第三节 多自由度系统振动619

1、第三章 多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模

2、态分析与参数识别的理论基础。因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。例一 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。三个质量只作水平方向的运动，并分别受到激振力，和的作用，质量块的质量分别为，和，弹簧刚度分别为， 和，阻尼分别为， 和。图3-1 3自由度系统解：分别用三个独立坐标，和描述三个质量块的运动，坐标原点分别取在，和的静平衡位置。质量块的速度分别为，和，加

3、速度分别为，和。每个质量块的受力图如3-2（a、b、c）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为： 图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c)或上述方程组可以用矩阵表示为：三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。若质量、刚度和阻尼矩阵都是对角矩阵，则三个微分方程是独立的，相当于三个独立的单自由度系统，其求解变为三个单自由度系统求解。质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合，刚度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。此例中没有惯性耦合，因为质量矩是对角的。但一般情况下质量矩阵并不是对角的，所以一般情况下多自由度系统既有弹性耦合、也有惯性耦合。下面我们通过一个例子来说明质量矩阵

4、不是对角的情况。例二 写出图3-3所示系统振动微分方程系统中均质刚性杆AB的质量为m，转动惯量为，前后两端分别用刚度为和的两个弹簧由承于地面上，杆全为长。图3-3若用杆两端的竖向位移、来描述刚杆的运动状态，则受力图如图3.4所示， 图3.4显然、质心处的加速度为，根据牛顿第二定律，在竖直方向有：杆的转动加速度为（顺时针为正），对C点应用动力矩定理：整理并写成矩阵形式有：质量矩阵并不是对角的。当然，此例中若选质心的平动及绕质心的转动来描述运动，质量矩阵将是对角的。一般地，对n自由度系统，振动微分方程为：写成矩阵形式有： (3.1)根据分析力学，具有定常约束的系统的动能T与势能U可写为下列二次型

5、(3.2)对于稳定平衡的振动系统,系统的动能T总是大于零的(除非系统是静止的)，所以质量矩阵一般是正定的。同样，系统的势能U也总大于零，所以刚度矩阵也是正定的。此外，系统的动能和势能不会因为表达形式不同而改变，对式(3.2)转置，比较可知，刚度矩阵和质量矩阵必须是对称矩阵，因而有： (3.3)3.2无阻尼自由振动一、固有频率和振形本节主要目的是通过无阻尼自由振动系统来介绍多自由系统的固有频率和振型，它们是多自由振动系统的重要特征。在无阻尼情况下，系统的自由振动微分方程可以表达为： (3.4)在单自由度系统中,我们得到无阻尼自由振动解为正弦函数或余弦函数,不失一般性。对于多自由度系统振动解可设为

6、： (3.5)列向量和均为待定复常数。若系统是振动的，则解必为实数。将式(3.5)代入(3.4)，得到下列代数齐次方程组： (3.6)上面的方程组存在非零解的充分必要条件是系数行列式为零，即： (3.7)式(3.7)为系统的特征方程，具体写出为： (3.8)上式左端的行列式展开后是关于的n次代数多项式： (3.9)称为特征多项式，由式(3.8)或（3.9）可解出n个称为特征值或特征根，将其按升序排列为：显然特征值仅取决于系统本身的刚度和质量参数。这n个特征值在大多数情况下互不相等且不为零，重根的零根说明系统有刚体运动。有零根和情况本书不再讨论，有兴趣的读者可参考相关的线性代数和振动理论书籍。在

7、求得特征值后把某一个代回式(3.6)，可求对应的列向量。由于式(3.6)的系数矩阵不满秩，在没有重根和零根情况下只有(n-1)个是独立的，故只能求出列向量中各元素、的比例关系。我们去掉其中不独立的某一式(例如最后一式)，并将剩下的n-1个方程式中某一相同的项(如项)移到等式右边，可得代数方程组： (3.10)解上面的方程，可得到用表达的解、，显然都与的值成比例。我们可将这些比例常数用表示，并补充，可得列向量，则有： (3.11)列向量是确定的常数，反映列向量中各数的比例关系，叫作特征向量。同比例放大或减小特征向量并不改变其比例关系，所以应用时常根据需要来放大或减小特征向量。不失一般性，我们可在

