全国初中数学竞赛各省市试题汇编

1、初中数学竞赛题汇编江苏省南通市2013年中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（3分）（2013南通）下列各数中，小于3的数是（）A2B1C2D4考点：有理数大小比较分析：根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数，其绝对值大的反而小）比较即可解答：解：A、23，故本选项错误；B、13，故本选项错误；C、|2|=2，|3|=3，23，故本选项错误；D、|4|=4，|3|=3，43，故本选项正确；故选D点评：本题考查了有理数的大小比较法

2、则的应用，注意：理数的大小比较法则是：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数，其绝对值大的反而小2（3分）（2013南通）某市2013年参加中考的考生人数约为85000人，将85000用科学记数法表示为（）A8.5×104B8.5×105C0.85×104D0.85×105考点：科学记数法表示较大的数分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值是易错点，由于85000有5位，所以可以确定n=51=4解答：解：85 000=8.5×104故选A点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法

3、，准确确定a与n值是关键3（3分）（2013南通）下列计算，正确的是（）Ax4x3=xBx6÷x3=x2Cxx3=x4D（xy3）2=xy6考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方专题：计算题分析：A、本选项不能合并，错误；B、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；C、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；D、利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断解答：解：A、本选项不能合并，错误；B、x6÷x3=x3，本选项错误；C、xx3=x4，本选项正确；D、（xy3）2=x2y6，本选项错误故选C点评：此题考查了

4、同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，以及二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键4（3分）（2013南通）如图所示的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）A4B3C2D1考点：中心对称图形；轴对称图形分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后解答即可解答：解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第五个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；综上所述，第三个和第五个图形既是中心对称图形又是轴对称图形，共2个故选B点评：本题考查了

5、轴对称图形与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合5（3分）（2013南通）有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（）A1B2C3D4考点：三角形三边关系分析：从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可解答：解：四条木棒的所有组合：3，6，8和3，6，9和6，8，9和3，8，9；只有3，6，8和6，8，9；3，8，9能组成三角形故选：C点评：此题主要考查了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边

6、之和第三边，任意两边之差第三边；注意情况的多解和取舍6（3分）（2013南通）函数中，自变量x的取值范围是（）Ax1Bx1Cx2Dx2考点：函数自变量的取值范围分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围解答：解：根据题意得：x10，解得：x1故选A点评：考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负7（3分）（2013南通）如图，用尺规作出OBF=AOB，作图痕迹是（）A以点B为圆心，O

7、D为半径的圆B以点B为圆心，DC为半径的圆C以点E为圆心，OD为半径的圆D以点E为圆心，DC为半径的圆考点：作图基本作图分析：根据作一个角等于已知角的作法进行解答即可解答：解：作OBF=AOB的作法，由图可知，以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线OA、OB分别为点C，D；以点B为圆心，以OC为半径画圆，分别交射线BO、MB分别为点E，F；以点E为圆心，以CD为半径画圆，交射于点N，连接BN即可得出OBF，则OBF=AOB故选D点评：本题考查的是基本作图，熟知作一个角等于已知角的基本步骤是解答此题的关键8（3分）（2013南通）用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4cm

8、，底面周长是6cm，则扇形的半径为（）A3cmB5cmC6cmD8cm考点：圆锥的计算分析：首先根据圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径，然后根据勾股定理求得圆锥的母线长就是扇形的半径解答：解：底面周长是6cm，底面的半径为3cm，圆锥的高为4cm，圆锥的母线长为：=5扇形的半径为5cm，故选B点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的母线、高及底面半径围成一个直角三角形9（3分）（2013南通）小李与小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：（1）他们都行驶了20k

9、m；（2）小陆全程共用了1.5h；（3）小李与小陆相遇后，小李的速度小于小陆的速度；（4）小李在途中停留了0.5h其中正确的有（）A4个B3个C2个D1个考点：一次函数的应用专题：压轴题分析：首先注意横纵坐标的表示意义，再观察图象可得他们都行驶了20km；小陆从0.5时出发，2时到达目的地，全程共用了：20.5=1.5h；小李与小陆相遇后，他们距离目的地有相同的路程，但是小陆到达目的地所用时间小于小李到达目的地所用时间，根据速度=路程÷时间可得小李的速度小于小陆的速度；小李出发0.5小时后停留了0.5小时，然后根据此信息分别对4种说法进行判断解答：解：（1）根据图象的纵坐标可得：他们

