求导法则与求导公式

1、§ 2.2求导法则与导数的基本公式教学目标与要求1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则2. 理解反函数的导数并能应用；3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数；4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。教学重点与难度1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导;2. 会求反函数的导数；3. 会求复合函数的导数前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数，有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几 个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数

2、一一初等函数的导数。一、函数的和、差、积、商求导法则1. 函数的和、差求导法则定理1函数u(x)与v(x)在点x处可导，则函数 y二u(x)_v(x)在点x处也可导，且y =u(x) _ v(x) = u (x) _ v (x)证 (理于ry = lim也(玄+心)+巩玄+ Ax)琥劝+巩对Ai-+Ow(x + Ar) - w(x) + jc 4- Ar) - v(x)|=limitw(.v +Av) w(.v) v(a + Av) v(.v)=mil+ lim 少AvAv->oAy=讨(x) .1III同理可证：u(x)-v(x) =u(x)-v(x)即证。注意：这个法则可以推广到有限

3、个函数的代数和，即U!(X)_U2(x) I" Un(x)'u1(x)u：(x)川 u：(x)，即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。4兀例1求函数y = x cosx ln x '的导数2jJ!)解 y = x cosx 丨 nx I2丿4 *. Ar "=(x )+(cosx)+(lnx) l2丿six 1x2. 函数积的求导公式定理2函数u(x)与v(x)在点x处可导，则函数 y = u(x)W(x)在点x也可导，且' ' ' 'y =u(x)v(x) =u (x)_v(x)+u(x)_v(x)。证 Ar = z/(

4、x + iv)v(x + &r) 一=«(.v + Ax)v(x 4 Ax) -+ Ax)十 I H(X)V(X + Av) -=Au - r(x + Ax) + w(_¥)- Av ,因为(x)可导，必连续，故1imAx) = r(x),于是lim 二 iim lim v(x十 Ar) + h(x) lim AvAv Ar H)ArMl=护(龙)rv( jc) + w(x)rXx) *注意：1)特别地，当u =c ( c为常数)时，y' =cv(x)cv'(x)，即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得：IIIIy

5、=au(x) 土bv(x) =au(x)土bv(x)。2)函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即IIII(山氏|1虬)二5氏川un uglHun |1| 5匕山山。例2求下列函数的导数。1) y =3x3 2x2 -5x 4sin x ；解y'=3x32x2 L.5x4si nx2=9x 4x -54 c oxs32) y =3x 4ln x -5cos x解 y= 4x 5sin x x例3求下列函数的导数1) y = x34x_sin x ；2) y 二 x'Lln x_cosx解1)y =(x3 4-Qsi nx) =(x3) 4(、x) sinxx(si

6、nx)'= 3x2si n x + 依 Lcosx) = 3x2 + 2si2F 4/cosx2)y =(x3ln xbosx) =(x3)n x_c°sx +x3J(ln x)Lcosx + xlln xj(cosx) = 3x2lnxcosx x'Jasx-x'Llnx_sinxx= x2(3ln x|_cosx cosxx|jn x_sin x)3.函数商的求导法则定理3函数u(x)与v(x)在点x处可导，且v(x) H 0，则函数y =丄(0在点X处也可v(x)导，且/=u(x) v(x)u (x)v(x) -u(x)v (x)v2(x)证Ay =ii

7、(x + Av) tt(x) M(工 + Ax)v(jc)- u(x)v(x + Ar)r(,v +Av) v(x)+Av)*v(x)u(x + Ax)v(x)-n(x)v(x) -|w(x)v(x + Ax) - «(a:)v(x)|v(x+Ar) v(x)v(x)Aj/ - «(x)Avv(x+Ax) - v(x)所以沁：v3_v(x)£-u(x)£x v X =x .v x因为v x可导必连续，故limv x ： =x 二 v x ,于AuAvAv(x)lim 一u(x)lim 卫=.J。AX.Xx v x lim°v x ： =xu x

8、 v x- u x v x2v xcv(x)77（v（x）= o）注意：特别地，当u = c （c为常数）时,例4求了二tan A：的导数.解“v zsin = (tan x)=()cosx(sin.v)'cos xslnx(cos cos2 XCOS2 .V4-S1I12 A*1:=，sec£0茄 XCOS2 A'即(tanjr)' = sec2 xy"珂类似可得(cot x)f = -C$2 X例5求y的导数*(ly -1 v斛八0阳=yCOSA-(COSA*y sinx=s二* = sec xtan wCOS' X cos X艮卩jt)

