最值不等式题的求解通法

1、一类最值不等式问题的求解通法罗增儒有一类最值不等式问题，可以一般地表示为：求证：有的地方也将其表示为双重最值的形式：这类问题求解思路灵活，文1给出的多种解法主要涉及分类讨论和反设归谬，本文要提供的是一种直接求解的思路，只用到设元、消元运算，且具有明显的可操作性。方法的示例例1试证对任意的，有。分析：若将求证式左边用字母x来表示，则问题便转化为对比条件与结论的差异知（差异分析法），应消去a,b，得出关于x的不等式。怎样消去a,b成为问题的关键，此处用加减消元法，其加减运算中的系数可用待定系数法来确定，由绝对值的定义，有引进待定系数，考虑。为使其消去a,b，令方程组有无穷解，我们取一个，。可把变为

2、相加。得。由这个分析过程我们还看到，因为方程组有解a=0，。即a=0，b=时，。思路打通之后，求解过程的书写可以简化。证明：设，有，。2×，得，得。即。其中式的运算背景是。总结：由上面的分析和求解过程，可以得出这类问题的可操作步骤，分三步说明如下。第1步，设，得不等式组第2步，消去a,b，得出关于x的不等式。第3步，解不等式得。其中第2步是关键，可以根据的结构而采用加减消元法，代入消元法，乘除消元法，不等式放缩消元法等。例2已知锐角ABC的三个内角满足A>B>C。用表示AB，BC以及90°A中的最小者。则的最大值是_。分析：这个问题可以改写为求首先，由为最小者有

3、引进待定系数，考虑。为了能用到ABC=180°，从而消去A，B，C，可设，得取，从而。由有相加又当中各式取等号时，有，得A=75°，B=60°，C=45°时，可取到最大值15°。解 由已知条件有又当式取等号时，有90°A=AB=BC=15°，得A=75°，B=60°，C=45°时，可取到最大值15°。故填15°。说明 此解法中的式正是式的简写，又由题目中已给出。，所以第1步中的设元也就省略了。2 方法的应用例3 设，且，求。解 设，则。当时，可解得，故得。例4 若，求（1），

4、（2）。解 （1）设，有，（把，代入），有。当，取等号时，可得且x取到最大值，故有。说明 此题若对、用不等式处理，由，只能得出，得不出。若改为，也得出正确结论，但比上述代入消元使用的知识多了，运用的技巧复杂了，这再次表明本文提供的方法，程序性与通用性都较好。（2）同理可得，时，有。练习设实数，记，则的最大值为 。一个无理不等式的再探究已知：，求证： 不等式的指数推广：已知：， 求证： 不等式的下界估计：已知：，求证： 不等式的两种推广：推广1：已知，且， 求证 证明：设 得，则有：于是，即： （*）注意到： ，有：，即： （*）将不等式（*）与（*）相加，立得.推广2：已知：，且， 求证： 证

5、明：设 得，则有：于是：即： （*）注意到，应用n元不等式，可得 , ,于是：即： （*）将不等式（*）与（*）相加，立得一组不等式竞赛题的深入思考问题1-1（2003年联赛第15题）：设, 证明不等式探讨此不等式的下界和上界，就可将其深化为：问题1-2：已知： 证明不等式：证明：先证右不等式，利用2元均值不等式，得再证左不等式所以：容易说明，上述不等式中的等号是不能成立的.思考2：笔者曾为2007年陕西高中数学预赛命制了如下题目：问题2-1：已知，求证：如果将这个问题深化为4个字母的情景，就有如下的问题2-2：若，求证：证明：易证，函数在上是递减函数，在上是递增函数于是，当或时，函数在上的最