10、都行驶了20km，故原说法正确；（2）根据图象可得：小陆全程共用了：20.5=1.5h，故原说法正确；（3）根据图象可得：小李与小陆相遇后，他们距离目的地有相同的路程，但是小陆用1个小时到B地，小李用1.5个小时到B地，所以小李的速度小于小陆的速度，故原说法正确；（4）根据图象可得：表示小李的St图象从0.5时开始到1时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了10.5=0.5小时，故原说法正确故选A点评：此题主要考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势10（3分）（2013南通）如图RtABC内接于O，BC为直径，A

11、B=4，AC=3，D是的中点，CD与AB的交点为E，则等于（）A4B3.5C3D2.8考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质专题：压轴题分析：利用垂径定理的推论得出DOAB，AF=BF，进而得出DF的长和DEFCEA，再利用相似三角形的性质求出即可解答：解：连接DO，交AB于点F，D是的中点，DOAB，AF=BF，AB=4，AF=BF=2，FO是ABC的中位线，ACDO，BC为直径，AB=4，AC=3，BC=5，DO=2.5，DF=2.51.5=1，ACDO，DEFCEA，=，=3故选C点评：此题主要考查了垂径定理的推论以及相似三角形的判定与性质，根据已知得出DEFCEA

12、是解题关键二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11（3分）（2013南通）若反比例函数y=的图象经过点A（1，2），则k=2考点：反比例函数图象上点的坐标特征专题：压轴题分析：根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k=1×2=2解答：解：反比例函数y=的图象经过点A（1，2），k=1×2=2，故答案为：2点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k12（3分）（2013南通）如图，直线AB，CD相交于点O，OEAB，BOD=20&

13、#176;，则COE等于70度考点：垂线；对顶角、邻补角分析：根据对顶角相等求出AOC，根据垂直求出AOE，相减即可求出答案解答：解：BOD=20°，AOC=BOD=20°，OEAB，AOE=90°，COE=90°20°=70°，故答案为：70点评：本题考查了垂直定义，对顶角的应用，关键是求出AOE和AOC的大小13（3分）（2013南通）一个几何体的主视图、俯视图和左视图都是大小相同的圆，则这个几何体是球体考点：由三视图判断几何体分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答：解：球的主视图、左视图、俯

14、视图都是圆，故答案为：球体点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查14（3分）（2013南通）如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是考点：锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线分析：首先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB的长度，然后根据锐角三角函数的定义求出sinB即可解答：解：RtABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=2，AC=2CD=4，则sinB=故答案为：点评：本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线定理和锐角三角函数的定义15（3分）（2

15、013南通）已知一组数据5，8，10，x，9的众数是8，那么这组数据的方差是2.8考点：方差；众数分析：根据众数的定义求出x的值，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可解答：解：一组数据5，8，10，x，9的众数是8，x是8，这组数据的平均数是（5+8+10+8+9）÷5=8，这组数据的方差是：（58）2+（88）2+（108）2+（88）2+（98）2=2.8故答案为：2.8点评：此题考查了众数、平均数和方差，掌握众数、平均数和方差的定义及计算公式是此题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数一般地设n个数据，x1，x2，xn的平均数为，则方差S2=

16、（x1）2+（x2）2+（xn）216（3分）（2013南通）如图，经过点B（2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（1，2），则不等式4x+2kx+b0的解集为2x1考点：一次函数与一元一次不等式分析：由图象得到直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标（1，2）及直线y=kx+b与x轴的交点坐标，观察直线y=4x+2落在直线y=kx+b的下方且直线y=kx+b落在x轴下方的部分对应的x的取值即为所求解答：解：经过点B（2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（1，2），直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标为（1，2），直线y=kx+b与x轴的

17、交点坐标为B（2，0），又当x1时，4x+2kx+b，当x2时，kx+b0，不等式4x+2kx+b0的解集为2x1故答案为2x1点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合17（3分）（2013南通）如图，在ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为5cm考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股

