矩形截面杆、薄壁杆的扭转

1、矩形截面杆、薄壁杆的扭转矩形截面杆的扭转柱形杆截面的扭转应力函数Fgy)要满足的条件:1、泊松方程:v2f = -2 (在柱形杆横截面所组成区域R内)。2、边界条件:F(x,y) = k(在横截面的周界C上)。对于矩形截面杆件的扭转问题,能否像椭圆截面杆件扭 转问题一样假设扭转应力函数为其横截面的周界方程?答：不能。假设扭转应力函数为F(x, y) = Bx2 a2)(y2 b2)显然这个应力函数虽然满足边界条件，但不 满足泊松方程。由于根据边界条件难以直接确定 满足基本方程的扭转应力函数,因此首先简化扭 转问题的基本方程。狭长矩形截面杆的扭转设矩形截面的边长为。和久若必的值很大（图1示）,

2、则称为狭长矩形。由薄膜比拟法可以推断,应力函数F 在横截面的绝大部分上几乎与坐标r无关,于是有6F u dxdF _dF6 dy则=-2变为常微分方程d2Fdy2=_20y而边界条件为此时，方程的解为(1-1)代入得于是D = 2 JJ Fdxdy£) = 2 Fdxdy = -2JRa2a 2(1-2)24ab33TGab3(1-3)由式mi）求得应力分量6Tyr =-aG = O 1Oxzy(1-4)这个应力表达式除在狭长矩形截面的短边附近外，对截面 的大部分区域都是正确的。由薄膜比拟法可知,最大剪应力 发生在矩形截面的长边上,即3Tab2(1-5)二 任意边长比的矩形截面杆的扭

3、转在狭长矩形截面扭杆应力函数(1)的基础上,加上修正 项竹,即(1-6)b2 2F(x,y) = -y+F(x.y)=0(归)函数F应满足方程护尸=-2 ,将式(16)代入,得到F满足方程 m怎I护F d2p另外,应力函数F在矩形截面的边界处满足如下边界条件(1-8)I! :F(±|,沪。",±矢0 :2所以，修正函数的边界条件为CI 、2 b?Fi(±-,y) = yb2-2b 弘,±于=0Fy) = X(x)Y(y)将(1 JO)代入刀中,有X”Y1其中,2为任意常数。由此得方程X“Jx =0(1-9)(1-10)(1-11)(1-12)r

4、r+22y = o(1-13)解之得方程(1-12)和(1J3)的通解X (兀)=BjChZx +K(y) = C,cos2y + C2sin2y根据薄膜比拟法，应力函数为坐标T和y的偶函数。所以(1-14)(1-15)Fx (x, y) = AchAx cos Ay由边界条件(1-9)的第二式得bAchlxcosA = 02由此.(2m+ 1)71 血=(n = 0 丄 2,3,.)代入式并作如下级数(1-16)oOR (兀)0 = 丫 AnchAnxcos Any77=0由边界条件(19的第一式确定其中的系数凡(2n + l)7i6/(2n + l)7icos -y = y b£

5、&chn=02bb2等式两边同时乘以cos仙+1)兀曲，并在区间(7/20/2)积分,得(-1)H+,8Z?2A ="3/r、3 K (2n + l)7ra兀(2n +1) ch 2b代入式16),得8Z?2吕 (1)H+Ich2 xcos A y 召(%) = =“ 门71 n=0 (2n + l)3ch2b(2n + l)7ra得到应力函数F(x,y) = -/+-2 总(T)叫hQ/cosS ，4TTb2签(2“ +问32b("刀由式（U可求得164 a 00由(2n +1)716/由此得D = lRFdXdy = ab-?-n 儿 u =02b (2h +

6、1)5(1-18)Ta =GD1 (2n +1)716/th2b (2/i +1)5(1-19)由薄膜比拟可以推断，最大剪应力发生在矩形截面长边的中 点具值为max1心。（2卄1）2山（2"1购164 a3_7i5 bab2oosn=02b 山（2卅+ 1）兀0(2-20)2b (2n + l)5将式19）和式20）分别写成(2-21)Tcc ab GPTmaxab2y(2-22)其中稠 都是仅与比值 有茨的参数,这两个因子通过计 算可以表示如下：%0Y%0Y1.00.1410.2083.00.2630.2671.20.1660.2194.00.2810.2821.50.1960.2

