专题-高中函数值域的求法(讲义与练习)+

1、专题 求函数值域的常用方法及值域的应用三、值域的概念和常见函数的值域- 1 -四、求函数值域（最值）的常用方法- 1 -4.1.直接法- 1 -4.2配方法- 2 -4.3换元法- 3 -4.4基本不等式法- 4 -4.5函数的单调性（导数）法- 6 -4.6数形结合法- 7 -4.7函数的有界性法- 9 -4.8分离常数法- 10 -4.8 三角函数中的值域问题- 11 -五、高考真题汇编- 12 -三、值域的概念和常见函数的值域1、定义：函数值y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.2、常见函数的值域：一

2、次函数的值域为R.二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，反比例函数的值域为.指数函数的值域为.对数函数的值域为R.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.四、求函数值域（最值）的常用方法 4.1.直接法从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。例：求函数，的值域。 例：求函数的值域。 例 求函数的值域。 解析：， 故 所求函数的值域为 。练习1、求函数的值域。 2、求函数的值域。 3、求函数的值域。4、（2013重庆理）的最大值为( )A.9 B. C. D.【答案】B 4.2配方法对于形如或类的函数的值域问题，均可用配方法求解.

3、例1：求函数（）的值域。解：， ，函数（）的值域为。例2：求函数的值域： 解：设，则原函数可化为：.又因为，所以，故，所以，的值域为.4.3换元法利用代数换元，将所给函数转换成易求值域的函数，形如的函数，令；形如的函数，令；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令.例1.求下列一元二次函数的值域： 解析：例例：求函数的值域：.解：设则.所以原函数可化为，所以.所以原函数的值域为.练习 （1） 求函数的值域。 （2） 求函数的值域。答案（1）令（），则，当，即时，无最小值。函数的值域为。（2）令，则，（1）当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为

4、：4.4基本不等式法 利用求某些函数值域（或最值），应满足三个条件;为定值；取等号成立的条件.三个条件缺一不可.例1 求函数的值域. 解答: , 当且仅当时成立. 故函数的值域为. 例2 求函数的值域. 分析: 用基本不等式，关键是凑出有倒数关系的两个数之和的形式，本题目标就是在分子中分解出项来, 可运用的方法是（1） 待定系数法：设: , 将左边展开是,故而, . 解得, .从而原函数; （2） 换元法：设，则原式化为接下类怎么办？因为的符号不确定，因此需要分类讨论：)当时, , , 此时, 等号成立, 当且仅当. )当时, , , 此时有, 等号成立, 当且仅当. 综上, 原函数的值域为:

5、 . 例：求函数的值域：. 解：，则原函数化为 ，当且仅当时，即时等号成立，所以元函数的值域为.（2012年上海春）函数的最大值是_.4.5函数的单调性（导数）法 利用导数求值域（最值）是求函数值域的基本方法，务必掌握例如，.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题.例求函数在区间上的值域。分析与解答：，所以该函数在此区间上单调递增于是：函数在区间上的值域为。例： 求函数在内的值域.分析:. 由得的极值点为. . . 所以, 函数的值域为. 例4. 求下列函数的最值：（1）已知函数f(x)=x33x29xa, 且f(x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.（2

6、）求函数在0，2上的最大值和最小值.解析：题(1)(2)是求函数最值的典型题，难度不算大，要注意导数公式、运算性质以及利用导数求最值的步骤、方法的正确应用. 只不过，（1）偏重文科考的题型，（2）偏重于理科考的形式.(1) 对原函数求导得：3x26x9令=0，解得x=1，或x=3（舍）， 因为f(1)=5+ a ，f(2)81218a=2a， f(2)81218a22a， 所以f(2)>f(2)> f(1)因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故f(1)=5+ a7， 即函数f(x)在区间2，2上的最小值为7 (2) 对

