线代习题答案第四章(精)

1、1.求下列向量间的夹角：(1 (TT122, 101=-=aB；(2 (T T3410, 2120=-aB解 1.(1 ,cos 29=aBBEB_面故 4n9 =。(2 ,cos 09 =aBaB也庐故 2n0 =。2用施密特正交化方法将下列向量组正交化T123111, 123, 149=aaa;(2 (T T T123111, 110, 100=ao2zx解(1 取(T11111=萌2122111(, 101(,=-=-aBBaBBB(T313233121122(, (, 1121(, (, 3-=-aBaBBaBBBBBB(2取(T1111仁=Ba(T：(1 (T2122111(, 11

2、12(, 3=-=-aBBaBBB(T313233121122(, (, 1110(, (, 2-=-aBaBBaB所得的23,黒是与 123, ,a等价的正交向量组.3.判断下列矩阵是否为正交矩阵：(1 210112003?=-? A (2 112005123? =?A (3 122333212333221333? - ? - ? A 3.解(1 T2102105121101121220230032218?二二? -?A A 由于 T工 A A E 故所给矩阵不是正交矩阵。(2 T1011122351020053582531235838?=?A A 由于 T工 A A E 故所给矩阵不是正交

3、矩阵(3 T122122333333100212212010333333001221221333333?=-=? ?A A E 故所给矩阵为正交矩阵。4求下列矩阵的特征值与特征向量(1 211020413-?=? -? A (2 212533102-?=-? - ? A (3 123213336?=?A (4 110430102-?=- ?A 4.(1 解:2211020(2 (1 0413 入入入入入入-=-+=-A E 故 1231,2入入入=对于 11-=入解方程 0Ex (A=+4114112000000411000A E - ?=? - ?得基础解系 1101 ?=?所以对应于 11

4、-=入的全部特征向量为 11nk 1(0 考 k对于 232 入笊时,解方程 2(- 0A E x =4114112000000411000- ? - =? - ?A E得基础解系 23011,014?=?n所以对应于 232 入入的全部特征向量为 2233k k +(2 解:3212533(1 0102XX X X X-=-+=-A E 故 1231XXX=-1231XXX=时，解方程(+=0-?nn(23,不同时为 0 .A E x ?- =+000110101101325213E A 得基础解系111? =?-?n所以对应于 1231XXX=全部特征向量为(0 k kn.(3 解:123

5、213(1(9 0336XXXXXXX-=-+-=-A E 故 1230, 1, 9XXX=当=10X时，解方程 0Ax=123123123101213033011011336033000000?=- ?A 得基础解系 1111?=?-?_ ?n所以对应于 10X=全部特征向量为 111(0 k k当谄 1 入=时，解方程(+=022322311022300100133700000? +=?A E 得基础解系 2110?=- ?n所以对应于 21 入二的全部特征向量为 222（0 k k 当洛 9 入时，解方程（-9 =0A Ex11028231111111928382301050123332

6、830105000-? -一?A E 得基础解系 3211? =?n所以对应于 39X=全部特征向量为 333(0 k k 。耳(4 解:2110430(2(1 0入入入入入=-=-A E 故 12 入=23, 1?入入当=12 入时,解方程组（2 -=0A E x 得基础解系 1001?=?X =n所以对应于 12 入的全部特征向量为 11kn1(0 k。当 231XX=，解方程组 (-=0A E x 得基础解系 2121?=? - ?n所以对应于 231XX的全部特征向量为 222(0k kn5.矩阵 A 满足 2235-0A A E =,求 A 的特征值5.解:设X是 A 的特征值,对应

7、的特征向量设为Mn则，X=Ann由已知 2235-0A A E =得222(235 235(235XX=-0A A E =A A Ennnnn由于 工耳故 2235XX-=0 解得 52或 1X=。6.已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1,2,-2,求 3+A E 的特征值。6. 解:令(3f =+A A E ,则(31f 入又因为 A 的特征值为 1,2,-2,故 3+A E 的特征值为(1314f =+=; (2617f =+=; (2 615f -=-+=-所以 3+A E 的特征值为 4, 7,-5.7. 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1,2, 3,求*2+A A E。7.解:由于