8、式（3.11）中用待定复常数取代，式（3.11）可写为： (3.12)这样，当成比例变化时，有相应的变化，对应不同的特征值，可得到不同的特征向量。对应于n个特征值可得n个特征向量 ，且每一个特征向量都满足式（3.6）。对于一个振动系统，特征值就是系统的固有频率，特征值相对应的特征向量就是系统的振形。显然，对应于n个固有频率可得n个振形。我们将在后面论述。二、无阻尼自由振动的解显然，将及代入式(3.5)，可得n组满足方程（3.4）的解，将这些解相加，可得多自由度系统自由振动的一般解为： (3.13)其中2n个待定常数由系统运动的初始位移和初始速度确定。如果系统在某一特殊的初始条件下，使得待定常数

9、中只有0，则式(3.13)所表示的系统运动方程只保留第k项: (3.14)参见前一章，多自由度系统振动一般解的方程可表达为： (3.15)这时整个系统按圆频率、振幅比作同步简谐运动。振幅分别为，振幅之间都保持固定不变的比值。因此特征向量完全确定了系统按固有频率振动时的形态，所以特征向量就是按相应固有频率振动时的振型向量，对应的特征向量称为它的第阶主振型或主模态，相应的振动叫主振动。在振动过程中，一般还会产生其它阶主振动。对于一个n自由度系统，一般可以找到n个固有频率，以及相应的n个主振型。我们把各阶主振型组成的矩阵叫做振型矩阵： (3.16)例三在图3-5所示的三自度系统中，设，,，求系统的固

10、有频率、振型。图3-5 解：分别用3个独立坐标、和描述三个质量块的水平运动，可写出系统的质量矩阵和刚度矩阵。 ； (1)系统自由振动微分方程为： (2)令 代入上式整理可得特征值方程为： (3)展开整理后，有： (4)可求得的三个根为：所以系统的固有频率分别为： 不妨设所对应的列向量为，且=那么解特征向量的代数方程为：将=代人(上)式中二式有，且：对应的列向量为=解得:一阶振型,见图3.6（a）同理，将=代人(上)式中第式有：解得: 二阶振型，见图3.6（b）将=代人(上)式中二式有：解得: 三阶振型，见图3.6（c）其各阶阵形如图所示：图3.6（a）图3.6（b）图3.6（c）3.3振型的正

11、交性在前面我们分析了无阻尼系统自由振动的一般性质，指出一个n自由度的系统具有n个固有频率及n个主振型 (j=1,2,n)，本节主要讨论主振型之间关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。设、分别是相应于固有频率、的主振型，由式（3.6）有： (3.17)同理可得： (3.18)将式（3.17）和式（3.18）分别左乘和得： (3.19) (3.20)将式（3.19）转置，考虑到质量和刚度矩阵的对称性有： (3.21)将式(3.21)减去式(3.20)得： (3.22)当不等于时，若无重根，,则有： （ij） (3.23)将式（3.23）回代到式 (3.20)得到： （ij） (3.24)上两式(3.23

12、)、式(3.24)表示固有频率不相等的两个振型之间，存在着对质量矩阵和和刚度矩阵的正交性。当i等于j时，可记为： (3.25) (3.26)和分别叫作第阶振动的主质量和主刚度，都是正实数，显然： (3.27)推广到整个振型矩阵有： (3.28)其中为对角阵，称为主质量矩阵，即： (3.29) 也是对角阵，称为主刚度矩阵，即： (3.30)在近似计算或实验分析时，给出相应的振型函数后，就可得到系统固有频率的近似值，其精度与振型函数的选取有关。如果主质量为1，则主刚度就是固有频率的平方（式3.27），使表达式更简洁。使主质量等于1的振型叫正则振型。由于主振型列阵只表示系统作主振动时各幅值的比例关系

13、，同除主质量平方根并不影响这个比例关系。各主振型正则化的过程就是求出主振型后，再求出主质量，然后将主振型除以主质量的平方根。若记为正则振型，要使主质量为1，只需令。显然，振形正则化后的主质量矩阵是单位矩阵。【例四】求例三所示系统的主刚度矩阵、主质量矩阵、正则振型矩阵以及振形正则化后的主刚度矩阵、主质量矩阵。解：例三中已得出质量矩阵、刚度矩阵和各阶振型，振形矩阵为：从而主质量矩阵主刚度矩阵由可得各正则振型列阵如下于是得正则振型矩阵主刚度矩阵3.4振型的叠加法在无阻尼自由振动中，我们得到： (3.31)从式中看出，每一个独立坐标的振动量是各阶振型的叠加，这启发我们用各阶主振动来描述系统的振动，这种

