2019年广东省广州市南沙区中考数学一模试卷

1、1.2.3.4.5.6.2019年广东省广州市南沙区中考数学一模试卷、选择题（每小题 3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意）（3分）8的立方根等于（3分）下列计算正确的是（A. (a3) 2= a5C. 4C . a3?a2= a6D . a3+a3 = 2a3（3分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（A .主视图B.左视图C .俯视图D.主视图和左视图（3分）如图，直线 a/ b,以直线a上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线a、b于点B、C,连接,则 1=(AC、BC.若 ABC = 65°A. 115

2、（3分）郑州某中学在备考80°C . 65° D . 502018河南中考体育的过程中抽取该校九年级下一阶段的体育训练，成绩如下所示:成绩（单位：米）人数则下列叙述正确的是（20名男生进行立定跳远测试，以便知道2.102.202.252.302.352.402.452.50A .这些运动员成绩的众数是C .这些运动员的平均成绩是5 B .这些运动员成绩的中位数是2.25 D .这些运动员成绩的方差是（3分）下列数中与最接近的是（ O的半径OD丄弦AB于点C,连结AO并延长交（3分）如图,)A .- I 'B . 8 C.2132.300.0725O O于点E,连结

3、EC .若 AB= 8, OC = 3,则第3页（共18页）8 （ 3分）港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米.通车前需3小时，平均速度是原来的9. （3分）在同一直角坐标系中，一次函数2.5倍，如果设原来通车前的平均时2y= ax - b和二次函数y=- ax - b的大致图象是（B.D .10. （3分）如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形OBA, OAB = 90°,直角边 OA 在X轴正半轴上，且BE讦二、填空题（每小题 3分，共18 分）OB1A1 (即 AiO =OA= 1,将Rt OBA绕原点O顺时针旋转90°

4、,同时扩大边长的 1倍，得到等腰直角三角形2AO）.同理，将Rt OB1A1顺时针旋转90°,同时扩大边长 1倍，得到等腰直角三角形 OB2A2依此规律,得到等腰直角三角形OB2019A2019,则点B2019的坐标为（.(-22019, 22019) B. (22019,- 22019)C. (- 22018, 22018) D .(22°18,- 22018)11. (3 分)关于X的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集为212. （3分）抛物线y=- 2 （x+1） +3的顶点坐标是13. （3分）如图，边长为 1的小正方形构成的网格中，半径为 1

5、的 O的圆心O在格点上，则 BED的余弦值等于14.（ 3分）如图，在平行四边形 ABCD中，BE AC, AC= 24, BE = 5, AD = 8,则两平行线 AD与BC间的距离是16.（3分）如图，在菱形 ABCD中，AB = BD,点E、F分别是线段 AB、AD上的动点（不与端点重合），且AE =DF , BF与DE相交于点 G .给出如下几个结论： AED DFB ; BGE大小会发生变化； CG平分BGD ;若AF = 2DF , BG = 6GF ;S四边形BCDG =3 .其中正确的结论有 （填序号）DC三、解答题（本大题共 9小题，满分102分.解答应写出文字说明、证明过程

6、或演算步骤）17（9分）解一元一次方程：专卷uI.18.( 9 分)如图，已知在四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上， B+ AEC = 180°, BAC = D , BC= CE .求证：AC= DC.I -ZK X TX -(1)化简 T; (2)若 XABC 的面积，其中 C= 90°, A = 30°, BC = 2,求 T 的值.20. (10分)随着中国传统节日“端午节”的临近，永旺超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折.已知打折前，买1盒甲品牌粽子和2盒乙品牌粽子

7、需 230元；打折后，买 50盒甲品牌粽子和 40盒乙品牌粽子需要 5200元.(1) 打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？(2) 阳光敬老院需购买甲品牌粽子 80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？21. (12分)随着信息技术的快速发展，人们购物的付款方式更加多样、便捷某校数学兴趣小组为了解人们最喜欢的付款方式设计了一份调查问卷，要求被调查者选且只选其中一种你最喜欢的付款方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：(1) 这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”付款的扇形圆心角的度数为；(2) 补全条形

