2022年高考数学复习新题速递之导数

1、)(-r + -)，= l+4-x d2022年高考数学复习新题速递之导数(2021年10月)一.选择题(共11小题)1. (2021春洛阳期中)若函数/(幻=93+五+2%+是增函数，则实数的取值范围为( )A.(oo ,/2)(/2 , 4-00)B.(-co , x/2JV2 ,+oo)C.(-V2, 2)D.-y/2, V22. (2021 春普宁市期中)若lim"+“)一"二一")=* 则/，(/) = ()n->04D. 1A. -4B. -1C.3. (2021春普宁市期中)下列求导运算正确的是(4. (2021春普宁市期中)已知函数/(劝=宇

2、加,若过点(1,0)作曲线y = /(x)的切线/,则 直线/的斜率为( )A. -1B. IC. -2D. 25. (2021春河南期中)已知函数f(x) = e、+d-2x2-«x,其中e是自然对数的底数，。是实数，若不等式/(x)>0对任意的xw(0,e)恒成立，则。的取值范围是()A.B.(T»,e + 1)C. (e-l,+oo) D. (e +1, +<»)6. (2021春运城期中)已知函数/(x) = or + /or + 3在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值 范围为()A.B. (g,l)C. (一1,一；)D. (-1,-；)

3、7. (2021春任城区期中)已知函数/(x)的定义域为R,且/(x)>/'(x) + l, /(0) = 3,则不等式/(x)>2e* + l的解集为( )A. (-oo,0)B. (0,+oo)C. (-oo,l)D. (l,+oo)8. (2021春任城区期中)函数/(x)的图象如图所示，/。)为函数/(x)的导函数，下列数值排序正确的是( )A. 0<f (3) <f (3) -f (2) <f' (2) B. 0< f (2) < f' (3) <f (3) -f (2)C. 0<f (3) <f (

4、2) <f (3) -f (2) D. 0< f (3) -f (2) < f (2) < f (3)9. (2019春洛阳期中)一质点沿直线运动，如果由始点起经过/秒后的位移S与时间f的关 系是5=-3/-9/,那么速度为零的时刻是()A. 0秒B. I秒末C. 3秒末D. 1秒末和3秒末10. (2018秋双滦区校级期中)函数f(x) = (3-x2)e，的单调递增区间是()A. (ro,0)B. (0,-K»)C. (-3,1)D. (,-3)和(l,+oo)11. (2021秋红花岗区校级月考)定义在R上的函数y = /(x),满足/(10-x) =

5、/(x), (x-5)/,(x)>0, (xx5),若 (1)<0,则函数 f(x)在区间(9,11)内( )A.没有零点B.有且仅有1个零点C.至少有2个零点D,可能有无数个零点二.填空题(共9小题)12. (2021春洛阳期中)已知函数八幻=依2与g(x) = /nx的图象在公共点处有共同的切线， 则实数a的值为 .13. (2021春普宁市期中)设函数/(x) = x/«x-ae1其中aeR, e是自然对数的底数.若 /(X)在定义域内有两个极值，求的取值范围 .14. (2021 春运城期中)已知函数f(x) = /' + f'(0)/(x + 2

6、),则/(0) =.15. (2021春湖南期中)若函数/(x) = amr + x-L在(0,*®)上单调递增，则”的取值范围 X是.16. (2021春任城区期中)若函数/(x)满足x) = 2仇对”(1),则(1) =.17. (2021 春南阳期中)已知函数 /(x) = 2ex + ax2 cosx-l(tze 7?),则曲线 y = /(x)在点(0 , /(0)处的切线方程是.18. (2021春昌吉州期中)已知函数f(x) = (x-De*-Hx在；,3上单调递减，则a的取值 范围是.19. (2019秋三元区校级月考)若函数/(幻=/+云2+廿+ ”的单调递减区间为

7、(1,4),则 b+c =20. (2021春滕州市期中)曲线y = /nx + x + l的一条切线的斜率为l +1(e为自然对数的底 e数)，该切线的方程为一.三.解答题(共4小题)21. (2019 春洛阳期中)已知函数/(x) =(x+D/x, g(x) = -x,尸(x) = /(x) + g(x),且 XX/(X)与g(x)在X = 1处切线的倾斜角互补.(1)求F(x)的单调区间；(2)求证：1 + W+.2 3 n22. (2019春洛阳期中)己知函数/(x) = Y-奴+ /”aeR).(1)当a = l时，求函数“X)在点(1, f (1)处切线的方程；(2)若函数f(x)

