高数一知识点

1、函数极限lim f lim f (x) , lim f (x) x , x . 、极限数列极限lim xn n _oolim f (x) , lim f (x) , lim f (x) x￥x-x - x-x；(2)等价无穷小替换 ( p76)。当 半(x)t 0时，sin ?(x)? (x), tan ? (x)? (x), arcsi n ? (x)? (x), arcta n ? (x)? (x), 1 cos申(x)*?2(x), ln(1 n(x) ? (x),x)1半(x), 贮1? (x)in a(a0), (1 + 9&)9&)(口 式0) 代换时要注意，只有乘

2、积因子才可以代换。q qqq qq(3) 洛必达法则 (0,二，0 8 严-车0,1 严0) ，只有0,二可以直接用罗比达法则。0 血0 00幕指函数求极限：lim u(x)v(x)二elimv(x)ln u(x)；或，令y = u(x)v(x)，两边取对数l ny = v (x) l nu (若l i mv x ) lun xf ) a 则lim u(x)v(x)= ea。结合变上限函数求极限。、连续lim f (x)二f (x0) x - x0 左、右连续lim f(x) = f (x0), lim f (x) = f (x0) xw_ x 知函数连续二函数既左连续又右连续闭区间上连续函数

3、性质：最值，有界，零点( 结合证明题 ) ，介值，推论。、导数f (x0“ lim f(x)f(x0)= lim 血 逻皿x-0 x-x0lx-5 |_| x左导数f (x0)= lim f(x)f(x0)= lim 血 心迪x-厂x _x0l_x slx第一章 第三章求极限 ( 主要方法 )一dudx”g(x)两边对x求导，注意y、y 是x的函数。x(t) y(t)乎/也dx dt dt :(t) d2y dx2一g() dt :(t) dx dt :(t) 四、导数的应用(1) (2) ( 3) 罗尔定理和拉格朗日定理单调性 ( 导数符号 ) 凹凸性 ( 二阶导数符号 ) ，拐点 ( 曲线

4、上的点，二维坐标，曲线在该点两侧有不同凹凸性) 。(证明题 ) ，极值 ( 第一充分条件和第二充分条件) , 最值。求导数：(1) 复合函数链式法则y = fu u=g(x) ￥=矽理dx y = fg(x) 八 fg(x)g(x )fg(x) =(fg(x) (2) 隐函数求导法则(3) 参数方程求导第四章不定积分原函数(f(x) =f(x) 不定积分f (x)d f (x) c 基本性质f (x)dx = f (x)或f (x)dx = f (x) dx 、dx f (x)dx =f(x) c或df(x)二f(x) c. f (x) g(x)dx = f (x)dx 亠i g(x)dx (

5、 分项积分)kf (x)dx 二k f (x)dx 基本积分公式(1) kdxkx c；(2) x dx 二x 1c -1) 右导数f+(x)= 毀匚f (x) - f (xo) x _x二lim 一f(x。lx) - f (x。) 1_0 - 微分：y = a ,x ： (z) dy = adx = ydx 可导二 . 连续 可导 = 可微 可导 =既左可导又右可导 亠11tanxdx 二-in |cosx| c; 2. cotxdx 二in |sin x | c; 3secxdx 二in |secx tanx| c; 4. cscxdx 二in |cscx - cotx| c; 5j 2

6、d -arctan? c; a2 x2 a 6dx 2 2 a _x x 二 arcs in c; a 7x -a x a c; 8. . a2-x2dx 二乞 arcs in 二2 a x i x a a dx c in a si nxdx = cosx +c (9) csc xdx 二-cotx c (4) . exdx =exc (6) cosxdx = sin x c (8) se? xdx = tan x c (10) secxtanxdx =secx cr dx (13) 2= arctanx c 1+x 除了上述基本公式之外，还有几个常用积分公式(11) cscxcotxdx 二

7、-cscx c (12)二 arcs in x c 123、概念定义性质: (1).设f x、g x在a,b 1区间上可积，则定积分有以下的性质b dx 二ba ；-a b 、b bimf x 广n g x dx 二m f (x)dx n g(x)dx ；=a u u% lab c baf(x)dx = af (x)dx j(x)dx ;若在la, b 1上, f x - 0 , 则f (x)dx _ 0 ；*a r i b b 推论 1. 若在l.a,b 1上，f x (f0f (t)dt) = f (?( x lx).丄wx)(3). 如果x(x)f(t)dt,哦x)则x 乂, .(x)f

8、(t)dt) = f x x - f - x x .广义积分(1). 无穷限积分收敛发散（极限存在）（极限不存第五章定积分b b 收敛（极限存在）. xdxmxdx=发散（极限不存在厂 - : : :0 f x dx收敛的充分必要条件是反常积分 f x dx、f x dx同时收敛，并且在收敛时，有0_ f xdx= 0f x dx f x dx-（2） ?瑕积分b b 收敛（极限存在）a 为瑕点f x dx = lim f x dx =爲 发散（极限不存在）b b 收敛（极限存在）b 为瑕点f fx dx= limf fx px = g , .为a t a 发散（极限不存在）b c bc为瑕点