8、统计图；(3) 在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种付款方式中选一种方式进行付款,请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率.22. （12分）已知直线y1-+-与直线y2= kx+b关于原点O对称，若反比例函数尸卫的图象与直线y2= kx+b交 于A、B两点，点A横坐标为1,点B纵坐标为丄.（1）求k, b的值；（2）结合图象，当丄丄L-时，求自变量X的取值范围.23.（ 12分）如图，AB为 O的直径，点 C在 O上，且tan ABC= 2;（1）利用尺规过点 A作O的切线AD （点D在直线AB右侧），且AD = AB,连接OD交AC于点E （保留

9、作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）条件下,连接BD交 O于点F ,求证：DE?OD = DF?BD.第11页（共18页）24. (14 分)抛物线 L: y= '+bx+c经过点A ( 0,- 1),与它的对称轴直线 X = 2交于点B.(1) 求出抛物线L的解析式；(2) 如图1 ,过定点的直线 y= kx- 2k- 5 ( k> 0)与抛物线L交于点M、2若厶BMN的面积等于3,求k的值；(3)如图2 ,将抛物线L向下平移m ( m> 0)个单位长度得到抛物线L1,抛物线L1与y轴交于点C,过点C作y轴的垂线交抛物线 L1于另一点D .点F为抛物线L1的对称轴与P的坐

10、标.X轴的交点，P为线段OC上一点.若厶PCD25. (14分)如图1,已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点 A在X轴负半轴上，直线 y=- x+6与X轴、y轴分别交于B、C两点，四边形 ABCD为平行四边形，且 AC = BC,点PACD内一点，连接 AP、BP且APB = 90°.(1) 求证： PAC= PBC;(2) 如图2 ,点E在线段BP上，点F在线段AP上，且 AF = BE , AEF = 45° ,求EF2+2AE2的值；(3) 在(2)的条件下，当 PE= BE时，求点P的坐标.2019年广东省广州市南沙区中考数学一模试卷、选择题（每小题 3分，共

11、30分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意）1. （3分）8的立方根等于（）A . - 2B . 2故选：B.2. （ 3分）下列计算正确的是（）A . （a3） 2= a5B . a6÷ a2= a3故选：D .C.- 4C . a3?a2= a6D . a3+a3 = 2a33. （ 3分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）-O-WA.主视图B.左视图C.俯视图 D .主视图和左视图故选：C .4. （3分）如图，直线 a/ b,以直线a上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线AC、BC .若 ABC = 65

12、76; ,则 1=（）a、b于点B、C,连接A . 115°B. 80°C. 65°D. 50故选：D .20名男生进行立定跳远测试，以便知道5. （3分）郑州某中学在备考 2018河南中考体育的过程中抽取该校九年级A.这些运动员成绩的众数是5 B.这些运动员成绩的中位数是2.30C .这些运动员的平均成绩是2.25 D .这些运动员成绩的方差是0.0725故选：B .下一阶段的体育训练，成绩如下所示:成绩（单位：米）2.102.202.252.302.352.402.452.50人数23245211则下列叙述正确的是（）6. （3分）下列数中与1最接近的是（D.

13、 4故选：C.7. O的半径OD丄弦AB于点C,连结AO并延长交 O于点E,连结EC.若AB= 8, OC = 3,则（3分）如图,丁 B. 8 C. |愛D.: 一；故选：D.8.（3分）港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米.通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时故选：A.第15页（共18页）【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.9.（3分）在同一直角坐标系中，一次函数y= ax - b和二次函数y=- ax2 - b的大