18、定理；平行四边形的性质专题：压轴题分析：首先，由于AE平分BAD，那么BAE=DAE，由ADBC，可得内错角DAE=BEA，等量代换后可证得AB=BE，即ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在RtABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案解答：解：AE平分BAD，DAE=BAE；又ADBC，BEA=DAE=BAE，AB=BE=6cm，EC=96=3（cm），BGAE，垂足为G，AE=2AG在RtABG中，AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm，AG=2（cm），A

19、E=2AG=4cm；ECAD，=，=，=，解得：EF=2（cm），FC=3（cm），EF+CF的长为5cm故答案为：5点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中18（3分）（2013南通）已知x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且mn+20，则当x=3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于3考点：二次函数的性质专题：压轴题分析：先将x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等理解为x=2m+n+2和x=m+2n时，二次函数y=x2+4x

20、+6的值相等，则抛物线的对称轴为直线x=，又二次函数y=x2+4x+6的对称轴为直线x=2，得出=2，化简得m+n=2，即可求出当x=3（m+n+1）=3（2+1）=3时，x2+4x+6的值解答：解：x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，二次函数y=x2+4x+6的对称轴为直线x=，又二次函数y=x2+4x+6的对称轴为直线x=2，=2，3m+3n+2=4，m+n=2，当x=3（m+n+1）=3（2+1）=3时，x2+4x+6=（3）2+4×（3）+6=3故答案为3点评：本题考查了二次函数的性质及多项式求值，难度中等将x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式

21、x2+4x+6的值相等理解为x=2m+n+2和x=m+2n时，二次函数y=x2+4x+6的值相等是解题的关键三、解答题（本大题共10小题，共96分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（11分）（2013南通）（1）计算：；（2）先化简，再求代数式的值：，其中m=1考点：分式的化简求值；零指数幂；二次根式的混合运算分析：（1）本题涉及零指数幂、绝对值、二次根式化简三个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）先通分，然后进行四则运算，最后将m=1代入解答：解：（1）=÷÷13=3；（2）=，当m=

22、1时，原式=点评：（1）主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、绝对值、二次根式等考点的运算；（2）解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算20（9分）（2013南通）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，5），B（4，2），C（1，0）三点（1）点A关于原点O的对称点A的坐标为（1，5），点B关于x轴的对称点B的坐标为（4，2），点C关于y轴的对称点C的坐标为（1，0）（2）求（1）中的ABC的面积考点：关于原点对称的点的坐标；三角形的面积；关于x轴、y轴对称的点的坐标分析：（1）关于原点对称的两点的横、纵坐标都是互为相反数；关于x

23、轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同；（2）根据点A（1，5），B（4，2），C（1，0）在平面直角坐标系中的位置，可以求得AC=5，BD=3，所以由三角形的面积公式进行解答解答：解：（1）A（1，5），点A关于原点O的对称点A的坐标为（1，5）B（4，2），点B关于x轴的对称点B的坐标为（4，2）C（1，0），点C关于y轴的对称点C的坐标为（1，0）故答案分别是：（1，5），（4，2），（1，0）（2）如图，A（1，5），B（4，2），C（1，0）AC=|50|=5，BD=|41|=3，SABC=ACBD=×5×3=

24、7.5，即（1）中的ABC的面积是7.5点评：本题考查了关于原点、x轴、y轴对称的点的坐标，三角形的面积解答（2）题时，充分体现了“数形结合”数学思想的优势21（8分）（2013南通）某水果批发市场将一批苹果分为A，B，C，D四个等级，统计后将结果制成条形图，已知A等级苹果的重量占这批苹果总重量的30%回答下列问题：（1）这批苹果总重量为4000kg；（2）请将条形图补充完整；（3）若用扇形图表示统计结果，则C等级苹果所对应扇形的圆心角为90度考点：条形统计图；扇形统计图分析：（1）根据A等级苹果的重量÷A等级苹果的重量占这批苹果总重量的30%，求得这批苹果总重量；（2）求得C等级苹

25、果的重量，补全统计图；（3）求得C等级苹果的百分比，然后计算其所占的圆心角度数解答：解：（1）1200÷30%=4000（kg）故这批苹果总重量为4000kg；（2）400012001600200=1000（kg），将条形图补充为：（3）×360°=90°故C等级苹果所对应扇形的圆心角为90度故答案为：4000，90点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小22（10分）（2013南通）在不透明的袋子中有四张

