABD45o-15o=30°, BD=AD BDC ADC DCA DCB45°.由 BDM ABD BAD=30o+30o=60°, EDC DAC DCA15o+45o=60o, BDM EDC DE平分 BDC(2

40、)如图，连接MC DC=DM且 MDC60 ° , MDCI等边三角形，即 CM=CD又 EMC180° - DMC180° -60 ° =120 °， ADC180° - MDC180° -60 ° =120°, EMCADC又 CE=CA DA(= CEM15°,A ADC EMC ME=AD=DB4. （ 2020湖北鄂州，18, 7分）如图，在等腰三角形ABC中， ABC=90 , D为AC边上中点，过 D点作DE DF,交 AB于 E,交 BC于 F,若 AE=4, FC=3,求 EF

41、 长.ECB第18题图【答案】连结 BD,证厶BED CFD和厶AED BFD 求得 EF=55.（ 2020浙江衢州，23,10分） ABC是一张等腰直角三角形纸板,C Rt ，AC BC 2.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由（第 23题图1）第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S3 （如图3）;继续操作下去则第10次剪取时,图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为 SI ;按照甲种剪法，在余下的 ADE和 BDF中,分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方

42、形面积和为S2 （如图2）,则S2 =;再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为SlO求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和【答案】（1）解法1:如图甲，由题意得 AEDE EC,即EC 1,S正方形CFDE 1.如图乙，设MN X ,则由题意，得AMMQ PN NB MNX,3x 2 2,解得XS正方形PNMQ1又Q1 89甲种剪法所得的正方形的面积更大说明：图甲可另解为：由题意得点D B F分别为AB、AC、BC的中点，S正方形CFDE -SVABC 1形2解法2:如图甲，由题意得 AE DE EC,即卩EC=I如图乙，设MN X,则由题意得AM

43、 MQ QP PN NB MN X3x 2.2,解得X 2-23又Q1 台2,即EC MN3甲种剪法所得的正方形的面积更大1S2-21 SW歹解法1：探索规律可知：Sn剩余三角形的面积和为：2 S1 2n1111 11L92 4292S2LS02解法2:由题意可知，第一次剪取后剩余三角形面积和为2SI =1=S1第二次剪取后剩余三角形面积和为S1S21 -S22 2第三次剪取后剩余三角形面积和为S2S3-丄-S32441第十次剪取后剩余三角形面积和为S9 S10 S10= 96. （2020浙江绍兴，23，12分）数学课上，李老师出示了如下框中的题目在等边三角形ABC中，点E在AB上， 点D在

44、CB的延长线上，且ED=EC，如图. 试确定线段AE与DB的大小关系，并说明 理由.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答:（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1,确定线段 AE与DB的大小关系，请你直接写出结论:AEDB （填“或“ =” （2）特例启发，解答题目解：题目中， AE与DB的大小关系是： AE _ DB （填“ >”，“<”或“ =” 理由如下：如图2,过点E作EF /BC ,交AC于点F （请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形 ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED EC 若 ABC的边长为1,AE 2 ,求CD的长

45、（请你直接写出结果）【答案】（1）= 方法一：如图，等边三角形 ABC中,ABC ACBBAC 60，AB BC AC,Q EF /BC,AEF AFE 60BAC,AEF是等边三角形,AE AF EF,AB AE AC AF,即卩 BE CF,又 Q ABCEDBBED 60，ACB ECB FCE 60QED EC,EDBECB,BEDFCE,DBEEFC,DBEF,AEBD.方法二：在等边三角形ABC 中，ABCACB 60，ABD 120 ,Q ABCEDBBED, ACBECBACE,Q ED EC,EDB ECB,BED ACE,Q FE/BC,AEF AFE 60 BAC,ABD

46、AEF 是正三角形，EFC 180 ACB 120EFC DBE,DB EF,AE DB.(3)1或3.7.(2020浙江台州，23,12 分)如图足,点E是BC中点，规定 ADEBE而由AEF是正三角形可得EF规定。AE.1,过厶ABC的顶点A分别做对边特别的，当点D重合时，规定BC上的高AD和中线AE，点D是垂、0。另外。对 B、 C作类似的圏I(1)如图2,已知在 Rt ABC中，/ A=30o,求 A(2)在每个小正方形边长为 1的4 × 4方格纸上，画一个厶 ABC使其顶点在格点(格点即每个小正方形的顶点）上，且2 ,面积也为2;（3）判断下列三个命题的真假。（真命题打,假