14、致图象是（B.0C.D .10. （3分）如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形故选：A.OBA， OAB = 90°，直角边 OA 在X轴正半轴上，且OB1A1 (即 A1O =OA= 1,将Rt OBA绕原点O顺时针旋转90°，同时扩大边长的 1倍，得到等腰直角三角形 2AO）.同理，将Rt OB1A1顺时针旋转90°，同时扩大边长 1倍，得到等腰直角三角形 OB2A2依此规律,得到等腰直角三角形OB2019A2019，则点B2019的坐标为（A?A(- 2201922019) B( 22019- 22019)C(- 2201822018)D( 22018-

15、 22018)【解答】 解： AoB是等腰直角三角形，OA = 1, AB = OA = 1 ,二B (1 , 1),将Rt AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形 AiOBi,且AiO = 2AO,再将RtA AiOBl绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形 A2OB2,且A2O = 2AQ,依此规律，每4次循环一周，Bi(2, - 2) ,B2(-4,- 4),B3(-8,8) ,B4(16,16), 2019÷ 4 = 502 3, .点 B2019 与 B3 同在一个象限内，v- 4=- 2-2 -I 0 , 8 = 212. （3分）抛物线y=

16、- 2 （x+1）+3的顶点坐标是 （-1, 3）., 16= 213. （3分）如图，边长为 1的小正方形构成的网格中，半径为 1的 O的圆心O在格点上，则 BED的余弦值等, 点 B2019(- 22019, 22019).二、填空题（每小题 3分，共18分）11. （3分）关于X的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集为-1 XV 2E【解答】 解：如图，连接 BD ,V AB是直径， ADB = 90°在直角 ABC中，由勾股定理求得： AC =? + * A=V cos DAB = cos CAB=h.v/ DAB = DEB ,C 5 cos DAB =

17、 cos DEB =二故答案是：丄5514. （ 3分）如图，在平行四边形 ABCD中，BE丄AC, AC = 24, BE = 5, AD = 8,则两平行线 AD与BC间的距离是15.CM S 四边形 CMGN = 2SCMG = 2× CG15. （3分）若a-丄=血，贝U a2+值为 8.aa216. （3分）如图，在菱形 ABCD中，AB = BD,点E、F分别是线段 AB、AD上的动点（不与端点重合），且AE = DF , BF与DE相交于点 G .给出如下几个结论： AED DFB ; BGE大小会发生变化； CG平分 BGD ;若AF = 2DF , BG = 6GF

18、 ;S四边形BCDG =.；.其中正确的结论有 （填序号）.DJtC【解答】解：IABCD为菱形， AB = AD, AB= BD , ABD 为等边三角形， A= BDF = 60°,又 AE= DF , AD = BD , AED DFB ( SAS),故本选项正确； BGE= BDG+ DBF = BDG+ GDF = 60°,为定值，故本选项错误； 过点C作CM丄GB于M , CN丄GD于N (如图1),则厶CBM CDN (AAS), CN = CM , I CG = CG , Rt CNG 也 Rt CMG ( HL), DGC = BGC , CG平分 BGD

19、 ;故本选项正确； 过点F作FP / AE交DE于P点(如图2), AF = 2FD , FP : AE= DF : DA = 1 : 3, v AE= DF, AB = AD , BE= 2AE , FP : BE = FP : 2AE = 1: 6, v FP / AE , PF / BE , FG : BG= FP: BE = 1: 6,即 BG= 6GF ,故本选项正确； v BGE= BDG+ DBF = BDG+ GDF = 60°= BCD ,即 BGD+ BCD = 180° ,点 B、C、D、G 四点共圆， BGC = BDC = 60 ° ,

20、DGC = DBC = 60° , BGC = DGC = 60°,过点 C 作 CM 丄 GB 于 M , CN 丄 GD 于 N (如图 1),则厶 CBM = CDN ( AAS) , S 四边形 BCDG = S 四边形 CMGN , S 四边形 CMGN = 2SCMG , v CGM = 60° ,综上所述，正确的结论有 ，共3个, 故答案为三、解答题（本大题共 9小题，满分102分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （9分）解一元一次方程： 寺启二L二-【解答】解：方程两边同时乘以 6得：3x-2 （2x- 1）= 6,去括号得：3x-