8、既有极大值又有极小值，求实数”的取值范围.23. (2019秋五华区校级月考)设函数f(x) = a'-x"(x>O,a>l).(1 )证明：VxG(0,+OO),都有/办<«(2)若函数f(x)有且只有一个零点，求/(x)的极值.24. (2017秋永春县校级月考)已知函数f(x) = J-£，xeR,其中a/O.(I )证明：当。>0时，函数/(X)在(7O,+OO)上为增函数；(II)设函数人。)=/。)-2*,若函数/7(X)只有一个零点，求实数a的取值范围，并求出该零点(可用a表示).2022年高考数学复习新题速递之导数（

9、2021年10月）参考答案与试题解析一.选择题（共11小题）1. （2021春洛阳期中）若函数f（x） = 33+加+2m1是增函数，则实数。的取值范围为（ ）a. y, -&）D（应，+8）B. （-00 , -V2|JV2 , +8）C.（-上，2）D. -V2 , V2【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】计算题；导数的概念及应用；不等式的解法及应用【分析】由函数y（x） = gx3+or2 + 2x + l是增函数，所以r（x）.O对xeR恒成立，进一步得d+2公+ 2.0对xeR恒成立，进而得 = （2。）？-4xlx2 0 ,解之即可.【解答】解：由函数/（力=

10、$3+加+2+ 1是增函数，所以r（x）.0对xeR恒成立，又 r （x） = V + 2ax + 2 ,/. x2 + 2ax + 2. 0 对.尤 £ A 恒成立，所以 = （24）24xlxZ,0,所以£,2,-0领h 0.故选：D.【点评】本题考查函数单调性与导数的关系和一元二次不等式解集为H时所满足的条件， 属中档题.2. （2021 春普宁市期中）若lim"1+'）一"二一班=4,则/，（/）=（）«->ohA. -4B. -1C. 4D. 1【答案】D【考点】极限及其运算【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数

11、学运算【分析】根据导数的定义以及极限的化简即可求解.【解答】解：由lim/(%+_一/(4二3» = 4可得： toh>044h4故选：D.【点评】本题考查了导数的定义以及极限的概念，考查了学生的理解能力以及运算转化能力,属于基础题.3. (2021春普宁市期中)下列求导运算正确的是(A. ln(2x-1)' =B.2x-lC田"泰D.【答案】C【考点】导数的运算【专题】计算题；函数思想；定义法；导数的概念及应用；数学运算【分析】根据导数的公式即可得到结论.17解答解：A?.-ln(.2x-), =x2 =错误，2x-12x-B：.-(x + ly = l-L

12、,.一错误，X 厂i_1 i _21c (=(«v 2 y =x 2 = j=-，c 正确，4224rex Xex - ex£>：.(。=立:,二。错误， X X'故选：C.【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础.4. (2021春普宁市期中)已知函数f(x) = x/nx,若过点(1,0)作曲线y = f(x)的切线/,则直线/的斜率为()A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算【分析】设切点(见勿如m),求得/(幻的导数，可得切线的斜率和方程，代入点(I,

13、。)，解方 程可得切点和切线的斜率.【解答】解：/(x) = x/nx的导数为.1(幻=1 +仇¥ ,设切点为(?, mlnm),可得切线的斜率为1 + Inm ,可得切线的方程为y mlnm = (1 + lnm)x -m),又切线经过(1,0),可得-mlmn = (1- m)(l + Inm),化为 m Inm = 1,设g(x) = x-枢，x>0，/(x) = l-,X当 x>l 时，g，(x)>0, g(x)递增；当 0cxeI 时，gx) < 0 , g(x)递减，可得g(x)在x = l处取得极小值，且为最小值1,所以方程加-= 1的实根只有一

14、个1 .故直线I的斜率为1 + Znl = l.故选：B.【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算 能力，属于基础题.5. (2021春河南期中)已知函数/。) = /+1-2/-依，其中e是自然对数的底数，是实数，若不等式f(x)>0对任意的xe(0,zo)恒成立，则的取值范围是()A. (-oo,e-l) B. (x),e + l)C. (e-l,+oo) D. (e + l,+oo)【答案】A【考点】利用导数研究函数的最值【专题】计算题；整体思想；演绎法；导数的概念及应用；逻辑推理；数学运算【分析】解法一：利用特殊值法排除错误选项即可确定实数