26、标着数字1，2，3，4的卡片，小明、小华两人按照各自的规则玩抽卡片游戏小明画出树状图如图所示：小华列出表格如下： 第一次第二次12341（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）回答下列问题：（1）根据小明画出的树形图分析，他的游戏规则是，随机抽出一张卡片后不放回（填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；（2）根据小华的游戏规则，表格中表示的有序数对为（3，2）；（3）规定两次抽到的数字之和为奇数的获胜，你认为谁获胜的可能性大？为什么？考点：列表法与树状图法分析：（1）根据小

27、明画出的树形图知数字1在第一次中出现，但没有在第二次中出现可以判断；（2）根据横坐标表示第一次，纵坐标表示第二次可以得到答案；（3）根据树状图和统计表分别求得其获胜的概率，比较后即可得到答案解答：解：（1）观察树状图知：第一次摸出的数字没有在第二次中出现，小明的实验是一个不放回实验，（2）观察表格发现其横坐标表示第一次，纵坐标表示第二次，（3）理由如下：根据小明的游戏规则，共有12种等可能的结果，数字之和为奇数的有8种，概率为：=；根据小华的游戏规则，共有16种等可能的结果，数字之和为奇数的有8种，概率为：=，小明获胜的可能性大故答案为不放回；（3，2）点评：本题考查了列表法和树状图法，利用列

28、表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数n，再找出其中某一事件所出现的可能数m，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率=23（8分）（2013南通）若关于x的不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围考点：一元一次不等式组的整数解分析：首先利用a表示出不等式组的解集，根据解集中的整数恰好有3个，即可确定a的值解答：解：解+0，得x；解3x+5a+44（x+1）+3a，得x2a，不等式组的解集为x2a关于x的不等式组恰有三个整数解，22a3，解得1a点评：本题考查不等式组的解法及整数解的确定求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了2

29、4（8分）（2013南通）如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且BAD=CAE求证：四边形BCDE是矩形考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质专题：证明题分析：求出BAE=CAD，证BAECAD，推出BEA=CDA，BE=CD，得出平行四边形BCDE，根据平行线性质得出BED+CDE=180°，求出BED，根据矩形的判定求出即可解答：证明：BAD=CAE，BADBAC=CAEBAC，BAE=CAD，在BAE和CAD中BAECAD（SAS），BEA=CDA，BE=CD，DE=BC，四边形BCDE是平行四边形，AE=AD，AED=ADE，BEA=CDA，BED=CDE，四边形BC

30、DE是平行四边形，BECD，CDE+BED=180°，BED=CDE=90°，四边形BCDE是矩形点评：本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形25（8分）（2013南通）如图，ABC内接于O，AB是O的直径，BAC=2B，O的切线AP与OC的延长线相交于点P，若PA=cm，求AC的长考点：切线的性质分析：根据直径求出ACB=90°，求出B=30°，BAC=60°，得出AOC是等边三角形，得出AOC=60°，OA=

31、AC，在RtOAP中，求出OA，即可求出答案解答：解：AB是O直径，ACB=90°，BAC=2B，B=30°，BAC=60°，OA=OC，AOC是等边三角形，AOC=60°，AC=OA，PA是O切线，OAP=90°，在RtOAP中，PA=6cm，AOP=60°，OA=6，AC=OA=6点评：本题考查了圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力26（8分）（2013南通）某公司营销A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在二

32、次函数关系y=ax2+bx在x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x根据以上信息，解答下列问题；（1）求二次函数解析式；（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？考点：二次函数的应用分析：（1）把两组数据代入二次函数解析式，然后利用待定系数法求解即可；（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到W与m的函数关系式，再根据二次函数的最值问题

33、解答解答：解：（1）当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，解得，所以，二次函数解析式为y=0.1x2+1.5x；（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，则W=0.1m2+1.5m+0.3（10m）=0.1m2+1.2m+3=0.1（m6）2+6.6，0.10，当m=6时，W有最大值6.6，购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元点评：本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，比较简单，（2）整理得到所获利润与购进A产品的吨数的关系式是解题的关键2