7、原函数求导得： 令 化简为 解得又因为，所以为函数在0，2上的最小值，为函数在0，2上的最大值.总结：由上面两题的解析我们知道解决这类题的关键是：严格按照利用导数求最值的步骤、方法、技巧来做，这种方法不仅易掌握，而且运算速度较快，不容易出错.因为如果只需要求函数的最值，那么我们就不需要求函数的单调区间，判断函数的单调性和极大（小）值了，而只需要求出函数极值、闭区间的端点函数值，再比较大小就可以了.练习 求函数的值域.答案：对原函数求导，得令解得 ，或（舍）又因为所以当时，的值域为.4.6数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由可联想到两点与连线的斜率.例1：求函

8、数的值域。解： ，的图像如图所示，由图像知：函数的值域为更简单的方法是：该函数的几何意义是，动点到定点（-3,0），（5,0）的距离之和，从图上易见最小值是8例2：求函数的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,KC= 。由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。当A、K、C三点共线时取等号。原函数的知域为y|y5。例3如例4求函数的值域。分析与解答：令，则，原问题转化为 ：当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图1知

9、：当经过点时，；当直线与圆相切时，。所以：值域为例4. 求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。练习求函数的值域： 解： 函数的值域为：.4.7函数的有界性法分式型的含或的函数，常用此法，再根据，解关于的不等式，可求的取值

10、范围.例：求函数的值域。 例4：求函数的值域。 4.8分离常数法 分离常数法往往用于解决分子分母都含变量的分式函数问题，设函数，包括两种方法：（1）经过恒等变形，使变形为只在分子或分母中含有变量的形式，如；（2）将变形为形式的函数，这两种处理的结果，往往会使新函数的性态（如单调性、奇偶性等）比较容易判断.例：求函数的值域。解：，函数的值域为。例、求函数 的值域解：则，设 ， 例 求函数的值域解：，由，得，则，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，函数的最小值是.例 设，若对任意实数，都存在以为边的三角形，则实数的取值范围是（ ）. . . .以上都不对解：第一次分离常数将函数变形为，令，再次分离

11、常数得，易知，下面分类讨论：（1） 当时，若构成三角形的三边，则有，即，得.（2） 当时，则由得综上可知实数的取值范围是，选使用分离常数法往往要对分子（分母）进行配凑，要构造出含有分母（分子）的形式，这需要较强的代数变形能力，降低难度的一个策略是用换元法，如例1，可设，则原函数改写为.4.8 三角函数中的值域问题利用三角函数求值域（最值）也是高考常考的一种题型. 这种题型可以是直接求一个基本的三角函数在自变量取一切实数或限制在某一个范围内的值域（最值），也可以是经过一系列三角公式的化简，得出一个基本的三角函数后再求值域（最值），当然也可以是利用圆、椭圆等的参数方程后，得出一个关于三角函数的式子

12、，再求值域（最值）.例3. 求下列三角函数的值域：解析：例3中的题目都是关于利用三角函数求值域的题目. (1)(2)都是直接给出基本的三角函数式，只不过（1）中自变量取一切实数，（2）中自变量限制了范围.(3)(4)都是需要利用三角函数的一些公式，经过一系列变换最后可以化成题（2）的形式来做.（5）是需要利用圆的参数方程把所求式子化成基本三角函数式来求的题型. 总结：这种题型的基本解法是：先把所给的关于三角函数的式子化成基本的三角函数式,如：.然后再由所限制的自变量的范围求出括号内式子的范围，从而根据基本的三角函数的图像得函数值的范围.如果没有限制自变量的范围，则易得练习3. 求下列三角函数的

13、最值：（1）函数的最大值为 ；（2）函数在区间上的最小值为 ；（3） 求函数2的最值（4）已知向量（I）若求 （II）求的最大值.参考答案：（1）； （2） 1； （3） （4）.五、高考真题汇编较容易的基础题：1. 函数的最大值为（ ）A1 B C D22. 若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ ）A1BCD23. 函数的最小值等于（ ）A3B2 C1D4. 设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ）5. 在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最 值（填“大”或“小”），且该值为 .6. 函数的最大值是_.7. 函数的最大值等于 . 8. 函数的最小值是 .9. 已知在