15、。的取值范围；解法二：分离参数，然后构造函数，利用导数研究函数的最值即可确定实数a的取值范围.【解答】解：解法一：利用排除法，当 =e 时，/(x) = ex +x2 - 2x2 - ex , f (1) =e+l-2-e<0,故 =e不合题意，选项3c错误, 当 a = 2e 时，f(x) = ex 4- x2 - 2x2 - lex, f (1) =e + l 22v0,故a = 2e不合题意，选项。错误，故选：A.解法二：由题意可得：a<- + x2-2x,X令g(x) = C + x2-2x(x>0),则 g，(x) =(X-+ 2x_2 =(X-次'：+？厂

16、)(x>0),Xxx所以当x>l时，g' (x)>0,当0<x<l时g' (x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1 + 8)上单调递增，所以g(x),“,“ = g (1) =e l >由恒成立的结论可知ace-1 .故选：A.【点评】本题主要考查恒成立问题的处理方法，利用导数研究函数的性质等知识，属于中等 题.6. (2021春运城期中)已知函数/(x) = ax + Er + 3在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值 范围为()1 21121A.(?)B. (-,1)C. (-1，-) D-【答案】C【考点】利用导数

17、研究函数的单调性【专题】函数思想；分类法；导数的综合应用；数学运算【分析】r(x) = a+' =竺里(x>0),分a.O与a<0讨论，可求得实数a的取值范围. X X【解答】解：由r(x) = a + /= +1 (x>0)得:x x当a.O时，r(x)>0,函数/(X)在区间(1,2)上单调递增，不合题意；当avO时，函数/*)的极值点工=-工，a若函数/*)在区间(1,2)不单调，必有1<-4<2,解得a2故选：C.【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力及运算求解能力，属中档 题.7. (2021春任城区期中)己知函数f(x

18、)的定义域为R,且/(x)>/'(x) + l , /(0) = 3,则不等式f(x)>2e' +l的解集为()a. y,o) b. (o,-H»)c. y,i) d.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】函数思想；构造法；导数的综合应用；数学运算【分析】设g(x)="，利用导数可得y = g(x)在定义域上单调递减，从而得到 exg(x)>g(O)，于是可以求出/(x)>2e*+1的解集【解答】解：设g(x)="口，ex则 g，(x) = " "1,exf(x)>ra)+1，ru)-i

19、>o,.,.g，(x)<0 ,y = g(x)在定义域上单调递减，/(x)> 2ex +1 ,，德)二驾工2，e又 g(o)=丛善= 3-1 = 2，eg(x) > g(0)，.,.jc<0 ,f(x)> 2ex +1 的解集为(ro,0).故选：A.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，由已知构造新函数是解题的关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题.8. (2021春任城区期中)函数/(x)的图象如图所示，/'(X)为函数/(x)的导函数，下列数值排序正确的是( )A. 0<f (3) <f (3) -f (2) <

20、;f (2) B. 0<f (2) < f' (3) <f (3) -f (2)C. 0<f' (3) <f' (2) <f (3) -f (2) D. 0< f (3) -f (2) < f (2) < f(3)【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】数形结合；综合法；导数的综合应用；逻辑推理【分析】过点A作切线4，过点5作切线/©,连接他，得到直线4b，由导数的几何意义可知(2) >弋二产)(3) >0,整理可得答案.【解答】解：过点A作切线过点5作切线0,连接/W,得到直线由图可

21、知，"的的斜率的斜率的斜率，即(2) > 八3)二92) >o,即0</ <f (3) -f (2) <f (2),故选：A.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，正确作图是解题的关键，考查作图与识图 能力，属于中档题.9. (2019春洛阳期中)一质点沿直线运动，如果由始点起经过f秒后的位移S与时间f的关系是S = -3/-9r,那么速度为零的时刻是()A. 0秒B. 1秒末C. 3秒末D. 1秒末和3秒末【答案】C【考点】变化的快慢与变化率；导数的运算【专题】计算题；函数思想；定义法；导数的概念及应用；数学运算【分析】求出函数的导数，解关于导函

