高中数学复习学案(第47讲)抛物线

1、题目 第八章圆锥曲线抛物线高考要求 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质了解圆锥曲线的初步应用 知识点归纳 1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线2抛物线的图形和性质：顶点是焦点向准线所作垂线段中点。焦准距：通径：过焦点垂直于轴的弦长为。顶点平分焦点到准线的垂线段：。焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。焦点弦为直径

2、的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。3抛物线标准方程的四种形式：4抛物线的图像和性质：焦点坐标是：，准线方程是：。焦半径公式：若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：，焦点弦长公式：过焦点弦长抛物线上的动点可设为P或或P5一般情况归纳：方程图象焦点准线定义特征y2=kxk>0时开口向右(k/4,0)x= k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= k/4的距离k<0时开口向左x2=kyk>0时开口向上(0,k/4)y= k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= k/4的距离k<0时开口向下题型讲解 例1

3、 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（3，2）；（2）焦点在直线x2y4=0上分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论解：（1）设所求的抛物线方程为y2=2px或x2=2py（p0），过点（3，2），4=2p（3）或9=2p·2p=或p=所求的抛物线方程为y2=x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=（2）令x=0得y=2，令y=0得x=4，抛物线的焦点为（4，0）或（0，2）当焦点为（4，0）时，=4，p=8，此时抛物线方程y2=16x；焦

4、点为（0，2）时，=2，p=4，此时抛物线方程为x2=8y所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=8y，对应的准线方程分别是x=4，y=2点评：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解例2 如下图所示，直线相交于点M,点,以A、B为端点的曲线段C上的任一点到 的距离与到点N的距离相等若为锐角三角形,建立适当的坐标系,求曲线段 C的方程分析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x、y的取值范围解: 以MN中点为原点,MN所在直线方程为x轴建立直角坐标系,

5、设曲线方程为由得: , 又, ,解得 由锐角为三角形, , , 又 故所求曲线方程为: 点评：本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力例3 设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明直线AC经过原点O分析：证直线AC经过原点O，即证O、A、C三点共线，为此只需证kOC=kOA本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决证法一：设AB：x=my+，代入y2=2px，得y22pmyP2=0由韦达定理，得yAyB=p2，即yB=BCx轴，且

6、C在准线x=上，C（，yB）则kOC=kOA故直线AC经过原点O证法二：如图，记准线l与x轴的交点为E，过A作ADl，垂足为D 则ADEFBC连结AC交EF于点N，则=，=|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，|EN|=|NF|，即N是EF的中点从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O点评：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到yA·yB=p2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目例4 已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0, y

7、0），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N（1）求点N的坐标（用x0表示）；（2）过点N与MN垂直的直线交抛物线于P、Q两点，若|MN|=4，求MPQ的面积解：（1）设A(x1, y1)、B(x2、y2)，由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得x1+x2=2x0得线段AB垂直平分线方程：令y=0，得x=x0+4, 所以N(x0+4, 0) （2）由M(x0, y0) , N(x0+4, 0), |MN|=4, 得x0=2 由抛物线的对称性，可设M在第一象限，所以M(2, 4), N(6,0)直线PQ: y=x6, 由得MPQ的面积

8、是64例5 已知抛物线与直线相交于A、B 两点 ,求证; 当的面积等于时,求的值分析: 根与系数的关系、弦长公式 或应用向量解题 。证明: 设 ; ,由A,N,B共线 , 又 解 由得例6 已知抛物线C:点M是抛物线上任意一点,点F是抛物线上任意一点,点F是抛物线的焦点,(G为准线与x轴的交点)(1)求证:等腰三角形MNF底边上的高所在直线MK是抛物线的切线;(2)求证:光线FM在点M的反射光线MB必平行x轴证明: (1)设则 又 由知，直线MK是抛物线在点M的切线 (2)令MA为法线,则 +, 为平角所以反射光线MB平行x轴 例7 如图,ABCD是一块边长为4km的正方形地域,地域内有一条河