6、大值为，即有：（1）由，知，所以，对不等式（1），得，即：，同理：，将4个不等式叠加，得：分析得知，不等式取等号的条件是：，或者思考3：第十七届“希望杯”全国数学邀请赛高二第2试的第3题为：问题3-1：设直角三角形两直角边的长分别为和，斜边长为，斜边上的高为，则和的大小关系是（ ）A B C D不能确定从直角三角形，联想到钝角三角形，进而得到：问题3-2：设的三内角A、B、C对应的边长分别为、，且，边上的高为，求证：思考4 2008西部数学竞赛试题中，有这样一道最值题目：设，且，求的最大值改写为不等式证明题，就得到问题4-1：设，且，求证：.证明：将条件等式变形为，即：，应用2元和3元均值不等

7、式，得即：，化简，便得 经分析易知，当时，如上的不等式取得等号. 同样的道理，从变量的个数方面加以深化，我们可以提出如下的类似：问题4-2：设，且，求证：.思考5 ：2006年英国数学竞赛试题：问题5-1：已知为正实数，求证：. （1）当且仅当时，等号成立. 不等式（1）的一种有趣的加强结果.问题5-2：已知为正实数，求证：. （2）当且仅当时，等号成立. 证明：若中，其值有为零的，不等式（2）显然成立下面证明，当三者都不为零的情景1）若三者里只有一个为正值，不妨设为这时，应当有，推出，显然与条件相矛盾。从而说明此种情况是不可能出现的2）若三者里有二个为正值，其另一个就是负值，此时，不等式（2

8、）显然成立3）若三者均为正值，那么，就是某一的三边长。设其面积为，注意到三角形面积的海伦-秦九韶公式，当中，.变形，得：.于是，所要证明的不等式（2）等价于：. （*）这个不等式的证明是很容易的，事实上，由三角形面积公式与正弦函数的有界性，得：容易得出，所证不等式中的等号成立的充要条件是：综合以上，便知不等式（2）得证从不等式（2）出发，容易得到如下的问题5-3：已知为正实数，并记，求证： （3）思考6江西宋庆中等数学08年3期里，提出的问题是：问题6-1：已知是满足的正数，求证： （1）通过思考与探究，建立不等式（1）的一个有趣的类似：问题6-2：已知是满足的正数，求证： （2）证明：因为所

9、以要证不等式（2），只要证明如下不不等式 （*）令则正数，于是不等式（*）等价于，也就是，即：，注意到，并应用3元均值不等式，得故 得证思考7 2004年美国数学竞赛试题：问题7-1：对于任意正实数，均有 通过思考，给出了一个类似的题目：问题7-2：设，求证：. 证明：因为所以：同理，再得二式，三式叠乘，得 于是，只要证明如下不等式就行了事实上，由均值不等式，得 (*)由柯西不等式，得即： (*)于是，由不等式（*）和（*），便得 得证思考8 2002年越南竞赛试题：问题8-1：设实数满足，求证：见到的是三角换元证法，这里提供一种直接的代数证法证明：不妨设则有 由柯西不等式，得设，则. 于是，

10、只要证明：事实上 容易推出，所证不等式取得等号的条件是：为经过深入思考，可以类似证明该不等式的一个深化：问题8-2：设是实数，且满足，求证：几个不等式的共同背景几个不等式的一个共同背景：，背景证明：（1983年瑞士数学奥林匹克）例1：在中，求证：. 证明：，同理， ，三式相乘即得原不等式.原型使用例2：设为三角形三边长，求证.证明：由三元均值不等式及例1， .例3：在中，求证：. 证明：由均值不等式及例1， .例4：在中，求证：. 证明：由均值不等式及例1， .代换变形例5已知都是正数，求证：. 例6：（IMO41试题）设非负实数，且，证明：. 证明：令，其中，则. 不妨设，则，若，则式显然成立；若，则由例1，式也成立；故原不等式得证.例7：设，且，证明：. 证明：对上例作变换，即得.例8：锐角中，求证：. 证明：在中有恒等式，同理，令，即. 展开变形例9：（1964年IMO-6试题）设为三边，证明：. 证明：两边之和大于第三边.例10：（1992年加拿大竞赛题）设，证明：