22、数的方程，求出答案即可.【解答】解：；5 =-3*-%，.-.v = s'(t) = 3t2-6t-9,令v = 0,解得f = -l (舍去)或f = 3,故选：C.【点评】本题考查了导数的应用以及转化思想，属于基础题.10. (2018秋双滦区校级期中)函数“x) = (3-x2)ex的单调递增区间是()A. (ro,0)B. (0,-K»)C. (-3,1)D. (f,-3)和(l,+8)【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】计算题；整体思想：演绎法；导数的概念及应用；逻辑推理：数学运算【分析】首先求得导函数的解析式，然后利用导函数与单调性的关系求解不等式即

23、可确定函 数的单调递增区间.【解答】解：由函数的解析式可得：fx) = (-2x)eJ + (3-x2)e2 = -ex2 + 2x-3),求解不等式f' (x)>0可得：-3<x<l,则函数的单调递增区间为(-3,1).故选：C.【点评】本题主要考查利用导函数确定函数的单调递增区间的方法，属于基础题.11. (2021秋红花岗区校级月考)定义在R上的函数y = /(x),满足/(10-x) = f(x),(x-5)/(x)>0, (xw5),若 (1) <0,则函数/(x)在区间(9/1)内()A.没有零点B.有且仅有1个零点C.至少有2个零点D.可能有

24、无数个零点【答案】B【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算【分析】依题意知，函数y = /(x)关于直线x = 5对称，在(5,w)上单调递增，(1)<0,且二亨=11 = 5,故函数/(x)在区间(9,11)内单调递增，且/ (9) /(11)<0,可得答案.【解答】解：/(10x) = /(x),.函数y = /(x)关于直线x = 5对称；又(x-5)T(x)>0, (x*5),.当 x>5 时，f'(x)>0 ,当 x<5时，(x)<0,./(X)在(ro,5)上单调递减，

25、在(5,内)上单调递增，又(I) <0,带1 =詈=5,由得函数/(x)在区间(9,11)内单调递增，且/ (9) /(11)<0,有且仅有1个零点， 故选：B.【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查零点存在定理，考查逻辑推理能力及运 算求解能力，属于中档题.二.填空题(共9小题)12. (2021春洛阳期中)已知函数/")=底与g(x) = /x的图象在公共点处有共同的切线, 则实数a的值为 .2e【答案】. 2e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】综合题；方程思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算【分析】先利用导数求出g(x)在某点处的切线/的方程

26、，然后再利用判别式法说明/与>'=ax2相切，由此歹!J出a的方程求解.【解答】解：设4加,勿租)是公共点，由g，(K)=,X得曲线y = g(x)在A处的切线为：y-lnm = (x-m),即y =x + lnm-，mm再设A(九(幻=2以，故/(x)在A处的切线为：y - airT = 2amx - ni),HP y = lam x - am2，1 一 =2am m由已知得重合，故, Inm-1 = -ain2 ,am2 = Inm解得 m = e 9 a = 、= 2M 2e故答案为：. 2e【点评】本题考查导数的几何意义，公切线方程的求法，属于中档题.13. (2021春

27、普宁市期中)设函数f(x) = x/nx-ae',其中aeR, e是自然对数的底数.若 f(x)在定义域内有两个极值，求的取值范围_()_.e【答案】(0,1)e【考点】利用导数研究函数的极值【专题】计算题；整体思想；演绎法；导数的概念及应用；逻辑推理；数学运算【分析】首先求得导函数的解析式，然后将原问题等价变形，转化为方程有两个实数根的问 题，构造新函数，利用导数研究新构造函数的性质即可确定实数的取值范围.【解答】解：由函数的解析式可得：fx) = lnx+-ae',由题意可知，/nx + l-ael=0在(0,e)上有两个不同的实数根，即也= ex只需函数g(x) = &a

28、mp;!.和y = a图象有两个交点， eex (lnx+)ex lnx-g<x) = 不=工；，(e )e易知/z(x) = 1-/nx-l 在(0,+oo)上为减函数，且 (1) =0,当 xe(0,l)时，g' (x)>0, xg(x)为增函数；当xe(l,+(»)时，g' (x) <0 , g(x)为减函数；所以 g(x)"* = g(l) = L 所以 ee又当 x>0, g(x) fro, xf+8, g(x) > 0 ,要使/(x)在(0,位)上存在两个极值点，则0<。<.e故”的取值范围为()e故答案

