立体几何中的向量方法完整版

1、3.2 JL何屮轲向量方筱法向量恩考/如何确定一个点、 在空间的位置？一条直线、一个平面0在空间中，我们取一定点0作为基点，那么空间中 任意一点P的位置就可以用向量OP来表示。我们把 向量0戸称为点p的位置向量。上、直钱的确足:空间中任意一条直线z的位置可以由/上一 个定点A以及一个定方向确定.y直线1的方向向量y/0三、年而4&強更:空间中平面Q的位置可以由Q内两条相交直线来确定.平面的法向量：如果表示向量：的有向线段所在 直线垂直无平面则稳这个向量垂直于巴 面匕记作丄a,如果丄a,那么向量 叫做平面Q的法向量.给定一点A和一个向量码那么过点A，以向量为法向量的平面是完全确定的.平面

2、的法向量:注意:1法向量一定是非零向量;2个平面的所有法向量都互相平行;例 1:已知A(0,2,3), B = (2,0,-1), C(3,-4,0) 求平面ABC的法向量.求法向量的步骤：（1）设出平面的法向量血=（x, y, z）（2）找出（求出）平面内的丙个不共线的1 向量的坐标2 = （ai，%Ci）,b = （°2厶心） 根据法向量的定义建茁I于兀,的 方程组丫厂。nb = O（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。练习：在空间直角坐标系中，已知4(3,0,0), 940) C(0,Q2),试求平面ABC的一去向量.3V = 一 X'437 = X2-3x+4j

3、 =0 -3x+2z =0 A 1解:设平面ABC的一型量为兀=(兀竺) 则1AC V AB = (-M0)，走亍(-里2).(x,y，z) (340) & 即(兀,y，z)(mQ2)&取 X = 4,则兀=(4,3,6)/ n = (436)是平面ABC的一去向量平面向量推广到立体几何问题空间向量思考2：因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗? 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位

4、置关系以及它们二面角的大小吗？平行与垂直Illm oallb <a =AbIH a a丄五oQ五=0allpo u/vo 五=20/丄m<>a丄方oN方=02 丄 cr o a II u<>a= Aua丄0 o “丄v <u v=0设直线人加的方向向量分别为N方，平面巾0 的法向量分别为"川，则线线平行 I / ma /b <a-kb 二> 线面平行I / a <a丄uoaw = 0；二>a / /3 u / v <>餓泌隔（面茴乎窃锂据面面重合./oU>Q 丄眈= 0U> (202 + b”2 +

5、cxc2 = 0;A._ _设直线人加的方向向量分别为N乙，平面羽戸 的法向量分别为”川，则线线垂直/丄moa丄乙oa 方=0 ；二线面垂直 /丄 a / u <>a=ku ；二面面垂直 &丄0 ou丄uo%卩=0匚J>A若a = （a“b“ cu = 2 叽 c）贝 I巩固性训练11 设a.b分别是直线冲2的方向向量，根据下列条件，判断“2的位置关系(1)° = (2,-1,-2),乙=(6,3,6)平行(1,2,-2)g = (-2,3,2)垂直(3)： = (0,0,1)3 = (0,0,3)平行巩固性训练21 设u.v分别是平面偽卩的法向量，根据下列

6、条件，判断為卩的位置关系.(1)7 = (-2,2,5), = (6,-4,4)垂直弘=(1,2,-2), v = (一2,-4,4) 平疔(3)w = (2,-3,5), v = (-3,1,-4)相交巩固性训练31、设平面a的法向量为(1,2,2),平面卩的法向量为(-2,-4,k),若则k=；若 a 丄 0贝 H k=o2、已知/况，且/的方向向量为(2,m,1),平面*的法向量为(1,1/2,2)厕m=3、若/的方向向量为(2,1,m),平面*的法向量为(1,1 /2,2),且/丄 &,则m=例2如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD丄底面ABCD, P

7、D=DC, E是PC的 中点，作EF丄PB交PB于点F.(1) 求证：PA/平面EDB求证：PB"面EFD空间角复习引入1 异面直线所成角设直线人加的方向向量分别茹/若两直线人加所成的角为则COS& =2.线面角设直线1的方向向量为a,平面a的法向量为：，且 直线/与平面a所成的角为&(OW0W扌人则3、二面角法向量法 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。 如图，向量力丄仙帀丄0,则二面角0C 1 卩的大小0=仇五I 二ii注意法向量的方向：同进 同出，二面角等于法向量1=11 夹角的补角；一进一出, 二面角等于法向量夹角若二面角& - - 0的大小为

