有理系数多项式有理根计算

1、有理系数多项式有理根计算摘要：设计出计算一元有理系数多项式有理根的 算法及程序，并给出计算实例.关键词：有理系数多项式；有理根；算法；程序.多项式问题中，有理系数多项式有理根的计算非常重 要，然而，尽管说已有完整的计算方法，但是人工操作却并 非易事；尽管说已有大型的数学软件，但是它们的表现却并 非如意.例如多项式：有2重有理根-19162/429459 ,但用matlab计算的结 果却是-233/5222o因此，本文研究专门的计算有理系数多 项式有理根的算法及程序.1. 理论基础基本定义及结论请参阅文献1,下面仅列出主要的。本原多项式1若整系数多项式f (x)的系数互素， 则称f (x)为本原

2、多项式.整系数多项式有理根的性质1设f( x ) =anxn+an-lxn-l+. . . +alx+ao是整系数多项式.如果有理数 u/v是f (x)的一个根，其中u和v是互素的整数，那 么：(1)、整除f (x)最高次项系数ao ,而u整除f (x)的常数项an ；(2)、 f (x) = (x-u/v) /q (x),这里 q (x)是一个 整系数多项式.并且，若有理数u/v ( u, vuz且(u, v) =1)是f (x) =anxn+an-lxn-l+. . +alx+a0 的有理根，那么 f (1) / (v-u)和 f (t) / (v+u)全为整数.综合除法1设 f (x)

3、=anxn+an-lxn-l+. . +alx+ao 是 整系数多项式，c是整数，如果f (x) = (x-c) (bn-lxn-l+bn-2xn-2+. . . +blx+bo) +r 那么 bnt=an ,b-二ai+l+cbi+1 ( owiwnt ),r=ao+cbo.2. 算法设计根据整系数多项式有理根的性质，设计有理系数多项式 f (x)有理根算法如下。2. 1主函数、输入f (x)系数。输入系数需要区分整数与分数, 为此用两个数组分别存储分子与分母，并初始化分母数组值 为1,这样在输入整数时即可不顾分母。、调用”多项式输出子函数”，输出f (x)的多项 式形式。、调用”化本原子函

4、数”，变f (x)为本原多项式 g (x) =aoxn+. . . +an-lx+an。、调用”求特殊根子函数”,确定0、？是否为g(x)的根。、调用”求普通根子函数”，确定g (x)非0非？ 的有理根。2. 2子函数 、多项式输出子函数：需要根据各项系数及次数设计。 、化本原式子函数：调用”求最小公倍数子函数”求得f (x)系数之公分母，调用”求最大公因数子函数”求 得f (x)系数分子的最大公约数，则g(x)=(1/g)/f(x)即是本原多项式。 、求特殊根子函数：当an=an-t=. . . =an-k=o而 an+k-tho (k20)时，0 是 f (x)的 k+1 重根；调用&qu

5、ot; 综合除法子函数”计算且记下g(？)的值，并当1或-1 是根时确定其重数且输出结果。 、求普通根子函数：此函数的功能是求出g (x)最 高项系数h、常数项t的因子并构成g (x)的可能的有理 根%z且判定%z是否为g(x)的根。为此设| ao | =h、i an | =t,首先k从2循环到，当k/t时，若t/k=k, 则k是t的因子，否则k与t/k都是t的因子，用数组u 存储t所有的正因子u o其次k从2循环到，同样方法确 定h的正因子v ,并且每求出一个v，将v与u中的每个 数u组成分数u/v且判断u/v是否为g(x)的根，为此 需调用”判根子函数”。 、综合除法子函数：此函数的功能是

6、判定有理数m/d 是否为g(x)的根，若是则输出结果。首先综合除法容易 实现。其次用m/d除g (x),若余数为0,则设g (x)=(x-m/d) /q (x),再用 m/d 除 q(x), 直下去，假设 t+1 次后的余数不为零，那么m/d即是f (x)的t重根，输出 此结果。 、判根子函数：此函数的功能是将v与u中的每个 数u组成u/v且判定其是否为g (x)的根。为此需做：遍 历u中元素u,构作u/v ,并且每构作一个就调用”排除 非有理根子函数”判断其是否为可能的有理根，若是就调 用”综合除法子函数”对其进行判定处理。 、排除非有理根子函数：对于有理数u/v ,如果g(l) /(v-u

7、)与g (-1 ) / (v+u)不全为整数，则u/v不是g(x)的有理根；否则u/v即可能是f(x)的有理根。最大公因数、最小公倍数子函数等算法容易确定，从略。3. 参考程序根据算法，我们用c语言设计了参考程序，代码如下:include include ttinclude define ul 2000 /*存储常数项正因子的数组u的长度*/static int z； double x2 50, x2 50； staticint z； int y50；static double fl, f2, ao, an； /*f1 为 f (1), f2 为f (t), ao为最高项系数，an为常数项*/

8、*判断两数相乘是否溢出子函数*/int mul (double a, double b) if (a>0 &&b>0 && a-pow (10, 15) /b>=pow (10, -6) return 1；/*判断有效数位是否超过15位*/else if (a>0 && b二-pow (10, -6) return 1；else 辻(ao && pow (10, -6) 0. 0 && p) printf (”+ “)；else if (* (am+p) >0. 0 &&

9、; ! p) printf (” “)；else printf (” - “)；if (* (ad+p) =1. 0) if ( ! (np) printf (” % olf ” , fabs (* (am+p)；else if (n-p=二 1 && fabs (* (am+p)!二1.0) printf (” 01fx” , fabs (* (am+p )；else if (n-p=二 1 && fabs (* (am+p) =1.0) printf (” x”)；printfprintfelse if (np>l && fabs (*

10、 (am+p) =1.0)(” x § d ”，n-p )；else if (np>l && fabs (* (am+p) >1.0)(” 01fx§d" , fabs (* (am+p), n-p)； else if ( ! (n-p) printf (” (%. olf/%. olf) ” , fabs (* (am+p), * (ad+p)；else if (n-p=l) printf (”(%. olf/%. olf) x” ,fabs (* (am+p), * (ad+p)；else if (n-p>l) printf

11、(” (%. olf/%. olf) x §d”， fabs (* (am+p), * (ad+p), n-p)； printf (" n n 的有理根有：”);/*化本原子函数*/double* int (double* m, double* d, int n) int p=0； double 1二0.0, x二*m；double *a=(double*)malloc(sizeofcdouble)*(n+l)；double *pd二(double*) malloc (sizeof (double) * (n+1)；for (p=0； p return ! fmod (fl/ (d-m), 1.0)&& ! fmod (f2/ (d+m), 1.0)；/*综合除法子函数*/*形参