9、则.f x dx收敛f x dx与.f x dx均收敛，并且在收敛时，有a ? a cb c baf xdxaf xdx cf xdx 二计算（一） 定积分的计算1、微积分基本公式：设函数f x在区间a,b 上连续，且f= f x，贝yb f（x）dx = f b - f a , 牛顿- 莱布尼兹（ n-l）公式a 2、换元法：设函数f x在区间a,b 1上连续，函数x二t满足：在区间 j 上可导，且:t连续; a 二- , b = 1 ，当二订时，x? a,b 1, 贝yb :faf(x dx = lt)外(t)dt b b b b b b 3、 分部积分法：uvdx= uv |a - u

10、vdx, 或udv= uv |a - vdu ?a 八a * a * a 4、 偶倍奇零：设函数f x在区间 - a,a上连续，则a 0 f -xf x 七f(x)dx_ 2 ；f(x)dx f -x = f x 0 sinn xdx - (2k 4)!. 二(2k)! 2 (2 k)! (2k 1)! n = 2k n =2k 1 6、分段函数的定积分。( 二)与积分上限函数相关的计算( 三)广义积分的计算 (依据定义先求原函数，再求极限) 三、定积分的应用( 一) 几何应用1、 平面图形的面积b b b 、( 1 ) 直角坐标a = a f (x)dx, a = & i f (x)

11、 -g(x) |dx = ( 上曲线一下曲线 ) dx , d d d或a (y)dy, a | (y)-(y)|dy 、( 右曲线一左曲线 )dy= r(2)参数方程若与x=a,x=b及 x 轴所围成的面积a二 (tr： (t)dt ,- w =屮(t) 抵分别是曲边的起点的横坐标与终点的横坐标的参数值。(3)极坐标由曲线r = r(v), - ：, v - -,(： -) 所围的曲边扇形1 r的面积a r(h2 3dk2 ct2、 旋转体的体积( 1 ) 直角坐标 ：由曲线y二f (x), x二a, x = b, (a ： b)与x轴所围曲边梯形绕x轴旋转一b 2 b 22 参数方程由.

12、与x二a,x二b及 x 轴所围成的图形绕x 由旋转一周的旋转体ly =屮(t)p的体积v 二二2(t)(t)dt3、平面曲线的弧长 ( 积分限从小到大 ) ( 1 ) 直角坐标s 二f (x)2dx( 2 ) 参数方程s二x(t)2 y(t)2dt3 极坐标s 二lr(t2 r c)2dj( 二) 物理应用( 步骤：建立坐标系，选择积分变量，求出功的微元或压力微元，求定积分) 周的旋转体的体积7 -f2(x)dx= f2(x)dx.a a由曲线x h(y), y =c, y =d,(c ： d)与y轴所围曲边梯形绕y轴旋转一周d d的旋转体的体积二2(y)dy二二2(y)dy.c c阿基米德螺

13、线心形线r = a (1 ? cost ) 双纽线r2二a2 cos2r 摆线川 ) y = a(1 _c os) 第六章微分方程一、内容小结：（一）、概念：微分方程；阶；通解；特解；初始条件；初值问题；线性相关；线性无关（二八解的结构齐次线性y p（x）y q （x）y 0 （* 非齐次线性y p （x）y q （x）y f（ x） （* 1、yi , y2是（*）的解，贝v - ci yi c2 y?也是（* ）的解；若yi , y线性无关，则y yi - c? y?为（*）的通解）2、yi *, y? *是（* * ）的解，贝v yi * - y? *是对应齐次线性方程的解y是（ * ）

14、的通解，y*是（ * * ）的解，则y ? y*是（* * ）的通解（三）、解方程：判别类型，确定解法。一阶，二阶。、一阶微分方程求解xy=f(x)g(y)或g(y)dy = f(x)dx 或m,(x)n,(y)dy m2(x)n2(y)dx 二 0 或者f (y ) 解法：令x 则y u xu dx / x、f () 解法 : y dx du u dy dy 齐次线性y-p(x)y=o _ p(x)dx (y=ce ) 非齐次线性y p( x) y x) d x f p )x dx q( x e dx c ) 1、可分离变量方程解法：先分离变量 ，两边再同时积分2、齐次方程3、一阶线性微分方

15、程三、二阶微分方程求解( 一) 、可降阶情形1、y= f (x) 2、不显含 y 的二阶方程y j f (x,y ) 解法：令 y二 p,则 y” 二 p,原方程化为p二 f(x, p) 3、不显含 x 的二阶方程y= f (y ,y ) 解法：令 y=p, 则 y = p 些, 原方程化为 p 些二 f(y,p) dy dy ( 二) 、二阶线性微分方程1、 二阶常系数齐次线性微分方程y? p y q 尸 0 ( * * *其中p, q为常数 ) 2 特征方程r pr q =0 特征根r-! , r2rx 2 x ri = r2且为实根 ，则微分方程通解为y = c! e1? c2 e2p

16、rxrr2 为相等实根，则微分方程通解为y =(cc2x)e2 几幕二口士 匚卩为一对共轭复根，则微分方程通解为y 卩x+czsi n px)2、二阶常系数非齐次线性微分方程y“+py + qy =pm(x)e (*), ( 几为常数，pm(x)是 m 次多项式 )其具有特解形式y = xkqm(x)e,其中qm(x)为与pm(x)同次的多项式0 ，不是特征根k = 1 是特征单根2 上是特征二重根9. j , dx= =1 n | x + jx2土 a2 | +c.? x2一 a2求不定积分的方法1.直接积分法：恒等变形，利用不定积分的性质，直接使用基本积分公式。2.换元法：第一类换元法(凑微分法 ) f c x ) )x