29、为：(0)e【点评】本题主要考查利用导数研究函数单调性的方法，由函数零点个数确定参数取值范围 的方法，等价转化的数学思想等知识，属于中等题.14. (2021 春运城期中)已知函数/(x) = e2，+ r(0)/(x + 2),贝I，(0)= 4 .【答案】4.【考点】导数的运算【专题】计算题；方程思想；演绎法；导数的概念及应用：数学运算【分析】求出r（x）,令x=o,列方程求解.【解答】解：f'（x） = 2e2',令x = 0,得尸（0） = 2 +勺,解得尸（0） = 4.故答案为:4.【点评】本题考查导数的公式，属于基础题.15. （2021春湖南期中）若函数/（x）

30、 = akr + x-L在（0,转）上单调递增，则的取值范围 X是 _2 2_+8） .【答案】一2, +00）.【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算【分析】依题意，得/*）=色+ 1 + 4.0恒成立，分离参数a ,可得Vxe（0,用）， X X-。+ 1）而“，利用基本不等式可求得当x>0时，（x + 3.而=2,继而可求出。的取值范围. XX【解答】解：.,/（工）=4/1¥ +工一,（工>0）在（0,+00）上单调递增，X恒成立，X x二. Vx G （0,4-00）, 一 “，（X H）"血,X1. X +

31、 -.2 （当且仅当x = L 即x = l时取“=”），XX2，/.a. 2,即。的取值范围是-2, +oo）,故答案为：|2 , +oo）.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想及分离参数法的应用，考查运算能力，是中档题.16. （2021春任城区期中）若函数f（x）满足f（x） = 2配矿（1）,则（1） = 1 .【答案】1.【考点】导数的运算【专题】计算题；函数思想；定义法：导数的概念及应用；数学运算【分析】先求出函数的导数，再求出广(1)的值即可.【解答】解：.,/。) = 2/心-/(1),2r()=/'，X令x = l,则/(1) =2-f (1)

32、,：.f'(1)=1,故答案为：1.【点评】本题主要考查导数的计算公式，属于基础题.17. (2021 春南阳期中)已知函数 f(x) = 2/+ox2.cosxl(aeR),则曲线 y =/(x)在点(0 , ,f(O)处的切线方程是_y = 2x + l_.【答案】y = 2x+l.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算【分析】求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线方程.【解答】解：f(x) = 2/+以2 -cosx-1 的导数为= 2e,v+2orcosx-or2sinx ,可得曲线y = f(x

33、)在点(0 , /(0)处的切线的斜率为2,且/(0) = 2-1=1,所以曲线y = /(x)在点(0 , /(0)处的切线的方程为y-1 = 2(x- 0),即为 y = 2x +1,故答案为：y = 2x + l.【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算 能力，属于基础题.18. (2021春昌吉州期中)已知函数f(x) = (x-l)炉优在己,3上单调递减，则。的取值 2范围是 _I9e32_+oo)_.【答案】9/, +oo)【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】计算题；转化思想；综合法【分 析】 函数f(x) = (x-)e'-al

34、nx在1,3上单调 递减，所以fx) = ex + (x-)ex - a - = xe'0在-,3上恒成立.进一步转化为求g(x) = Ye*的最大x x 2值.【解答】解:由函数f(x) = (x-l)/-Hnx在,3上单调递减,2所以 f'(x) = ex +(x-Y)ex-a - = xe'-4,0在-,3上恒成立, x x 2即x2ev a在g,3上恒成立，令 g(x)=/短，gx) = (2x + x2)ev当xeg,3上时,g，(x)>0,所心函数为增函数，所以g(x)的最大值为g(3) =32e3=9e/.a,.9e3.故答案为：9/, +oo).【

35、点评】本题考查函数在给定区间上单调递减，得到导函数小于等于0对给定区间恒成立， 再转化为最值问题，属中档题.19. (2019秋三元区校级月考)若函数/(x) = V+加+u + d的单调递减区间为(1,4),则b+c= .一2 一【答案】2【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的综合应用；数学运算【分析】单调递减区间即为导数小于零的解集，根据一元二次不等式的解集与对应方程根之 间的关系，可得6, c的方程组，由此求解.【解答】解：f'(x) = 3x2 +2bx + c,由题意知3犬+次+。<0的解集为(1,4),故1, 4是方程3/+2法+。=

36、 0的两个根，,2b1 + 4 =故， 3 ,解得 b =, c = 12 ,lx 4 = £23故/7+c=22故答案为： 2【点评】本题考查导数的应用以及一元二次不等式的性质，属于基础题.20. (2021春滕州市期中)曲线y = /ar + x+l的一条切线的斜率为l +(e为自然对数的底 e数)，该切线的方程为_(l+-)x- + l = O_.e【答案】(1+)xy + l = 0 .e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算【分析】根据切线的斜率等于切点处的导数值，求出切点坐标，问题可解.【解答】解：设切点为(zn