47、命题打×）若 ABC中，A 1 ,则 ABC为锐角三角形；（）若厶ABC中,A 1 ,则 ABC为直角三角形；（若厶ABC中,1，则 ABC为钝角三角形;【答案】解：（1）如图，作CDLAB,垂足为D,作中线CE、AFOCFBF=1 Rt ABC 中， CAB=30o AE=CE=BE , CEB=60o CEB是正三角形, CD AB AE=2DEA =1 ,DE _ 1=C AE 2(2)如图所示：(3) ×o8. （ 2020浙江义乌，23, 10分）如图1,在等边 ABC中，点D是边AC的中点，点 P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连结BP将厶ABP绕点P按

48、顺时针方向旋转 角（0°V V 180°）,得到 ABR连结AA,射线AA分别交射线PB射线BB于点E、F.（1）如图1 ,当O° < V 60°时，在角变化过程中， BEF与 AEP始终存在 关系（填“相 似”或“全等”），并说明理由；（2） 如图2,设 ABPfce -当60°< < 180°时，在 角变化过程中，是否存在 BEF与厶AEP全 等？若存在，求出 与之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图3,当 =60°时，点E、F与点B重合.已知AB=4,设DP=x,A ABB的面积为S,求S关

49、于X的函数关系A1FCD PB( I)A1AP = AP BP=BIP图2B1贝U PAA = PBB = 18090-2 2 PBB = EBF PAE= EBF又 BEF= AEP BEF s AEP(2)存在，理由如下：易得： BEF AEP若要使得厶BEF AEP只需要满足BE=AE即可 BAE= ABE BA(=60 BAE=6090 - 302 2 ABE= BAE= ABE即 =2 +60°(3)连结BD,交Ai Bi于点G过点A作AHIAC于点HBOX)在 Rm ABD中,A HD AH=2HL(22P1GPA=60° Ap/AC由题意得: A=60BD=

50、2.3 B(=2T3弓2 x) -3 SABB 22 3.3x( 0 X V 2)9. ( 2020广东株洲，20, 6分)如图， ABC中，AB=AC A=36° , AC的垂直平分线交 AB于E, D为垂足，连结EC.(1) 求 ECD的度数；(2) 若 CE=5 求 BC长.【答案】(1)解法一： DE垂直平分 AC, CE=AE ECD=/ A=36° 解法二： DE垂直平分 AC, AD=CD ADE=Z CDE=90 ,又 DE =DE ADE CDE ECD A=36° .(2)解法一：I AB=AC A=36°, B= ACB=72 ,

51、ECD=36 , BCE玄 ACB- ECD=36 , BEC=72 = B , BC=EC=5.解法二： AB=AC A=36° , B= ACB=72 , BEC=/ A+ ECD=72 , BEC=/ B , BC=EC=5.10. (2020重庆綦江，24 , 10分)如图，等边 ABC中 , Ao是 BAC的角平分线,D为AO上一点，以 CD为 一边且在 CDr方作等边厶CDE连结BE(1) 求证： ACl BCE(2) 延长BE至Q, P为BQ上一点，连结 CR CQ使 CP= CQ= 5,若BC- 8时，求PQ的长.【答案】：证明ABCn CDE匀为等边三角形, AC= BC , CD =CE且 AC= DCE= 60° ACDk DC= DCBk BCE= 60° ACD= BCE则 PQ=2HQ在 Rt BHC中，由已知和(1)得 CBH= CAO= 30°, CH= 4在 Rt CHQh HQ= CQ2 CH 2. 52423 PQ= 2HQ= 611. (2020江苏扬州，23,10分)已知：如图，锐角 ABC的两条高BD CE相交于点 Q且OB=OC(1) 求证： ABC是等腰三角形；(2) 判断点O是否在 BAC的角平分线上，并说明理由。【