正项级数的收敛判别实用教案

1、会计学1正项级数的收敛正项级数的收敛(shulin)判别判别第一页，共32页。若定理定理(dngl) 1. 正项正项级数级数1nnu收敛(shulin)部分和序列有界 .若1nnu收敛 , 部分和数列nS有界, 故nS1nnu从而又已知故有界.则称为正项级数 .单调递增, 收敛 , 也收敛.证证: “ ”“ ”机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共32页第二页，共32页。都有设且存在(cnzi)对一切(yqi)有(1) 若强级数则弱级数(2) 若弱级数1nnu则强级数1nnv证证:设对一切则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有是两个正项级数, (

2、常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共32页第三页，共32页。(1) 若强级数(j sh)1nnv则有因此(ync)对一切有由定理(dngl) 1 可知,1nnu则有(2) 若弱级数1nnu因此这说明强级数1nnv也发散 .nS也收敛 .发散,收敛,弱级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共32页第四页，共32页。(常数(chngsh) p 0)的敛散性. 解解: 1) 若因为(yn wi)对一切,Zn而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散 .发散 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共32页第五页，

3、共32页。因为(yn wi)当故考虑(kol)强级数的部分(b fen)和n故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .时,11111) 1(113121211pppppnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共32页第六页，共32页。若存在(cnzi)对一切(yqi)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共32页第七页，共32页。证明(zhngmng)级数发散(fsn) .证证: 因为因为(yn wi)而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共32页第八页，共32页。,1nnu1nnv则有两个级数同时(tngsh)收敛或发

4、散 ;(2) 当 l = 0 (3) 当 l = 证证: 据极限据极限(jxin)定义定义,设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共32页第九页，共32页。由定理(dngl) 2 可知1nnv同时(tngsh)收敛或同时(tngsh)发散 ;(3) 当l = 时,ZN存在,时当Nn 即由定理(dngl)2可知, 若1nnv发散 , (1) 当0 l 时,(2) 当l = 0时,由定理2 知1nnv收敛 , 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共32页第十页，共32页。,limlvunnn是两个(lin )正项级数, (1) 当 时,两个级

5、数同时(tngsh)收敛或发散 ;特别(tbi)取可得如下结论 :对正项级数(2) 当 且 收敛时,nv(3) 当 且 发散时, nv也收敛 ;也发散 .nu机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共32页第十一页，共32页。的敛散性. 的敛散性 .解解: 根据比较(bjio)审敛法的极限形式知例例4. 判别判别(pnbi)级数级数解解:1根据比较审敛法的极限形式知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共32页第十二页，共32页。设 为正项(zhn xin)级数, 且则(1) 当(2) 当证证: (1)收敛(shulin) ,时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .由比较审敛法可知

6、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共32页第十三页，共32页。因此(ync)所以级数(j sh)发散.时说明说明(shumng): (shumng): 当当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如, , p 级数1但, 1p级数收敛 ;, 1p级数发散 .从而机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共32页第十四页，共32页。的敛散性 .解解: 根据(gnj)定理4可知:级数(j sh)收敛 ;级数发散 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共32页第十五页，共32页。对任意(rny)给定的正数 设 为正项级则证明证明(zhngmng)提示提示: 即分别利用上述不等式的

7、左,右部分, 可推出结论正确.数, 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共32页第十六页，共32页。时 , 级数可能收敛(shulin)也可能发散 .例如(lr) , p 级数 :11pnn但, 1p级数收敛 ;, 1p级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共32页第十七页，共32页。收敛(shulin)于S ,似代替(dit)和 S 时所产生的误差 . 解解: : 由定理5可知该级数收敛 .令则所求误差为并估计以部分和 Sn 近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共32页第十八页，共32页。则各项符号(fho)正负相间的级数称为交错(jiocu)级

8、数 .定理定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:则级数收敛 , 且其和 其余项满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共32页第十九页，共32页。证证: 是单调递增(dzng)有界数列,又故级数(j sh)收敛于S, 且故机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第19页/共32页第二十页，共32页。收敛(shulin)收敛(shulin)收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?发散收敛收敛 101 1nn机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共32页第二十一页，共32页。定义定义(dngy): 对任意项级数对任意项级数若若原级数收敛,

9、但取绝对值以后(yhu)的级数发散, 则称原级收敛 ,1nnu数1nnu为条件收敛 .均为绝对收敛.例如例如 ：绝对收敛 ；则称原级数条件收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共32页第二十二页，共32页。证证: 设根据(gnj)比较审敛法显然(xinrn)收敛,收敛1nnu也收敛且nv收敛 ,令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共32页第二十三页，共32页。证证: (1)而收敛(shulin) ,收敛(shulin)因此绝对收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共32页第二十四页，共32页。(2) 令因此(ync)收敛(shulin),绝对(jud

10、u)收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共32页第二十五页，共32页。其和分别(fnbi)为 *定理定理8. 绝对收敛级数不因改变绝对收敛级数不因改变(gibin)项的位置而改变项的位置而改变(gibin)其和其和. ( P203 定理9 )说明说明: 证明参考 P203P206, 这里从略.*定理定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 )则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数1nnv1nnu与都绝对收敛,其和为但需注意条件收敛级数不具有这两条性质. (P205 定理10) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共32页第二十六页，共32页。1. 利用部分(

11、b fen)和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用(lyng)正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共32页第二十七页，共32页。为收敛(shulin)级数Leibniz判别(pnbi)法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛1nnu称机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共32页第二十八页，共32页。设正项级数(j sh)1nnu收敛(shulin), 能否推出收敛 ?提示提示:由比较判敛法可知12nnu收敛 .注意注意: 反之不成立.例如,收敛 ,发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共32页第二十九页，共32页。 作业作业(zuy) P206 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ; 3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5)第三节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第29页/共32页第三十页，共32页。1. 判别判别(pnbi)级数级数的敛散性的敛散性:解解: (1)发散(fsn) ,故原级数发散 .不是 p级数(