37、,/wz +机+1),由 y = 1 + l 得， + 1 = 1 + 1 ,故m = e, x m e故切点为(e,2 + e),斜率为1 + Le故切线方程为：y-(2 + e) = (l +1)(x-e),e即(l +)x-y + l = 0 .e故答案为：(l +)x-y+ 1 = 0 .e【点评】本题考查切线方程的求法，导数的几何意义等知识与方法，属于基础题.三.解答题(共4小题)21. (2019 春洛阳期中)已知函数 /(幻="+ D"状,g(x) = -x , F(x) = f(x) + g(x),且 xx/(x)与g(x)在x = l处切线的倾斜角互补.(

38、I)求F(x)的单调区间;(2) 求证：1 +，+加5 + 1)(£N«) .2 3 n【答案】(1) F*)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为。,”)；(2)证明见解答.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】函数思想；构造法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算【分析】(1)求得广(幻="一1竽+1, g，0)=一二一 1,依题意得(i)=-g，(1),可求得。=1,于是可求得f(x)=一 ，再构造函数/7(X)= X-/m-x2,求导分析后可得F(x)的单X调区间；(2) 证 法 一： 令 x = >1， 则nn

39、lnl + ln- + ln- + -+ln-< + -+ - + -+, 整理可证得结论成n n n23n 2 3 n立;证法二：数学归纳法证明：易证当 =1时，不等式成立；假设当=-火N*)时，原不等式成立，利用该归纳假设，去推证=后+ 1不等式也成立.【解答】解：(1)由题知，f，(x) = x 1+ 19) = -=-1. XX由于f(x)与g(x)在x = l处切线倾斜角互补,则/ =-g' (1), (1分)即 1一2 + 1+1,解得4 = 1, (2 分)I2 IF(x) = (X+l)lnX + -x,定义域为(0,+00), X X、 x-lnx + 11 ,

40、 x-lnx-X八、/. F(x) =-1 =；，(3 分)xxx1_?丫2- 2(工-：)2令 h(x) = x-lwc-x2, hf(x) = 12x = -:=< 0 , (4 分)xxx力。)在(0,+8)上单调递减，又 (1) =0, (5分).%£(0,1)时，/i(x)>0, F(x)>0； X£(l,+oo)时，僦幻<0, Fx)<0.尸(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,y0).(6分)(2)证法一：由(1)知 = 1是函数/。)的极大值点也是最大值点，F(x) F (1) =0, BP (% + 1)/ +

41、 -,0 , (7 分) X X.。+ 1)伍¥ (X又工>0, XX伍4%-1,当且仅当x = l时取等号，(8分)a + 11 m,i . n + 1 + 1 i 1/c/：、令 x =>1,则/<1=一，(9 分)nn n n1 - 34 - 31 -,2<3 - 2311<2 - 1以上各式相力口得/2+ /一 + /一H-ln- <Id11F . （11 分）23n 2 3 n日n , 034 + 1八 i 111/（2x x x »x） = Inn +1） < 141F , H,2 3 n2 3 n原不等式得证.(12分

42、)证法二：数学归纳法证明：当” =1时，左边=1,右边=加2, 1历2,所以不等式成立.(9分)假设当 = %(%gN.)时，原不等式成立,B|J 1 + - + - + +-> ln(k +1).2 3 k人 2 + 2 m.l ,4 + 2R+21令 x =>1 ,则/<1 =4+ 14+ 1 左+ 1 左+ 11 + + - + -+ + >ln(k +1) + / + 2 = M* + 2), (11 分) 2 3 k k + k + l即对于=4+ 1不等式也成立,由可知对于一切“wN", 1+1)者B成立.(12分)2 3 n【点评】本题考查利用导

43、数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查 数学运算能力与推理论证能力，属于难题.22. (2019春洛阳期中)已知函数/(x) = x2-or + /nx(aeR).(1)当。=1时，求函数f(x)在点(1, 7 (1)处切线的方程； (2)若函数f(x)既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围.【答案】(1) 2x-y-2 = 0. (2)实数a的取值范围为(20,+8).【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算【分析】(1)求得4 = 1的“X)的解析式和导数，以及极值点，极值和端点