34、7（13分）（2013南通）如图，在RtABC中，ACB=90°，AC=，BC=3，DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DEAB，设DEF与ABC重叠部分的周长为T（1）求证：点E到AC的距离为一个常数；（2）若AD=，当a=2时，求T的值；（3）若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T考点：相似形综合题分析：（1）解直角三角形，求得点E到AC的距离等于a，这是一个定值；（2）如答图2所示，作辅助线，将四边形MDEN分成一个等边三角形和一个平行四边形，求出其周长；（3）可能存在三种情形，需要分类讨论：若0a，DEF在A

35、BC内部，如答图3所示；若a，点E在ABC内部，点F在ABC外部，在如答图4所示；若a3，点E、F均在ABC外部，如答图5所示解答：解：（1）由题意得：tanA=，A=60°DEAB，CDE=A=60°如答图1所示，过点E作EHAC于点H，则EH=DEsinCDE=a=a点E到AC的距离为一个常数（2）若AD=，当a=2时，如答图2所示设AB与DF、EF分别交于点M、NDEF为等边三角形，MDE=60°，由（1）知CDE=60°，ADM=180°MDECDE=60°，又A=60°，ADM为等边三角形，DM=AD=过点M作MG

36、AC，交DE于点G，则DMG=ADM=60°，DMG为等边三角形，DG=MG=DM=GE=DEDG=2=MGD=E=60°，MGNE，又DEAB，四边形MGEN为平行四边形NE=MG=，MN=GE=T=DE+DM+MN+NE=2+=（3）若点D运动到AC的中点处，分情况讨论如下：若0a，DEF在ABC内部，如答图3所示：T=3a；若a，点E在ABC内部，点F在ABC外部，在如答图4所示：设AB与DF、EF分别交于点M、N，过点M作MGAC交DE于点G与（2）同理，可知ADM、DMG均为等边三角形，四边形MGEN为平行四边形DM=DG=NE=AD=，MN=GE=DEDG=a，

37、T=DE+DM+MN+NE=a+（a）+=2a+；若a3，点E、F均在ABC外部，如答图5所示：设AB与DF、EF分别交于点M、N，BC与DE、EF分别交于点P、Q在RtPCD中，CD=，CDP=60°，DPC=30°，PC=CDtan60°=×=EPQ=DPC=30°，E=60°，PQE=90°由（1）知，点E到AC的距离为a，PQ=aQE=PQtan30°=（a）×=a，PE=2QE=a由可知，四边形MDEN的周长为2a+T=四边形MDEN的周长PEQE+PQ=（2a+）（a）（a）+（a）=a+综上

38、所述，若点D运动到AC的中点处，T的关系式为：T=点评：本题考查了运动型综合题，新颖之处在于所求是重叠部分的周长而非面积难点在于第（3）问，根据题意，可能的情形有三种，需要分类讨论，避免漏解28（13分）（2013南通）如图，直线y=kx+b（b0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设OCD的面积为S，且kS+32=0（1）求b的值；（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）求证：x1OB+y2OA=0考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）先求出直线y=kx+b与x轴正半轴交点D的坐标及与y轴交点C的坐标，得到

39、OCD的面积S=，再根据kS+32=0，及b0即可求出b的值；（2）先由y=kx+8，得x=，再将x=代入y=x2，整理得y2（16+8k2）y+64=0，然后由已知条件直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，知y1，y2是方程y2（16+8k2）y+64=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系得到y1y2=64，即点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）先由勾股定理，得出OA2=+，OB2=+，AB2=（x1x2）2+（y1y2）2，由（2）得y1y2=64，又易得x1x2=64，则OA2+OB2=AB2，根据勾股定理的逆定理得出AOB=90°

40、;再过点A作AEx轴于点E，过点B作BFx轴于点F，根据两角对应相等的两三角形相似证明AEOOFB，由相似三角形对应边成比例得到=，即可证明x1OB+y2OA=0解答：（1）解：直线y=kx+b（b0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，令x=0，得y=b；令y=0，x=，OCD的面积S=（）b=kS+32=0，k（）+32=0，解得b=±8，b0，b=8；（2）证明：由（1）知，直线的解析式为y=kx+8，即x=，将x=代入y=x2，得y=（）2，整理，得y2（16+8k2）y+64=0直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，y1，y2是方程y