9、流MD,其经过路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不记),某集团公司准备投巨资建一个大型矩形游乐园PQCN问如何施工才能使游乐园面积最大?并求出最大面积解: 以M为原点BA所在直线为y轴,如图建系 设抛物线方程为,由点D(4, 2)在抛物线上, 故物线方程为 设是曲线MD上任意一点 则, 矩形游乐园面积 , 令得 当 时; 当时, 时,S有极大值, 此时, 又时, 所以当游乐园长PN=, 宽PQ=时,其面积最大为例8 A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OAOB(O为坐标原点)求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB经过一个定

10、点(3)作OMAB于M，求点M的轨迹方程解：(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2, y12y22=4p2x1x2, OAOB, x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=4p2 (定值)(2)直线AB的斜率k=, 直线AB的方程为yy1=(x),即y(y1+y2)y1y2=2px, 由(1)可得 y=(x2p),直线AB过定点C(2p,0)(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y=(x2p) (i),又ABOM, 故两直线的斜率之积为1, 即·= 1 (ii)由(i),(ii)得x22px+y2=0 (x

11、¹0)解法2: 由OMAB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出例9 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=, y=,又设点A，B，M在准线:x=1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|)³(|AB|)=等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x)由得16k2x

12、28(k2+2)x+k2=0依题意|AB|=|x1x2|=×=3,k2=1/2, 此时x=(x1+x2)= y= ±即M(,), N(,)小结:1求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法2凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算3解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质4圆锥曲线统一定义：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当0e1时，表示椭圆；当e=1时，表示抛物线；当e1时，表示双曲线5由于抛物线的离

13、心率e=1，所以与椭圆及双曲线相比，它有许多特殊的性质，而且许多性质是可以借助于平面几何的知识来解决的6抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离牢记它对解题非常有益7求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程8在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化学生练习 1 抛物线的焦点坐标为( )A B C D 答案: A 解析: 从初中学的抛物线(二次函数)到高中的抛物线2 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是 ( ) A B C D 答案:

14、C 解析: 把转化为M到准线的距离,然后求的最小值3 过抛物线的焦点作直线交抛物线于,若,那么等于 ( )A 10 B 8 C 6 D 4答案: B解析: 4 抛物线顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线上,则其方程为 ( )A 或 B 或 C 或 D 不确定答案: C解析: 解直线与两轴交点坐标,进而求5 过点(0, 2)与抛物线只有一个公共点的直线有 ( )A 1条 B 2条 C 3条 D 无数条答案: C 解析: 相切与相交均能产生一个公共点6 一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,则玻璃球的半径的范围为 ()A B C D 答案: C

15、解析: 设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y), 列出转化为二次函数问题7 抛物线 的动弦AB长为,则AB中点M到轴的最短距离是 ( )A B C D答案: D解析: 可证弦AB通过焦点F时,所求距离最短 8 直线过抛物线的焦点,并且与轴垂直,若被抛物线截得的线段长为4,则 ( )A 4 B 2 C D 答案: A解析: 所截线段长恰为通径9过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q,则等于 ( )A B C D 答案: C解析: 考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴,10 设抛物线的轴和它的准线交于E点,经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点(直线PQ与抛

16、物线的轴不垂直),则与的大小关系为 ( )A B C D 不确定 答案: C解析: 向量解法: 由A、F、B共线得(重要结论),进而得出11 已知抛物线上一定点和两动点P、Q ,当P点在抛物线上运动时,则点Q的横坐标的取值范围是 ( )A B C -3, -1 D 答案: D12 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则 ( ) A B C D 答案: C 解析: 因为A、F、B三点共线所以13在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为A B1 C2 D4答案：C解析：抛物线的准线方程为x=，由抛物线的定义知4+=5，解得P=214

17、设a0，aR，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为A（a，0） B（0，a） C（0，） D随a符号而定答案：C 解析：化为标准方程15以抛物线y22px（p0）的焦半径PF为直径的圆与y轴位置关系为A相交 B相离 C相切 D不确定答案：C 解析：利用抛物线的定义16以椭圆 +=1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点，则|AB|的值为_解：中心为（0，0），左准线为x=，所求抛物线方程为y2= x又椭圆右准线方程为x=，联立解得A（，）、B（，）|AB|=答案：17对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）能使这抛物线方程为y2=10x的条件是_（要求填写合适条件的序号）解析：由抛物线方程y2=10x可知满足条件答案：18 抛物线的焦点弦AB,求的值解:由 得 19设一动直线过定点A