44、处函数值，比较 可得/(X)的最值；(2)由题意可得/"(x) = 0有两个不同正根X1 , x,即2x?-ax+1 = 0有两个不同正根，运用判别式大于。和两根之和大于0,两根之积大于0,可得a的范围.【解答】解：(1)当 a = l时，/(x) = x2 -x + lnx, f ( 1) =0 , fx) = 2-1 + ) (1 分) x切线斜率为r(1)=2,(2分)/(x)在点(1, f (1)处切线的方程为y-0 = 2(x-l).即 2x-y-2 = 0. (4 分)(2)函数/(好的定义域为(0,yo), (5分)。/、c , 12x-ax + a 4、f (x) =

45、 2.x - ci H =. (6 jj )XX令g(X)= 2/-aE + l,由题意可知，若函数/(x)既有极大值又有极小值,则函数g(x)图象与X轴正半轴有两个交点，(7分)a= a2 8>0.满足卜(9分)->012解得“>2& , (11分)所以实数。的取值范围为(20,田).(12分)【点评】本题考查导数的运用：求极值和最值，考查二次方程实根的分布，以及化简整理的 运算能力，属于中档题.23. (2019秋五华区校级月考)设函数x) =优一批(x>0,a>l).(1)证明：Vxe(0,+<»),都有/(2)若函数f(x)有且只有

46、一个零点，求/(x)的极值.【答案】(1)证明见解答；(2) /(x)的极大值为e-1 ,极小值为0.【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的极值【专题】计算题；转化思想；综合法；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算【分析】(1)令(x) = /nx-4,求导得。)=21区，利用导数判断出双幻的单调性，从 2x而求出(x)的最大值，最大值小于0,从而得证；(2)由/(尤)=0,得"=x",两边同时取对数整理得'竺=，则/(x)的零点个数等价于 x a方程也="巴解的个数，令g(力=妈，求导，从而可得“ =«,求出/(x) = e*

47、-£,得出 x axfx) = e(ev' -xe'),令奴x) = x-l-(e-l)历k ,求导，利用夕(无)的单调性得出广。)的符号， 从而求出极值.【解答】(1)证明：令h(x) = Inx-, x>0 ,则/(幻=1= = 6，X 2yjx 2x令'(x)>0,可得0vxv4,令"(x)<0,可得x>4, 所以Q)在(0,4)上单调递增，在(4,yo)上单调递减, 所以*)的最大值为/? (4)=历4一2 = 2(加2 1)<0, 所以人(x)<0, 所以 Vx £ (0,+oo),都有 lnx

48、<4x .(2)解：由/'(x) = 0,得优=£,则 =所以如=也,x a所以/(X)的零点个数等价于方程蛆=解的个数, x a人，、lux . -lnx 口 /、 Ina令 g(x) =，则 g (x)=2，且 g 3)=， xxa所以g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,yo)上单调递减,又因为g (1) =0,且由(1)知蛆<近=, X X y/x则当无 f +8 , g(x) T 0 ,所以。=e时，g(x) = g (a)有且只有一个解,所以若函数/(幻有且只有一个零点，则 =e,此时/(工)=炉-/,所以 /，(幻=/_ / = 5 _ Z-i),

49、4,(px) = %-1-(<?- V)lnx , 则(pf(x) = l-=-, x x所以(p(x)在(0,e -1)上单调递减，在(e- l,yo)上单调递增，(p (1) = (p (e) = 0 ,所以当了 £(0,1)时，(px > 0 ,当 xc(l,e)时，(p(x) < 0 ,当 %£(e,+oo)时，(px > 0 ,所以当入£(0,1)时，x->(e-l)lnx ,则/一/",则 八十)>0,同理可得，当 (l,e)时，fx) < 0 ,当 X£(e,y)时，/z(x) >

50、0 ,所以x = l和x = e分别是函数/(幻的极大值点和极小值点，所以a = e时，/a)的极大值为e-l ,极小值为0.【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值与极值，考查零点个数问题，考查转化思想与运算求解能力，属于难题.24. (2017秋永春县校级月考)已知函数f(x)=，xwR,其中ah0. a 2X(I )证明：当a>0时，函数f(x)在(一0,e)上为增函数；(n )设函数/z(x) = f(x)-2",若函数/z(x)只有一个零点，求实数a的取值范围，并求出该零点(可用a表示).【答案】(I )证明见解答；(II)实数。的取值范围为(-8,0)UP