21、4x+2 = 6,移项得：3x- 4x = 6- 2,合并同类项得：-X= 4,系数化为1得：x=- 4.【点评】本题考查了解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键.18. （9分）如图，已知在四边形 ABCD中，点E在AD上， B+ AEC = 180°, BAC = D, BC = CE.求证:【解答】 证明： B+ AEC = 180° CED+ AEC = 180 ° B= DEC ,在 ABC 和厶 DEC 中， B= DEC , BAC = D, BC= CE , ABC DEC (AAS) AC = DC;29. m zx _4忑+4

22、 IC -1 i 119. (10分)已知I4-2¥（1）化简T ；（2）若 X ABC 的面积，其中 C= 90°, A = 30°, BC= 2,求 T 的值. 第11页（共18页）【解答】解(1) T= (72X -4+4 XJ-I X . 1-?+ -J -X -2 X +h 'z-2) 2 b (+1) (K-I) x(x+l)=2x 3;(2) C = 90°, A= 30°, BC= 2,AC 3=y×2X 23=23，当 =23时，T=加X 2乂齐3=4佢3 .20. (10分)随着中国传统节日“端午节”的临近

23、，永旺超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动,对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折.已知打折前，买1盒甲品牌粽子和2盒乙品牌粽子需 230元；打折后，买 50盒甲品牌粽子和 40盒乙品牌粽子需要 5200元.(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元?(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱?【解答】解：(1)设打折前甲品牌粽子每盒 X元，乙品牌粽子每盒 y元,根据题意得:x+2y=230,5(J× OI 8x+40× 0<T5y=5200.解得:It=Trtby

24、=80.答：打折前甲品牌粽子每盒 70元，乙品牌粽子每盒 80元.(2) 80× 70×( 1 - 80%) +100× 80×( 1 - 75%)= 3120 (元).答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元.21. (12分)随着信息技术的快速发展，人们购物的付款方式更加多样、便捷某校数学兴趣小组为了解人们最喜欢的付款方式设计了一份调查问卷，要求被调查者选且只选其中一种你最喜欢的付款方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：(1) 这次活动共调查了200人；在扇形统计图中，表示“支付宝”付款的扇形圆心角

25、的度数为90 °(2) 补全条形统计图；(3) 在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率.M现金1盍付壬【解答】 解：(1) ( 50+45+15 )÷( 1- 15% - 30% )= 200,所以这次活动共调查了 200人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数=360°× 型-=90°；200故答案为200; 90°200 × 30% = 60 (人)使用银行卡支付的人数：200× 15

26、% = 30 (人)，(2)如图，使用微信支付的人数:(3)画树状图如下:微信応卜言支JrJ宝幄行卡支村壬银行卡微信支付宝银行卡微信 支忖宝银行卡共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一种付款方式的结果数为3,所以两人恰好选择同一种付款方式的概率=22. (12分)已知直线T = - 与直线y2= kx+b关于原点O对称，若反比例函数V二的图象与直线y2 = kx+ b 交于A B两点，点A横坐标为1,点B纵坐标为寺(1) 求 k, b 的值;(2)结合图象，当丄X 2,求自变量X的取值范围.,当X= 0,解得【解答】解：(1)v,当 y= 0,解得 X=- 5第21页(共18页)0, ,

27、 (- 5, O),得到方程组:kC+b二 25k÷b=0,解得:1 乃亏令上y=- 2 AX= 4B(4,(2)点A、B在直线把X= 1代入上式解得(1,- 2)把尸一代入上式解得 V=卫经过点A、B ,且图象关于原点成中心对称,尸旦必经过点（-1 , 2）、（T,丄）且（-1 , 2）、（T,丄）两点即为尸卫与两个交点，第27页(共18页)4 V XV- 1 或 x> 0.结合图象，当yv y时，X的取值范围的取值范围为: 23.（ 12分）如图，AB为 O的直径，点 C在 O上，且tan ABC= 2;（1）利用尺规过点 A作O的切线AD （点D在直线AB右侧），且AD