8、A 的特征值为 1,2, 3,故 1236=XX=A 令 *(2f =+A A A E ,则 6(2121f 入入入入入+=+A ,故 *2+A A E 的特征值为(16219f =+=; (23418f =+=; (32619f =+=所以 *2989648+=X=A A E。8. 设 A 为正交矩阵，若 仁-A ,求证 A 一定有特征值-1.8.证明:设矩阵 A 的特征 多项式为(|f 入入 E,|f -=+A E ,又因为 A 为正交阵所以 T =AA E ,于是(1 llllll(|1111( IIIT T T T f -=+=+=-=-+=-+=-+/A AA A E A A A E

9、 A E A E 由(1 f -两个方程? |0+=A E，即 |(1 |0-=A E 故-1 为 A 的一个特征根9.设,A B都是 n 阶矩阵，证明 AB 与 BA 具有相同的特征值。9. 证明:设 0 入是 AB 的任一特征值,丰是 cAB 与入对应的特征向量，即（入=ABaa,（1 用 B 左乘上式两端，有（入=BA B Baa,（2若记=BBai（2 式可写成（入=BA由（1 式知=工 0BB否则就有=0a因此入是矩阵 BA 特征值.设 0 入是 AB 的 特征值,丰（是 AB 与入对应的特征向量，即（0=? =ABaa0 亦即a是齐次方程组 （=ABa0,的非零解，于是齐次方程组的

10、系数行列式|0? =AB A B BA .因而齐次方程组（=BA x 0 有非零解B所以B满足（0=? BA故 0 入是矩阵 BA 的特征值.综上所述，矩阵 AB 的特征值都是矩阵 BA 的特征值，同理可证 BA 的特征值都 是AB 的特征值,故结论成立.10. 设 3 阶矩阵 A 与 B 相似，其中 A 的特征值为 2, 12,1-,求 12-+B E。10. 解:由于 A 与 B 相似，故 A 与 B 具有相同的特征值，所以 B 的特征值为 2, 1,1-。令 1(2f -=+B BE ,则 1(2f 入入+,故 12-+B E 的特征值为 15(2222f =+=; 1(2242f =+

11、=; (1 121f -=-+=所以 15241102-+=x=B E。11. 判断下列矩阵是否可对角化，说明理由? =?A ; (2 133353664-? =-? - ?A ; (3 1011?=?(1 200120012?-?A 11.解:(1 先求 A 的特征值3200120(2 012 入入入入入-=-=-=-A E 所以 A 的特征值为 1232入入入=0002100010? - ?=A E (2 2330R -= 工-=A故A 不能对角化(2 233353(2 (4 0664 入入入入入入-=+-=-A E 所以 A 的特征值为 1232, 4入入入对于 122入入=-33311

12、12333000666000?+-? -?=A E (2 132R +=-A E ,故 A 能对角化。(3 20(1 011 入入入入=-=-A E 所以 A 的特征值为 121入入=00?)-?-?A E =( 122R -= 工-A 故 A 能对角化。12. 设矩阵 A B ,其中 11120024202033500a -? =_= ? _ ?A ,B ,试求 a。12.解:由于AB故 ( ( tr tr =A 即B,14522a+=+所以 6a =o13. 31a?=-?n是矩阵 10212113a -?=-?A 的特征向量，试求 ao13. 解:设入是矩阵 A 的特征值，为矩阵 A 的

13、属于特征值 入的特征向量.有入=An即,102331211113a a a ?-? _=-?即230233233a a a a ?； + = ?-+ = ?解得 0a =o14. 已知 100252241? =_ ? ?A，求 100Ao14.解:先求 A 的特征值200252(1 (3 0241 入入入入入入-=-=-=-A E所以矩阵 A 的特征值为 1231, 3入入入对于 121 入入=,000121242000242000-? -一? _ ?=A E 由于(132R -=-A E ,故 A 可对角化。解上述方程组得基础解系为12211,001-? =?n对于 33入=20010010

14、0322211101124401100?-?=A E 得基础解系3011?-? =?n取(123210, , 101011n?n?=?P 则有 1(1,1,3diag -=P AP从而, 1-=A P PA,1001001-=A P P 即A,1001100210121010111010113011- ?=?A 100210111110111220113121-?=-?-?10010010010010010010013123131322323? =_+ ? - ? _ ?-?15. 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1,-1,0,对应的特征向量分别为1231020, 3, 1121-?nn求矩