14、ABC中，ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的离乘积的最大值是 .中等难度的提高题：1. 已知函数（、为常数，）在处取得最小值，则函数是（ ）A偶函数且它的图像关于点对称 B偶函数且它的图像关于点对称C奇函数且它的图像关于点对称 D奇函数且它的图像关于点对称2. 用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（ ）A. cm2 B. cm2 C. cm2D. 20cm23. 函数的最小值为（ ）A. 190 B. 171 C. 90 D. 454. 设的最大值为( )A

15、. 2 B. C. 1 D. 5. 当时，函数的最小值为（ ）A. 2B. C. 4 D. 6. 抛物线上的点到直线距离的最小值是( )A B C D7. 已知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 .8. 已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 .9. 若，则函数的最大值为 .10. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨11. 设锐角三角形的内角的对边分别为，（）求的大小；（）求的取值范围12已知函数（）的最小正周期为（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围

16、13. ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,cosA+cos取得最大值,并求出这个最大值.14. 在中，已知内角，边设内角，周长为（）求函数的解析式和定义域；（）求的最大值15. 求函数的最大值和最小值.16. 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、(单位：m)的矩形,上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8m2. 问、分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?17某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积

17、是多少？18. 用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?较难的综合题：1. 用min、b、c表示、b、c三个数中的最小值.设 (0),则的最大值为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 72. 有两个相同的直三棱柱,高为,底面三角形的三边长分别为3、4、5 (>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则的取值范围是 3. 已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1（）当直线过点时，求

18、直线的方程；（）当时，求菱形面积的最大值4. 设P为椭圆(>1)短轴上的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P（）设P点的坐标为，证明：；（）求四边形ABCD的面积的最小值6. 设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点（）若，求的值； （）求四边形面积的最大值7. 已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.（）求的方程；（）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.较容易的基础题的参考答案：第2题解析：第3题解析：第4题解析：第5题解析：

19、第6题解析：第7题解析：第8题解析：第9题解析：设P点到BC的距离PD为，则因此S=. 当时, S有最大值3.中等难度题的参考答案：1. D 2. B 3. C 4. C 5. C 6. A 7. 9 8. 5 9. -8 10. 20第1题解析：第2题解析：第3题解析：第4题解析：因为，所以第5题解析：第6题解析：第7题解析：因为P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为(4,0),于是根据双曲线第一定义（距离定义）知：|PF|P|24，并且|PA|P|A|5两式相加得|PF|PA|9,当且仅当A、P、三点共线时等号成立.第8题解析：设圆心到的距离分别为,则.四边形的面积第9题解析：令,第10

20、题解析：第11题解析：（）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得（） 由为锐角三角形，且知，.所以， 所以由此有，所以，的取值范围为第12题解析：（）因为函数的最小正周期为，且， 所以， 解得（）由（）得因为，所以，所以，因此， 即的取值范围为第13题解析：第14题解析：（）的内角和，由得 应用正弦定理，知 ， 因为， 所以（）因为 ， 所以，当，即时，取得最大值第15题解析：因为 所以函数的最大值是最小值是第16题解析：由题意得+2=8,=(0<<4).于是, 框架用料长度为 L=2+2+2() =(+)+ =4.当(+)=, 即=84时等号成立.此时, 2.343, =22

21、.828.故当为2.343m, 为2.828m时, 用料最省.第17题解析：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 蔬菜的种植面积 所以 当答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.第18题解析：设容器的高为，容器的体积为V， 则V=(902)(482) =432762+4320 (0<<24) V=122552+4320由V=122552+4320=0得 1=10，2=36（舍去）因为在开区间所以,当=10,V有极（最）大值V(10)=1960. 较难的综合题的参考答案：1. C 2. 0<< 3. （）; （）.4. 5. （）证明参考解析；（）四边形的