28、= AB,连接OD交AC于点E （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）条件下,求证：OD / BC;F,求证：DE?OD = DF?BD .【解答】解：（1）作图所示,AD = AB tan AOD = 2, C = 90° tan ABC= 2,- ': tan AOD = tan ABC AOD = ABC OD / BC;连接AF7/3y“ OD / BC,且 C= 90° AED = 90° ADO = ADE ADOs ADE , 二一即 AD2= DO?DE ,DO-AD AB 为 O 直径，且点 F 在 O 上即 AFB = 90

29、6;,v BAD = 90 ° 且 ADB = ADF ABDs AFD_即 AD2= BD?DF ,即 DO?DE = BD?DF .BD-AD24. (14分)抛物线L: y= 如2+bx+c经过点A ( 0,- 1),与它的对称轴直线 X = 2交于点B.(1) 求出抛物线L的解析式；(2) 如图1 ,过定点的直线 y= kx- 2k- 5 ( k> 0)与抛物线L交于点M、2若厶BMN的面积等于3,求k的值；(3)如图2,将抛物线L向下平移m (m>0)个单位长度得到抛物线L1,抛物线L1与y轴交于点C,过点CD .点F为抛物线L1的对称轴与X轴的交点，P为线段O

30、C上一点.若厶PCD作y轴的垂线交抛物线 L1于另一点P的坐标.亡二Ti b.b n' -2a'b'1 7-2xT,解得b=-2C=-I.抛物线L的解析式为y=y2-2-l .(2)如图1 ,设点M、N的横坐标分别为 X1、x2,延长直线NM交对称轴于点 G,直线 NM : y= kx - 2k- 5 (k>0) y= kx-2k- 5= k (X- 2)- 5.即直线 MN 所过定点 G (2, - 5).尸寺/一2丫_1 諾仪一2)'-3 . B (2, - 3). BG = 2. x2 - X1 = 3 .联立方程组?(X2- 2)/ SBMN= S

31、aBNG- SBMG =BG?(x1- 2)=丄BG?(x2- x1) =× 2 ×( x2- X1)= 3.,得：x2-( 2k+4) x+4k+8 = 0解得 x1=k+2-k-4, H2=k2+Vk2-2 - x = 2寸址 2 _4 = 3 解得 h二士春 k> 0(3)设抛物线Li的解析式为y=y2-l-m, m> 0. C (0, - 1- m)、D (4, - 1- m)、F (2, 0),首先，如图2, OPF = CPD总是存在的，且. ： I -PC CD 23 因此 OPF与 CPD互余只能存在一种情况，即线段 OC上只存在一个点 P,使得

32、 DPF = 90° 方法一：以DF为直径的圆与y轴相切，如图3设 DF 中点为点 H ,则 H (3 ,焉HL),故 DF = 6 .得到：(4- 2) 2+ (i + m) 2= 62,解得I.： m> 0 ,_：-!.方法二：已知 OC= 1 + m,设 OP = n,那么 CP = 1+m - n.DC PO ZB,得CP OF4nl÷m-n2整理得 n2-( m+1) n+8 = 0.=( m+1)22-4× 8 = 0,2个点P符合 PCD与厶POF相似,F4,<JV：Z12解得-l.m>0,-：.所以当：L 11时，恰有此时OC= f.当 OPF = CPD时，代)qc=毁2,所以P ( 0, 丄叵)；333n2-4Vs+S= ,解得 n,所以 P ( 0, 逅).25. (14分)如图1,已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点 A在X轴负半轴上，直线 y=- x+6与X轴、y轴分别交于B、C两点，四边形 ABCD为平行四边形，且 AC = BC,点PACD内一点，连接 AP、BP且APB = 90°.(1) 求证： PAC= PBC;(2) 如图2 ,点E在线段BP上，点F在线