北京市西城区2015高三一模数学(理)试卷+答案(精校)

1、北京市西城区2015高三一模试卷数 学（理科）第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项01设集合，集合，若，则实数的取值范围是A B C D 02复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限03在极坐标系中，曲线是A过极点的直线 B半径为2的圆 C关于极点对称的图形 D关于极轴对称的图形04执行如图所示的程序框图，若输入的的值为3，则输出的的值为A4 B5 C6 D7 05函数的定义域为，则“”是“函数为增函数”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既

2、不充分也不必要条件06一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是A B C D07已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是A2枝玫瑰的价格高 B3枝康乃馨的价格高 C价格相同 D不确定08已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，给定点，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点对称，则实数的取值范围是A B C D第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分09已知平面向量满足，那么_10已知双曲线的一个焦点是抛物线的焦点，且双曲线的离心率为，那么曲线的方程

3、为_11在中，角所对的边分别为若，则_ 12若数列满足，且对于任意的，都有，则_；数列前10项的和_13某种产品的加工需要五道工艺，其中必须在的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，与必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有_种（用数字作答）14如图，四面体的一条棱长为，其余棱长均为1，记四面体的体积为，则函数的单调增区间是_；最大值为_三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）设函数，（）当时，求函数的值域；（）已知函数的图象与直线有交点，求相邻两个交点间的最短距离16（本小题

4、满分13分）2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价 具体如下表（不考虑公交卡折扣情况）乘公共电汽车方案10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示（）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1

5、人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求的分布列和数学期望；（）小李乘坐地铁从地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为公里，试写出的取值范围（只需写出结论）17（本小题满分14分）如图，在五面体中，四边形是边长为4的正方形，平面平面，且， ，点是的中点（）证明：平面；（）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长；（）判断线段上是否存在一点，使/平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由18（

6、本小题满分13分）设，函数，函数， （）当时，写出函数零点个数，并说明理由；（）若曲线与曲线分别位于直线的两侧，求的所有可能取值19（本小题满分14分）设分别为椭圆的左、右焦点，点 在椭圆上，且点和关于点对称（）求椭圆的方程；（）过右焦点的直线与椭圆相交于两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由 20（本小题满分13分） 已知点列满足，且与中有且仅有一个成立（）写出满足且的所有点列；（） 证明：对于任意给定的，不存在点列，使得；（）当且时，求的最大值北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（

7、理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1B 2C 3D 4B 5B 6A 7A 8D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 10 11 12， 13 14 (或) ，注：第12，14题第一问2分，第二问3分三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13分） （）解：因为 1分 3分=， 5分因为 ， 所以， 6分所以 ， 即，其中当时，取到最大值2；当时，取到最小值， 所以函数的值域为 9分（）依题意，得， 10分 所以 或 ， 12分所以 或 ， 所以函数的图象与直线的两个相邻交点间的最短距离为 13分1

8、6（本小题满分13分）（）解：记事件A为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， 1分由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为，（人）所以票价小于5元的有（人） 2分故120人中票价小于5元的频率是 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率 4分（）解：的所有可能取值为6，7，8，9，10 5分根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为，即， 6分以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为， 所以 ， 8分所以随机变量的分布列为：X678910P 9分所以 10分（）解： 13分17（本小题满分14分）（）证明：因为，点G是EF的中点， 所以

9、 1分 又因为 ， 所以 2分 因为平面平面，平面平面，平面， 所以 平面 4分（）解：因为平面，所以两两垂直 以A为原 点，以，分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系， 5分则，设，则， 所以， 设平面的法向量为， 由 ，得 令 ， 得 7分 因为BF与平面所成角的正弦值为， 所以 ， 8分 即 ， 解得或 所以 或 9分（）解：假设线段上存在一点，使得/平面， 设，则 ， 由 ，得， 10分 设 ，则， 所以 11分 设平面的法向量为，因为 ，由 ，得 令 ， 得， 12分 因为 /平面， 所以 ，即，解得 所以 ，此时，所以当时，/平面 14分18（本小题满分13分）（）证明：结论：函

10、数不存在零点 1分 当时，求导得， 2分 令，解得 3分 当变化时，与的变化如下表所示：0 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时，函数有最大值 4分 所以函数的最大值为， 所以函数不存在零点 5分（）解：由函数求导，得 令，解得 当变化时，与的变化如下表所示：0 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 7分 则当时，函数有最大值； 8分 由函数，求导，得 ， 9分 令 ，解得 当变化时，与的变化如下表所示：0所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，函数有最小值 11分 因为，函数有最大值， 所以曲线在直线的下方，而曲线在直线的上方， 所以， 12分 解得所以的取值集合为 13分19

11、（本小题满分14分）（）解：由点和关于点对称，得， 1分 所以椭圆E的焦点为， 2分 由椭圆定义，得 所以 ， 4分 故椭圆的方程为 5分（II）解：结论：存在直线，使得四边形的对角线互相平分理由如下： 6分 由题可知直线，直线的斜率存在， 设直线的方程为，直线的方程为 7分 由 消去， 得， 8分 由题意，可知，设， 则， ， 9分 由消去，得， 由，可知，设，又， 则， 10分 若四边形的对角线互相平分，则与的中点重合， 所以，即， 11分 故 12分所以 解得 所以直线为时， 四边形的对角线互相平分 14分 （注：利用四边形为平行四边形，则有，也可解决问题）20（本小题满分13分）（）解：符合条件的点列为； 或；或 3分（）证明：由已知，得， 所以数列是公差为1的等差数列 由，得（） 4分 故 5分 若存在点列，使得， 则，即 因为整数和总是一个为奇数，一个为偶数，且，而整数中不含有大于1的奇因子， 所以对于任意正整数，任意点列均不能满足 8分（）解：由（）可知，