三角形三条高线交于一点的证明

1、三角形三条高线交于一点的证明?证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点已知：4ABC的两条高BE、CF相交于点O,第三条高AD交高BD于点Q, 交高CF于点P。求证：P、Q、。三点重合证明：如图，: BEXAC , CFXAB ./AEB = /AFC = 90°又. / BAE = /CAF .ABE s AACF,AB AE=AC AF即 AB AF = AC - AE又ADBC .AEQ s AADC , AAFP s AADBAE AD AF _ AP AD AQ ' AD AB即 AC - AE = AD - AQ, AB AF = AD - APv AB

2、AF = AC AE , AC AE = AD AQ , AB AF = AD - APAD AQ = AD - AP . AQ = AP 点Q、P都在线段AD上.二点Q、P重合 .AD与BE、AD与CF交于同一点V两条不平行的直线只有一个交点 BE与CF也交于此点 点Q、P、O重合。证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，用四点共圆性质。已知：4ABC的两条高AD、BE相交于点O,第三条高CF交高AB于点F,连结CO交AB于点F求证：CFXABo证明：ADLBC 于 E, BELAC 于 EA、B、D、E四点共圆./ 1 = /ABE同理/ 2=/ 1 ./2=/ABE. /ABE+/

3、BAC = 90° ,. / 2+/ BAC = 90°即 CFXABo注：证法一和证法二是证明共点线的常用方法。证法三：证两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法证明。证明：如图6,以直线BC为x轴，高AD为y轴，建立直角坐标系，设A(0 ,a) , B(b , 0) , C(c , 0),由两条直线垂直的条件bCF： y b(x c) (3) acb解(2)和(3)得(x b) (x c) , (b c)x 0 aab c (b 0, c 0)x 0这说明BE和CF得交点在AD上，所以三角形的三条高相交于一点。 注：有时候考虑直角坐标系这一有力的数形结合工

4、具可以有效地解决问题。证法四：转化为证明另一个三角形的三条中垂线 (或中线)交于一点 已知：AD、BE、CFMAABC的三条高。求证：AD、BE、CF相交于一点。证明：过点A、B、C分另1J作BC、AC、AB的平行线 ML、MN、NL. AM / BC, MB /AC四边形AMBC是平行四边形. .AM =BC同理，AL=BC. .AM =AL,.ADXML. .AD是ML的垂直平分线同理，BE、CF分别是MN、NL的垂直平分线 而三角形的三条垂直平分线相交于一点.AD、BE、CF 相交于一点。注：三角形的三条中线（可中垂线、角平分线）相交于一点，这事实学生容 易理解，也不难证明，把证明三角形

5、的三条垂线相交于一点的问题转化为另一三 中形的三条中线（中垂线）相交于一点，这种化陌生为熟悉、化难为易的转化方 法必须让学生理解掌握。证法五：运用锡瓦（Ceva）定理证明已知：AD、BE、CFMAABC的三条高。求证：AD、BE、CF相交于一点。证明：如图，: ADLBC于E, BELAC于E .ABD s ACBFBD _ ABBF- CB(1)同理，由ADC s zBEC得CE CBCD CA(2)由AAFC s AAEBAF _ AC AE AB三式相乘得(3)BD CE AF AB CB ACBF CD AE CB CA AB即空CE”iDC EA FB.AD、BE、CF 相交于一点。注：锡瓦定理是证明共点线的有力工具， 虽然中学不作要求，但对于学有余 力的学生不妨引导他们自己研究，激发他们的学习兴趣。锡瓦定理可以