7、305.00.2910.2912.00.2290.24610.00.3120.3122.50.2490.258g0.3330.333I 2345102030 4UJib由表可见,对于很狭长矩形截面的扭杆,a/b很大, 则0和丫都趋近于1/3这时式(221)和(222)分别简化为 式3)和(5)。薄壁杆的扭转开口薄壁杆件的扭转实际工程上经常遇到开口薄壁杆件，例如角钢、槽钢、工 字钢等，这些薄壁件其横截面大都是由等宽的狭长矩形组 成。无论是直的还是曲的,根据薄膜比拟,只要狭长矩形具有相同的长度和宽度,则两个扭杆的扭矩及其横截面剪 应力没有多大差别。图3為IB曙:皆鑑般， 翹蠶豔緊響近的勢应力，为单

8、位长度扭转角。则(2-1)3T(Y = LGciQ： 由式(23)和式(24)消去猖3r由式(2J)得GaciQi'3这个横截面上的扭转为=Vt - Ga乙z 3(2-2)(2-3)(2-4) T = ；，)/'；S工a©代回式(23)和式(24),我们得到3T(y 易(2-5)_ 3T®“芦(2-6)值得注意的是：由上述公式给出的狭矩形长边中点的剪应 力已相当精确,然而,由于应力集中的存在，两个狭矩形 的连接处，可能存在远大于此的局部剪应力。【例1】 如图4 所示各截面的杆件，承受扭矩t = 5 oooN mmo试求最大剪应力。解对于图(a，由式(26)得

9、【例1】 如图4 所示各截面的杆件，承受扭矩t = 5 ooo=2. 834 N/mm23厂 X 7= 3 T65 X 73 4- 43 X 73 = 5 292对于图(b),由式(2-6)得h (k 974 N/mm3 T X 9. 52 X 75 X 9. 53 + 106 X对于图(c),由式(26)得rmax = 2X65X$ + 】09X63 132 N/mm对于图(d),由式(26)得=3 219 N/mm23 7心5301< 6. 5f + 4r>f6. 53 + 87 X 43二闭口薄壁杆件的扭转对于闭口薄壁杆件的扭转问题,可以通过薄膜比拟 法求得近似解答。如图5所

10、示，假想在薄杆横截面的外边 界上张一张膜，保证薄膜外边界的垂度为零，内边界处 的垂度为常量。由于杆壁厚度很小,所以沿壁的厚度方向薄膜的斜率可视为常量。于是，在杆壁的厚度5处,剪 应力的大小应等于薄膜的斜率,即hT = d其中为杆壁厚度§薄膜的垂度。 设外边界所包围面积的平均值 (即薄壁杆件截面中线所包围的面 积)为八于是有T = 2Ah(2-8)由此得2A代入式(2-7 )得r= J(2-9)可见,剪应力与杆壁的厚度成反比,最大的剪应力 发生在杆壁最薄处。为了求出单位长度扭转角,先求出杆横截面中心线上的应力环量,以A表示中心线所包围的面积，于是有Ordx =刃# y = 2GaA-(

11、2T4A2G如果杆壁为等厚度的，贝UTs4A2GS其中，S为杆截面中心线的长度。图6图6若闭口的薄壁杆有凹角在凹角处有可能发生 高度的应力集中现象。比值的关系,如图6所示。其 中Q为圆角半径。max50ft25图6(m2)。悝恤gza陀 SK aEffi»ll$®囹* -B-MI4nmhb二、摩嶷»鈿丈+田版s卜 HtK KBwfflwgHJEls®'輕gli腳R+-tnx求得扭矩也可以表示为T = 2(4 人 + 4 仏)T = 2(4Qs + 企5工 2)(2-12)再分别对两根中心闭合线ACB4和4BD4求应力环量,有f Tds+ f r3

12、ds = 2GaAx(2-13)J ACBJ BA 'BDAr2ds 肋 5山=2GaA?若乳心为常数,则式(2-13 )可变为txsx + t3s3 = 2GaAl(2-14)求得T83s2Ax +爲(刍 +%)8x3s2A +8283sxj + 5爲$3(£ + A)2T3sxA2 +知3(£ + A2)卩-2§知2人：+爲知/1 +$爲屯(£ + %)27"知2人1 一爲必企3+人和崔 +5QCA + 企)，t2s2 - t3s3 = IGaA(2-15)T(5j 5*23 +$1*3勺 +$2*34)4G+(Aj + 4Ta =(2-16)截面扭转刚岳3T3T(a)(b)a 二G J S3ds图 8r：；a33剪应力：_ 3T6i _ 3T3i'工j於ds最大剪应力:yrs3TSt =(r )=込=巴竺max 7 max 2用陋沁由式(2-6),得单位长度扭转角：JJ最大剪切力发生在宽度最大处。例2两个截面完全相同的变厚度皤壁杆如图8所示,其 中(a )为闭口,