9、，= sec x tan x类似可得 (cSCA'/ = CSCACOtA'总结：根据上一节中求出的正弦和余弦的导数公式，可得三角函数的导数为:(sin x)f = cosx,(cos x)r = sin x ,(tan x)r = sec'(cot xf = -esc" x ,(sec x)r- sec x tan _v ,(CSC X)r 一 CSC XCOt X ,、反函数的导数想一想：在基本初等函数中，还有哪些函数没有求导法则？在基本初等函数中， 我们还有反三角函数和指数函数的导数求法没有讨论，如何求呢?易知，反三角函数和指数函数分别是三角函数和对数函

10、数的反函数。能否通过三角函数和对数函数的导数来求反三角函数和指数函数呢？这是可以的，这就是我们下面将要介绍的反函数的导数：定理4 设函数y = f (x)在某一区间是单调连续，在区间任一点x处可导，且f(x) =0，则它的反函数 x = f J(y)在相应区间内也处处可导，且f(x)=1f J(x)证 因为函数y = f (x)在某一区间内是单调连续函数，可知其反函数X二f J(y)在相应区间内也是单调连续函数。当y = f (x)的反函数x = f，(y)的自变量y取得改变量iy( = y = 0)时，由x = f 4 (y)的单调性知 厶x二f °(y *y) - f "

11、;y) = 0，于是又因为x = f"y)连续，所以当Uy 0时，0。由条件知f(x) = 0，所以f(y)=lim x.y UyLX1f(x)=或f(X)=1f J(x)即证。例6求下列反三角函数的导数。1) y = arcs in x ；2) yarccosx ；3) y =arctanx ；4) y = arccot x。解v x = sin y在厶=(-Z内单调、可导，2 2且(sin y)r = cosj>0,二在* =(1J)内有(Eg亠二丄二严丄(siny) cosy Jl shry Jl卫(arcsin x)r = , 1 类似有 山二 一一f=Vl-AT2Jl

12、 十(arctan x)' -(arccot x)f =r1 + x_1 + 斗x例7求函数y=a (a .0,aM)的导数。根据反解 由于y二ax(x(-：,：)为对数函数x = loga y(y (0, ：)的反函数,函数的导数法则得1y 二(ax)y ln a = ax ln a(log ay)所以，指数函数的导数公式为特别地，当a =e时，有(axf-axln a(ex)二 ex三、复合函数的求导法则以及求综上，我们对基本初等函数的导数都进行讨论，根据基本初等函数的求导公式,导法则，就可以求一些较复杂的初等函数了。但是，在初等函数的构成过程中，除了四则运算外，还有复合函数形式，

13、例如：y二sin2x。思考：如果 y = sin 2x，是否有(sin 2x)= cos2x ？因此，要完全解决初等函数的求导法则还必须研究复合函数的求导法则。定理 设函数u二(x)在点x处有导数 山丄：(x)，函数y= f(u)在对应点u处有导数y f (u)，则复合函数y二f ：:(x)在点x处也有导数，且简记为d史史或yxdx du dx(证明略)注意：(i)复合函数的求导法则表明:复合函数对自变量的的导数等于复合函数对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导。这种从外向内逐层的求导的方法，形象称为 链式法则。(2)复合函数的求导法则可以推广到有限个中间变量的情形。例如，设y = f (u)

14、， u 二 g(v),v = (x)，则dy dy du dv，dTdu dV dx 或u vx(3)在熟练掌握复合函数的求导法则后，求导时不必写出具体的复合步骤。只需记住 哪些变量是自变量，哪些变量是中间变量，然后由外向内逐层依次求导。例86求函数y =(2+3x)的导数解.55y =6(2+3x ) 3 = 18(2+3x)例9求函数y =sin In ； 3x的导数解y '=cos(ln V37 )V3=J3x2Jxcos l n x32x例10求幕函数y =xu的导数。解(疋y=(甘贬上例11求函数y二f sinx sin f x的导数。解 y 二 f sinxcosc：； c

15、ofs x f x例12求下列函数的导数。11)y 二 f ( ) ;2)y =ef(x)。x解 i* yr = f(丄)X XA- X2宀心0 =广(©")本节小结通过本节以及上一节学习，到目前为止。我们已经学习了全部初等函数的求导公式和函数的求导法则，以及反函数、复合函数、隐函数的求导法则。从而解决了初等函数的求导问 题。这些公式和法则是基础，所以，必须要牢记和熟记。归纳如下：1.求导法则（1） u v= u±v（2） （uv） = u v uvIIu ' u v fuv（3） （cu） = cu （ c 为常数）（4） （一）2 （v = 0）vvI（5）（c） - _筈（c为常数）v v1 '1 '（6）f （y）； （f （x） = 0）f （x）(7) yx=yu|_Ux，其中 y = f (u), u h(x)2基本初等函数的导数公式(lo8a Q 二丄一,(In A-)r =丄，a? In/理说明：x &g