8、9<0<加则COS&基础训练:1、已知 AB =(2,2,1),AC =(4,5, 3),则平面 ABC的一个法向量是 .2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射 影的方向向量分别是a二(1, 0, 1) , b= (0, 1,1),那么这条斜线与平面所成的角是 60°3、已知两平面的法向量分别往(0,1,0),花(0,1,1), 则两平面所成的钝二面角为135° .【典例剖析】£ CA5/AADAn6x + 2y + 6z = Q4y+ 3z 二0例 1:在长方体 ABCD - AXBXCXDX 中，AB = 6,AD = 8, 側 =6,

9、 M为BC上的一点,且=2,点N在线段上, AN = 5,求4。与平面ANM所成的角的正弦值.解：如图建立坐标系Axyz,则 4(0,0,0), M (6,2,6)L 由£N = 5,可得 N(0,4,3) 血=(6,2,6),屈=(0,4,3).设平面a的法向量丘=(x, y, z),由 AM n = o-一 即Ian五=0例 1:在长方体 ABCD - AXBXCXDX 中，AB = 6,AD = 8, 側 =6, M为BC上的一点,且=2,点N在线段上, AN = 5,求4。与平面ANM所成的角的正弦值.AD2 C得五=(1 丄一？)又 AD = (0,8,0),3.sin &

10、#176; |=輕剂3府8.Jl2+l2+(-|)234I0 + N8 + 0IADnAD与平面如VM所成角的正弦值是壬34【练习1】_如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四 边形，侧面SBC_底面ABCD。已知ZA庆BC= , S触国B= 羽例2如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD丄底面ABCD, PD=DC, E是PC的 中点，作EF丄PB交PB于点F.(1) 求证：PA/平面EDB(2) 求证：PB丄平面EFD(3) 求二面角C-PB-D的大小。A例2如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD丄底面ABCD, PD=DC, E是PC

11、的 中点，作EF丄PB交PB于点F. (3)求二面角C-PB-D 的大小。解；空间直J平面PB2 2平面PBD的一个法向量为cos <DEyGC>=-1/2 X cos0 = l/2, & = 60。练习2瞬 S ABCD,ZABC= 90°,5A 丄预 ABCDSAfBC 二 1,AD=-.Wffi SCD刖面S测所琳50 2rat.ADTx【典例剖析】例3如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形， 侧棱PA丄底面ABCD, PA=AB=l,AD/3,在线段BC 上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为45。? 若存在，确定点E的位置；若不存在说

12、明理由。CX解：以A为原点，AD. AB. &P所在的直线分 别为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系， 设BE=m,则 A(0,0,0),P(O,O,1),厂(馅,0,0),帥,1,0),丽=(0,0,1), DP = (-a/3,0,1), DE = (m-Al, 0) 设平面PDE的法向 量为兀=(乂, y, z),则方丄DP,n丄万瓦解得y =-m)x,f+ z = 0, (m y/3)x + y = 0,a/3j4+(JJ加于令兀=1,得 =Q，羽- m,巧)， PA与平面加E所成角的大小为45° sin45°二 解得m =书_忑或m二书+忑(舍)，因此，

13、当BE =屯-®, PA与平面PDE所成角的大小为45。【巩固练习】1 三棱锥P-ABC PA 丄 ABC，PA二AB二AC，ABAC = 90° ,E为PC甲点，则PA与BE所成角 的余弦值为2 直三棱柱中，AA=2, ZBAC = 90° AB=AC=1,则AG与截面BB1CG所成 角的余弦值为洱F3正方体中ABCDABiCiD冲E为的 中点，则二面角E-BC-A的大小是 45°【课后作业】1、如图，已知：直角梯形OABC 中，OABC,ZAOC=90° ,SO丄面OABC,且OS=OC=BC=1, OA=2o 求：异面直线SA和OB所成的角的余a 弦值ZyOS与面SAB所成角的余弦值 二面角B-AS 一0的余弦值2、(2004,天津妆口图所示，在四棱锥P-ABCD中，底 面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD, PD=DC, E是PC的中点。(1) 证明：PA/平面