41、2（16+8k2）y+64=0的两个根，y1y2=64，点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）证明：由勾股定理，得OA2=+，OB2=+，AB2=（x1x2）2+（y1y2）2，由（2）得y1y2=64，同理，将y=kx+8代入y=x2，得kx+8=x2，即x28kx64=0，x1x2=64，AB2=+2x1x22y1y2=+，又OA2+OB2=+，OA2+OB2=AB2，OAB是直角三角形，AOB=90°如图，过点A作AEx轴于点E，过点B作BFx轴于点FAOB=90°，AOE=90°BOF=OBF，又AEO=OFB=90°，AEOOFB，=，O

42、E=x1，BF=y2，=，x1OB+y2OA=0点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与二次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中求出OCD的面积S是解第（1）问的关键；根据函数与方程的关系，得到y1，y2是方程y2（16+8k2）y+64=0的两个根，进而得出y1y2=64是解第（2）问的关键；根据函数与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理得出AOB=90°，是解第（3）问的关键2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答

43、案（河南赛区）一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分. 1在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】（A）2,3,1 （B）2,2,1 （C）1,2,1 （D）2,3,2【答】A解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有32已知一次函数的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【 】（A） （B） （C） （D）【答】C第3题图解：一次函数的图象经过一、二、三象限，说明其图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，且y随x的增大而增大，所以 解得3如图，在O中，给出下列三个结论：（1）DC=AB；（2）AOBD；（3）当BDC=30°时，DAB=80

44、6;其中正确的个数是【 】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答】D解：因为，所以DC=AB；因为，AO是半径,所以AOBD；设DAB =x度，则由DAB的内角和为180°得：，解得4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【 】（A） （B） （C） （D）【答】B解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是.5在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是y轴上一动点，要使ABC为等腰三角形，则符合要求的点C的

45、位置共xyOABC1C2C3C4C5第5题图有【 】（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个【答】D解：由题意可求出AB=5，如图，以点A为圆心AB的长为半径画弧，交y轴于C1和C2，利用勾股定理可求出OC1=OC2=，可得，以点B为圆心BA的长为半径画弧，交y轴于点C3和C4，可得，AB的中垂线交y轴于点C5，利用三角形相似或一次函数的知识可求出yxO第6题图6已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是【 】（A） （B）（C） （D）【

46、答】A解：的顶点坐标是，设，由得，所以二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7若，则的值为 【答】7解：8方程的解是 【答】解：第9题图.，解得 .9如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1,0），若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段，则点的坐标是 【答】解：分别过点A、作x轴的垂线，垂足分别为C、D显然RtABCRtBD 由于点A的坐标是，所以，所以点的坐标是ABCDMN第10题图E10如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，是以点A为圆心2为半径的圆弧，是以点M为圆心2为半径的圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为 【答】2解：

47、连接MN，显然将扇形AED向右平移可与扇形MBN重合，图中阴影部分的面积等于矩形AMND的面积，等于11已知、是方程的两根，则的值为 【答】解：是方程的根， ，又 =12现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有 个【答】36解：利用抽屉原理分析，设最多有x个小朋友，这相当于x个抽屉，问题变为把145颗糖放进x个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则145，解得36，所以小朋友的人数最多有36个三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）13王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好

48、是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？解：设王亮出生年份的十位数字为，个位数字为（x、y均为0 9的整数）王亮的爷爷今年80周岁了，王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前故应分两种情况： 2分（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为，依题意，得 ，整理，得 x、y均为0 9的整数， 此时王亮的出生年份是2005年，今年7周岁8分（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为，依题意，得 ，整理，得 ，故x为偶数，又 此时王亮的出生年份是1987年，今年25周岁 14分综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁15分14如图，在平面直角坐标系

49、中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是、，点D在线段OA上，BD=BA， 点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是，设直线PQ的解析式为（1）求k的取值范围；（2）当k为取值范围内的最大整数时，若抛物线的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围解：（1）直线经过P， B，A，BD=BA， 点D的坐标是， BD的解析式是, 依题意，得 ， 解得7分 （2）且k为最大整数，.则直线PQ的解析式为.9分又因为抛物线的顶点坐标是，对称轴为解方程组得 即直线PQ与对称轴为的交点坐标为，解得 15分15. 如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°点B是上一动点，BAOM于点A，BCON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；（3）连结PQ，试说明是定值解：（1）证明：如图，AOC=90°，BAOM，BCON，ABCODEFGPQMN图四边形OABC是矩形E、G分别是AB、