15、阵 A。15.解:因为 A 有 3 个不同的特征值,所以 A 可相似对角化，有112311,(,0- ? =_= ?P AP PA n于是11102110203110311210121- ?=-?-?A P PA546333768?=- ? - ?16. 试求正交矩阵 Q ,使得 1-AQ Q 为对角矩阵。(1 220212020A -?=-? - ?；(2 101020101?=?A 16.解:(1入入入入-=-20212022E A 2(4(1(+-=入故得特征值为 4, 1,2321=-=X当 21-=入时，由0220232024321=?-x x x 解得?=?2211321k x x

16、 xA P PA546333768?=- ? - ?单位特征向量可取：1322n?=?当 12=入时,由0120202021321=?-x x x 解得？? - =?2122321k x x x 单位特征向量可取：22323n?=? - ?当 43=入时,由0420232022321=?_ x x x 解得? - =?1223321kxxx.单位特征向量可取：323n?=-? 得正交阵 12212123221Q?-=?-? 1200010004Q AQ - ?=?(2 先求 A 的特征值2101020(2 011 入入入入入入-=-=-=-A E 得到 A 的特征值为 1230, 2入入入对于

17、 10 入=,101101002001010100(? - ?=A E得基础解系? =?1101? =? - ?n 对于 232 入入=,1011012000000101000- ? - ? - ?=A E 得基础解系23011,001? =?n 注意到 2 n 与 3 n 已经正交,故只需将各向量单位化即可 令IhJIhill31212312300, 1,0(?=?kl hJI?nnn 以单位正交向量 123,00100为列得正交矩阵Q 使得1022-? =?Q AQ 17. (06 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 12(1,2, 1 , (0,1,1 TT=-=-a

18、o是线性方程组=0Ax 的两个解.(1 求 A 的特征值和特征向量；(2 求正交矩阵 Q 和对角矩阵A,使 T=AQ QA；17. 解:(1 由题设 A 的行和均为 3,有?=?=?1113333111A ,所以,(T1, 1, 13= 是 xA 的属于特征值 3 的特征向量.又 21,a是 0=Ax 的线性无关的两个解，即 21,a是 A 的属于特征值 0 的两个 线性无关的特征向 量.由此可知,特征值 0 的代数重数不小于 2.综合之,A 的特征值 为 0, 0, 3.属于 0 的特征向量为 2211aak k +其中 21, k k 是不全为零的常数；属于 3 的特征向量为 3ak 其中

19、 k 是非零常数.16131062312161Q ,?(2将 21,a正交化,令 11aB=,?(T 1,2, 11111-=BBY, (T 10, 121222-=1BB Y3 , (T1333=BB令？?？?- =312?-=?-=-=2102112163110 ,(1111222单位化? =A30(则有？?？?=300AQ Q T.18.已知 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值是 3, 6,0-, 3 的特征向量是 1(1,1 , 6T a 入=-的特征 向量是 2(, 1,1 Ta a =+求矩阵 A。18. 解:因为 A 是实对称 矩阵，不同特征值的特征向量相互正交，故12(1 10T

20、 a a a =+= 所以1a =-设 0 入的特征向量 3123(, , Tx x x =则，31123321300T TX X X X X ? =-+= ? =-+= ?aaaa解出 3(1,2,1 T=口由 12312(, , (3, 6, =-0A得aaaa1112123360111214(, 2, (, , 300102111360111412- ?0Aa a a a已知 9 巨阵 A B , 200200001, 0001001b aA B (1 求参数,a b ;(2 求正交矩阵 Q ,使得 1-AQ Q =Bo解:(1 显然,B 的特征值为 2, , 1b -,220001(2

21、(1 01a a 入入入入入入入-=-=-=-A E 由于A B ,所以，A B 具有相同的特征值，将 1 入=代入上式 得 0a=，由此可得 A 的特征值为 2, 1,-1 所以 1b =o(2 对于 2 入=解齐次线性方程组(2 -0A E x =0000002021010012001? -=- ? - ?AE 得基础解系?=?-?10000?1100=n对于 1 入=解齐次线性方程组(-0A E x =100100011011011000? -=_ ? - ?AE 得基础解系(T2011 =n对于 1 入二-解齐次线性方程组(+0A E x =30010001101101100CP? +