14、方法叫振型叠加法。振型叠加法求解多自由度系统就是将按独立坐标振动的问题转变为按主振型振动的问题。用独立坐标（）来描述多自由度系统的一般振动微分方程为： (3.32) 在求得系统主振型后，设描述各阶主振型的振动量的独立坐标为,则各独立坐标的振动是各主阶振动量的叠加，可设： (3.33)为按第主振型振动的坐标，叫作主坐标。在数学上，这相当于做了一个变换。经过这个变换后，相应的初始条件为： (3.34) (3.35)将其式(3.33)代入式(3.32)，并前乘振型矩阵的转置得： (3.36) 将式（3.25），（3.26）代入上式（3.31），并记, (3.37a) (3.37b)可得： (3.38

15、)虽然主质量矩阵与主刚度矩阵是对角阵，矩阵一般并非对角阵，所以式(3.38) 是一组通过速度项相互耦合的微分方程。如果也是一个对角矩阵，则式(3.38)是不耦合的，是n个独立的二阶微分方程，相当于n个单自由度系统，使求解大为简化。当阻尼较小，略去的非对角线元素组成的各阻尼项，即令的非对角线元素的值为零可使方程解耦；另外一种方法是假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合的情况,使阻尼矩阵对角化。即： (3.39) 解耦后式(3.38)为： (3.40)转化为n个单自由度系统，可根据初始条件求解，得。 最后，将方程代入坐标变换式(3.33)，即可得到广义坐标下的响应，即 (3.41)对于大阻尼情

16、况，引入复模态理论可使方程解耦，本书不做讨论。 例五：用振型叠加法求解上例题例三初始速度及初始位移为下系统的响应。解：由上例可知：无阻尼自由振动微分方程为： (1)振型函数为： (2)主质量矩阵：(3)主刚度矩阵：(4) 将代入(1)，并左乘可知： (5)展开得到： (6)解(6)式得到： (7)其中： 根据初始条件，由可知，主坐标就满足的初始条件，。对振形矩阵求逆得：从而，对式进行求导得到：将初始条件，代入式和，得到待定系数的解：同理，得到： 代入式，得到：代入中，得到：3.5多自由度传递函数多自由度振动微分方程为： (3.42)这是多输入多输出问题，按传递函数的定义，每一个输入对每一个输出

17、都有一个传递关系，若输入，其余均为零，则可得j点输入时对各输出点的传递函数，对全部输入可得传递函数矩阵 (3.43)事实上对于复数形式激励，设系统的稳态响应的复数形式 ，代入微分方程 (3.42)得： (3.44) 其中，为传递函数， (3.45)显然，由于系统参数是对称矩阵，传递函数矩阵也是对称的。若输入为单位脉冲，其余均为零，则可得j点输入时对各输出点的单位脉冲响应，对全部单位脉冲激励可得单位脉冲响应矩阵 (3.46)利用上式作傅氏变换，可得到传递函数矩阵。为了更好的分析传递函数的性质,设，代入式（3.38）解耦后得到： (3.47)当激励为时，主坐标的稳态响应有修改解为： (3.48)激

18、励,代入上式（3.28）得到： (3.49)激励对主坐标的传递函数为： (3.50)若变换中振型矩阵式为正则振型矩阵，则上式为： (3.51)因为，所以代入得每一项 (3.51)下标表示第点激励，第点响应之间的传递关系。显然，传递函数矩阵是对称的，是项多项式的和，其中每一项相都当于一个单自由度系统的传递函数。上式分离后可得实频和虚频关系和，从而其幅频和相频分别如下： 幅值： (3.52)相位： (3.53)传递函数反映了系统参数与固有频率、振形之间的关系，是振动测试和分析的理论基础。 例六 在图3-7所示的三自度系统中，设，求传递函数，并图示其实频、虚频、幅频和相频特性。图3.7解：第三节已经求出系统的固有频率为；正则振形为： 将已知条件和上述结果代入式（3.51）可得：我把式（3.51）重新推导了一下，发现原来求和下标错了，已