51、卷;零点为x = 10g?曰券和x = -g.【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】(I)a>0，y = ?是/?上的减函数，由复合函数的单调性即可证得结论成立；(II )化简函数/?(x) = /(x)-2"'-2*,分a<0与a>0,求只有一个零点时a的取值范围，进而求出零点.【解答】解：(I )证明：函数/*)=：一三，；.y = £是R上的减函数，2，.一 =-色是/?上的增函数， 2X二函数f(X)=L-/在(70,”)上为增函数；(2)函数/i(x) = x)-2、=-=-

52、2*,当a<0时，易知函数Mx)为减函数，且当 X -> +8 时，h(x) - -00 ,当 x > -00 时，h(x) > +oo ；故函数力(x)只有一个零点，令-g-2*=0解得，a 2*当a > 0时，/2(X) = 1-2x=-(+ 2A);a 2X a 2X由2+ 21.26知I,2V当1-2& = 0,即。=理时，函数以x)只有一个零点：a2故此时尤=；33历故实数a的取值范围为(-8,0)U半 【点评】本题考查复合函数的单调性的应用，同时考查了零点与方程的根的关系，考查分类 讨论思想与运算求解能力，属于难题.考点卡片1.函数零点的判定定

53、理【知识点的知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y=/(x)在区间切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 fCb) <0,那么函数y=/(x)在区间(a, b)内有零点，即存在ce (a, b),使得/(c) =0,这个c也就是f (x) =0的根.特别提醒：(1)根据该定理，能确定/G)在(a, b)内有零点，但零点不一定唯一.(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说 明函数在(a, b)上没有零点，例如，函数f (x) =7-3彳+2有/(0"/(3) >0,但函数 f (x)在区间(0, 3)上有两个零点.(3)若/

54、(x)在出，例上的图象是连续不断的，且是单调函数，/(a). f(b) V0,则/(x) 在(a, b)上有唯一的零点.2、函数零点个数的判断方法：(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=/(x)的图象联系起来，并 利用函数的性质找出零点.特别提醒：“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程f-2x+l=0 在0, 2上有两个等根，而函数f(x) =r-2x+l在0, 2上只有一个零点；函数的零点是实数而不是数轴上的点.(2)代数法：求方程f (x) =0的实数根.2.变化的快慢与变化率【知识点的知识】1、平均变化率：我们常说的变化的快慢一般指的是平均

55、变化率，拿y=f (x)来说，当自变量x由用变化到X2时，其函数y=/（x）的函数值由f （xi）变化到/（X2）,它的平均变化率为把（X2-X1）叫做自变量的改变量，记做*；函数值的变化/（X2）-/x2-xl （xi）叫做因变量的改变量，记做.函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即卓三f（x> x x2-x j2、瞬时变化率：变化率的概念是变化快慢的特例，我们记X=X2-XI, y=/Cv2）（X1）,则函数的平均变化率为：当趋于0时，平均变化率就趋于函数在力Ax Ax点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率.3、导数的概念：函数在x=xo处时

56、的瞬时变化率是函数y=f （x）在x=xo处的导数，记作/' （xo）(xo)=x->0f (x0+Ax)-f (XO) x=liirrx+0AyAx【典例例题分析】典例1： 一质点的运动方程是s=5-3，则在一段时间|1, 1+4内相应的平均速度为（）A. 3A/+6 B. -3ZV+6 C. 3Ar- 6 D. - 3A/- 6分析：分别求出经过1秒种的位移与经过秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均速度=位移+时间，建立等式关系即可.解：正5_3（1+吗尸5_3>< 一6c故选D.点评：本题考查函数的平均变化率公式：fLx）-f（x）.注意平均速度与瞬时速度的区 Ax别.典例2： 一质点运动的方程为5=8 - 3?.（1）求质点在口，这段时间内的平均速度；（2）求质点在r=l时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）.分析：本题考查的是变化率及变化快慢问题.在解答时:(1)首先结合条件求的5,然后利用平均速度为4进行计算即可获得问题的解答；At(2)定义法：即对平均速度为4当趋向于0时求极限即可获得解答；求导法：f=l At时的瞬时速度即s=8-3产在f=l处的导数值，故只需求1时函数S=8-3*的导函数值 即可获得问题的解答.解答：由题意可知：(1) V.v=8 - 3?.s=8-3 (1+