22、=?AE 得基础解系(T3011=-n123,两两n交，只需将其单位化即可得 Q ,=?-?Q 使得 1-Q AQ =Bo自测题一、填空题（本大题共 5 小题,每小题 2 分，共 10 分1. 矩阵 1111111111111111?=?A 的非零特征值是_ 案:42. 设 3 阶矩阵 A 的特征值是 1,2, 3 则矩阵 22=-+B A A E 的特征值为_答案：0, 1,43.1 是 21253112a-?=? - ?A 的特征值，则a =_答案：-44. 设矩阵A B , A 的特征值为 1111,2345，则 1-=B E_ 答案:245. 实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量

23、_答案:正交二、单项选择（本大题共 5 小题,每小题 2 分，共 10 分1. 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1, 0,-1,2（21f x x x =-,则（f A 的特征值为（A .-2,-1,2B .-2,-1,-2C . 2, 1,-2D . 2, 0,-2答案:A2. n 阶矩阵 A 有 n 个不相等的特征值是矩阵 A 可相似对角化的（A .充分条件 B .必要条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案:A3.下列命题错误的是（A .属于不同特征值的特征向量线性无关 B .属于同一特征值的特征向量线性相关 C .相似矩阵必有相同的特征值 D .特征值相同的矩阵不一定相似

24、 答案:B4.设 A 为 3 阶矩阵,A的特征值为 12, ,22-,则下列矩阵中可逆的是（A . 2+E A B . 32+E AC.2+EAD . 2-A E答案:B 5.与矩阵 1203?=?A 不相似的矩阵是（A . 1023?B . 3501?C.1133?D . 2112?答案:C三、计算（本大题共 6 小题,每小题 10 分,共 60 分1.求矩阵 111023001-?=-?A 的特征值与特征向量。1.解：（21102312001 入入入入入入-二二A E得特征值 2,1321=入对于 121=入解齐次线性方程组（-0A E x =,011010013001000000-?二?

25、AE 得基础解系（T1100=nA.的属于特征值 1 的全部特征向量为 111（0 k k 工耳.对于 23=入解齐次线性方程组（2 -0A E x =1111102003001001000- ? _=_ ? - ?A E得基础解系(T2110=-nA.的 属于特征值 2 的全部特征向量为 222(0 k k 工耳2.设 A 是 n 阶实对称矩阵，满足 32332-+-=0A A A E ,求 A 的特征值。2.解:设入是 A 的特征值,工(是 A 的属于特征值 入的特征向量，即有入=An则,3232332(332 入入入-+-=-+-=( 0A A A En由于工 0n故 323320 入入

26、入-+-=，解得12,32,入入=因为实对称矩阵的特征值必为实数，所以 A 的特征值为 2 入=3.设矩阵 1333366a b -?=?- ?A 有特征值 122, 4 入入试求参数,ab 的值。提示:本题只给出特征值而没有 给出特征向量，一般用特征方程 0 入-=A E 求解。3.解:由于 122, 4 入入=-=A 的特征 值，有 20,40+=-=A E A E ,即33333323230503(5(4 0662004a a a b b b -+=+=+=+-=-+-A E 33333343430763(7(2 7206640122a a a b b b =-=+=-+=+A E解军彳

27、得 5, 4a b =-=。4.判断 200121101? =- ?A 矩阵是否可对角化，若可以对角化，求出可逆矩阵 P ,使得 1-=P APA为对角 阵。4.解:先求特征值2200121(2 (1 011 入入入入入入-二二二A E所以 A 的特征值为 1231,2 入入入。=对于二重特征值 232XX=判断是否有（2 321R -=- =A E 0000002101000101101?A E 显然（2 321R -=-=A E ,所以矩阵 A 可以对角化。解齐次线性方程组（2-0A E x =,得基础解系（T T23010, 10仁=nn于 11X=求解齐次线性方程组（-0A E x =,即10010011101110000CP? _ ?=A E 得基础解系（T101仁n取（123001110101? =?二?-?Pnn则,1100020002-?=?P APA5 设矩阵 211121112- ? =-? - ?A，求正交矩阵 Q,使得 1-Q AQ 为对角矩阵。5.解:先求特征值2111210112 入入入入-=-=-A E 特征值为 1231,4入入入对于 121XX=求解齐次线性方程组（-0A E x =111111111001111000- ?二? - ?AE 得基础解系(T T12110, 101=nn对于 34 入=求解齐次线性方程组(